安福中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（理）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2013.10。31一．選擇題（每題5分，共50分）1．已知a，b,c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2〈3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝32．若PQ是圓x2＋y2＝9的弦，PQ的中點是M（1,2），則直線PQ的方程是（）A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－3．已知定點A（1,2）和直線l：x＋2y－5＝0,那么到定點A的距離和到定直線l距離相等的點的軌跡為(）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．直線4．在平面直角坐標系中，若點(－2，t）在直線x－2y＋4＝0的上方，則t的取值范圍是（）A．(－∞，1) B．（1，＋∞）C．（－1，＋∞） D．（0,1)5．直線l1：（m＋2)x＋(m2－3m）y＋4＝0，l2:2x＋4(m－3）y－1＝0，如果l1∥l2則m的值為（）A．－4B．0C．36．已知F是拋物線y2＝x的焦點,A，B是拋物線上的兩點，｜AF|＋｜BF|＝3,則線段AB的中點M到y(tǒng)軸的距離為（)A．eq\f（3，4）B．1C．eq\f（5,4) D．eq\f（7,4)7．8．過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點，設(shè)雙曲線的左頂點為M,若△MAB是直角三角形，則此雙曲線的離心率e的值為(）A．eq\f(3，2）B．2C．eq\r（2）D．eq\r(3）9．直線y＝kx＋3與圓（x－2）2＋（y－3)2＝4相交于M，N兩點,若|MN|≥2eq\r(3)，則k的取值范圍是（)A．eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（3,4)，0))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3），3)，\f（\r（3）,3))）C．［－eq\r（3），eq\r（3)］D．eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f(2，3），0）)10．已知F是拋物線y＝eq\f(1,4）x2的焦點，P是該拋物線上的動點，則線段PF中點的軌跡方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－eq\f（1，16）C．x2＝y(tǒng)－eq\f(1,2)D．x2＝2y－2二．填空題(每小題5分，共25分）11．直線kx－y＋2k＋2＝0（k∈R)經(jīng)過定點M，則M的坐標為__________．12．已知雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0，b>0）的一條漸近線方程是y＝eq\r（3)x,它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為__________．13．一條光線經(jīng)過點P(2,3）射在直線x＋y＋1＝0上，反射后,經(jīng)過點A（1,1），則光線的反射線所在的直線方程為________．14．命題p:“任意x∈R，使ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．15．如果圓（x－a)2＋（y－a)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是__________________．三．解答題（本大題共6小題，滿分12+12+12+12+13+14=75分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．）16．（12分）根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程:（1）經(jīng)過兩點A（0，2）和Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2),\r(3)）)。（2）已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為eq\f（4，3)eq\r(5）和eq\f(2，3)eq\r（5)，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點;17．（12分）已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r(2），且過點（4，－eq\r(10））．點M(3，m）在雙曲線上．（1)求雙曲線方程；（2）求證：eq\o(MF1，\s\up12（→）)·eq\o（MF2，\s\up12（→））＝0；（3）求△F1MF2面積．18．(12分)已知橢圓C：eq\f(x2，16)＋eq\f(y2，9)＝1和點P（1，2），直線l經(jīng)過點P并與橢圓C交于A、B兩點,求當(dāng)l的傾斜角變化時，弦中點的軌跡方程．19．（13分)已知,如圖，⊙O:x2＋y2＝1和定點A（2,1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q,且滿足|PQ｜＝|PA｜.(1）求實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段PQ長的最小值；20．（12分）設(shè)A，B分別為雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a〉0，b>0)的左,右頂點，雙曲線的實軸長為4eq\r(3)，焦點到漸近線的距離為eq\r（3）。（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線y＝eq\f（\r(3),3)x－2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使eq\o（OM，\s\up12(→）)＋eq\o(ON，\s\up12（→）)＝teq\o（OD,\s\up12（→))，求t的值及點D的坐標．21．（14分）已知直線l：y＝x＋m，m∈R.（1）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程;(2）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C:x2＝4y是否相切？若相切，求出此時的m值;若不相切,說明理由．高二期中考試數(shù)學(xué)答案（理科）1．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(）A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3,則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3解析：a＋b＋c＝3的否命題是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2〈3.答案：A2．若PQ是圓x2＋y2＝9的弦,PQ的中點是M（1，2),則直線PQ的方程是（)A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0解析:由圓的幾何性質(zhì)知kPQ·kOM＝－1，∵kOM＝2，∴kPQ＝－eq\f(1，2）,故直線PQ的方程為y－2＝－eq\f（1,2)（x－1），即x＋2y－5＝0。答案：B3.已知定點A(1，2)和直線l：x＋2y－5＝0，那么到定點A的距離和到定直線l距離相等的點的軌跡為 ()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線4。在平面直角坐標系中,若點（－2，t)在直線x－2y＋4＝0的上方，則t的取值范圍是（）A．(－∞，1） B．（1，＋∞)C．(－1，＋∞） D．(0,1)5.直線l1：(m＋2）x＋（m2－3m)y＋4＝0,l2：2x＋4(m－3）y－1＝0,如果l1∥l2，則m的值A(chǔ)－4B0C3D－4或3。思路分析:分斜率存在、不存在兩種情況討論．解：（1）當(dāng)l1，l2斜率都存在時，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m≠0,,4m－3≠0，)）所以m≠0且m≠3。由l1∥l2，得－eq\f(m＋2，m2－3m）＝－eq\f(2，4m－3），解得m＝－4.此時l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－eq\f(1，2）＝0，顯然，l1與l2不重合，滿足條件．（2)當(dāng)l1，l2斜率不存在時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0,，4m－3＝0，））解得m＝3.此時l1：x＝－eq\f（4,5），l2：x＝eq\f（1,2）,滿足條件．綜上所述，m＝－4或m＝3。6.已知F是拋物線y2＝x的焦點,A，B是拋物線上的兩點，|AF｜＋｜BF｜＝3，則線段AB的中點M到y(tǒng)軸的距離為（）A。eq\f（3，4）B．1C。eq\f（5，4）D.eq\f(7,4）解析：利用拋物線定義A到準線距離｜AA′｜,B到準線距離|BB′|,且｜AA′｜＋|BB′｜＝3,AB中點M到y(tǒng)軸距離d＝eq\f（3，2）－eq\f（1,4)＝eq\f(5，4).答案：C7．不等式（x－2y＋1)（x＋y－3）≤0在坐標平面內(nèi)表示的區(qū)域（用陰影部分表示）應(yīng)是()8．（2012年東北四校高三模擬)過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線，交雙曲線于A,B兩點，設(shè)雙曲線的左頂點為M，若△MAB是直角三角形,則此雙曲線的離心率e的值為 ()A。eq\f（3,2） B．2C。eq\r(2) D。eq\r（3）解析：如圖所示,△AMF為等腰直角三角形，｜AF|為|AB｜的一半，|AF｜＝eq\f(b2，a）.而｜MF｜＝a＋c,由題意可得,a＋c＝eq\f（b2，a)，即a2＋ac＝b2＝c2－a2，即c2－ac－2a2兩邊同時除以a2可得，e2－e－2＝0，解之得，e＝2.答案：B9．直線y＝kx＋3與圓（x－2)2＋（y－3）2＝4相交于M，N兩點，若｜MN｜≥2eq\r（3），則k的取值范圍是（)A。eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（3,4），0))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3),3),\f(\r(3）,3)））C．[－eq\r(3），eq\r(3)]D.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(2,3),0)）解析：本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、圓的方程與幾何性質(zhì)．如圖,記題中圓的圓心為C(2,3）,作CD⊥MN于D，則|CD｜＝eq\f（|2k|,\r(1＋k2)），于是有|MN|＝2|MD｜＝2eq\r(｜CM|2－|CD｜2)＝2eq\r(4－\f(4k2，1＋k2）)≥2eq\r(3），即4－eq\f（4k2,1＋k2）≥3，解得－eq\f(\r(3），3)≤k≤eq\f(\r(3)，3)。答案：B10.已知F是拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點,P是該拋物線上的動點，則線段PF中點的軌跡方程是 (）A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq\f（1,16)C．x2＝y(tǒng)－eq\f(1,2） D．x2＝2y－2解析：把拋物線方程y＝eq\f（1,4）x2化成標準形式x2＝4y，可得焦點F（0，1），設(shè)P(x0，y0）,PF的中點M（x，y）．由中點坐標公式得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（x0,2），,y＝\f(y0＋1，2）,)）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x,，y0＝2y－1。)）又∵P(x0，y0)在拋物線y＝eq\f(1,4）x2上，∴2y－1＝eq\f(1，4)(2x）2,即x2＝2y－1.答案:A11.直線kx－y＋2k＋2＝0。（k∈R)經(jīng)過定點M,則M的坐標為__________．12.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a〉0，b>0）的一條漸近線方程是y＝eq\r（3)x，它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為__________． （）解析：∵雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f（b，a）x，∴eq\f(b，a)＝eq\r(3)。①∵拋物線y2＝24x的準線方程為x＝－6，∴－c＝－6。②又c2＝a2＋b2.③由①②③得a＝3，b＝3eq\r（3)?！郺2＝9,b2＝27.∴雙曲線方程為eq\f（x2，9)－eq\f（y2,27）＝1.13。一條光線經(jīng)過點P(2,3)射在直線x＋y＋1＝0上,反射后，經(jīng)過點A(1，1），則光線的反射線所在的直線方程分別為________．解析：（2）入射光線所在的直線和反射光線所在的直線關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱，設(shè)點P關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對稱點的坐標為Q（x0，y0），因此PQ的中點在直線x＋y＋1＝0上，且PQ所在直線與直線x＋y＋1＝0垂直,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(y0－3,x0－2)×－1＝－1，，\f(x0＋2，2）＋\f（y0＋3,2）＋1＝0，))解得Q(－4，－3)，∵反射光線經(jīng)過A、Q兩點，∴反射光線所在直線的方程為4x－5y＋1＝0。答案：(2）4x－5y＋1＝014．命題p：“任意x∈R，使ax2＋4x＋a≥－2x2＋1"是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．15．(2011·蘇錫常鎮(zhèn))如果圓(x－a）2＋（y－a)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是__________________．解析：∵（x－a)2＋(y－a）2＝4，∴圓心坐標為（a，a)，半徑為2，圓心在直線y＝x上，只需考察圓心與原點之間的距離,先畫個單位圓,由于圓(x－a）2＋(y－a）2＝4的半徑為2，當(dāng)a＝eq\f(\r（2）,2)時，單位圓與圓(x－a)2＋（y－a）2＝4內(nèi)切，此時只有切點到原點的距離是1，當(dāng)a＝eq\f(3\r(2），2）時，單位圓與圓（x－a)2＋(y－a)2＝4外切，此時也只有切點到原點的距離是1，而當(dāng)eq\f(\r（2),2)〈a<eq\f（3\r（2），2）時,單位圓與圓(x－a）2＋(y－a）2＝4相交于兩個點,且恰有這兩個交點到原點的距離為1；同理，當(dāng)－eq\f(3\r（2),2）〈a〈－eq\f(\r(2）,2)時，單位圓與圓(x－a)2＋(y－a）2＝4也相交于兩個點，且恰有這兩個交點到原點的距離為1，即當(dāng)eq\f（\r（2）,2)<a〈eq\f（3\r(2），2)或－eq\f(3\r（2）,2)<a〈－eq\f（\r（2)，2）時，單位圓與圓（x－a）2＋(y－a）2＝4相交于兩個點,在圓(x－a)2＋（y－a）2＝4上總存在這兩個交點到原點的距離為1.答案：eq\f（\r(2）,2)〈a<eq\f(3\r(2),2）或－eq\f（3\r（2）,2)〈a<－eq\f（\r（2),2）三、解答題16．(12分)根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程：(1)經(jīng)過兩點A（0，2)和Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2),\r（3))）。(2）已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上,點P到兩焦點的距離分別為eq\f(4,3)eq\r(5)和eq\f(2,3)eq\r(5），過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點;解：(1)設(shè)經(jīng)過兩點A（0,2）,Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2),\r（3）））的橢圓標準方程為mx2＋ny2＝1（m〉0,n〉0,m≠n)，代入A、B得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1,\f（1，4）m＋3n＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，n＝\f(1，4）))，∴所求橢圓方程為x2＋eq\f(y2，4)＝1。（2）設(shè)橢圓的標準方程是eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f（x2,b2)＝1，則由題意知2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝2eq\r（5)，∴a＝eq\r（5).在方程eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1中令x＝±c得｜y|＝eq\f(b2,a）在方程eq\f（y2，a2)＋eq\f(x2,b2)＝1中令y＝±c得|x｜＝eq\f（b2,a）依題意并結(jié)合圖形知eq\f（b2,a）＝eq\f(2,3）eq\r（5).∴b2＝eq\f(10,3）。即橢圓的標準方程為eq\f（x2，5）＋eq\f(3y2，10)＝1或eq\f（y2,5)＋eq\f（3x2,10)＝1.17．（12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r（2），且過點(4，－eq\r(10）)．點M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線方程；(2)求證：eq\o(MF1,\s\up12（→））·eq\o（MF2，\s\up12（→)）＝0；(3)求△F1MF2面積．解：（1)∵e＝eq\r(2）,∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ?！哌^點（4，－eq\r（10）)，∴16－10＝λ，即λ＝6。∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：法一：由（1）可知，雙曲線中a＝b＝eq\r（6),∴c＝2eq\r(3）,∴F1（－2eq\r(3），0),F2（2eq\r（3），0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f（m2，9－12)＝－eq\f（m2,3)?！唿c(3，m）在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1,∴MF1⊥MF2。∴eq\o（MF1，\s\up12（→))·eq\o（MF2,\s\up12(→))＝0。法二：∵eq\o（MF1,\s\up12（→））＝（－3－2eq\r（3)，－m),eq\o(MF2，\s\up12(→)）＝（2eq\r(3)－3，－m）,∴eq\o（MF1,\s\up12（→）)·eq\o（MF2，\s\up12（→)）＝（3＋2eq\r（3))×(3－2eq\r（3）)＋m2＝－3＋m2，∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6,即m2－3＝0，∴eq\o(MF1，\s\up12(→)）·eq\o(MF2,\s\up12(→）)＝0.（3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，由(2）知m＝±eq\r（3).∴△F1MF2的高h＝｜m|＝eq\r（3),∴S△F1MF2＝6.18.(12分）已知橢圓C：eq\f（x2，16）＋eq\f（y2，9)＝1和點P(1,2），直線l經(jīng)過點P并與橢圓C交于A、B兩點，求當(dāng)l的傾斜角變化時,弦中點的軌跡方程．解:設(shè)弦中點為M(x,y),交點為A（x1，y1)，B(x2，y2）．當(dāng)M與P不重合時,A、B、M、P四點共線．∴(y2－y1）（x－1）＝(x2－x1)（y－2），①由eq\f(x\o\al(2,1)，16)＋eq\f（y\o\al(2,1）,9)＝1,eq\f(x\o\al(2,2）,16)＋eq\f（y\o\al(2，2）,9）＝1兩式相減得eq\f（x1－x2x1＋x2,16)＋eq\f（y1－y2y1＋y2,9）＝0。又x1＋x2＝2x,y1＋y2＝2y,∴eq\f(2xx1－x2，16）＝－eq\f(2yy1－y2,9）,②由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0,③當(dāng)點M與點P重合時，點M坐標為（1,2)適合方程③，∴弦中點的軌跡方程為：9x2＋16y2－9x－32y＝0.19．設(shè)A,B分別為雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a>0,b〉0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4eq\r（3)，焦點到漸近線的距離為eq\r（3）。(1）求雙曲線的方程；(2)已知直線y＝eq\f(\r(3）,3）x－2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使eq\o（OM,\s\up12(→))＋eq\o(ON，\s\up12（→）)＝teq\o（OD，\s\up12(→))，求t的值及點D的坐標．解：(1）由題意知a＝2eq\r(3)，∴一條漸近線為y＝eq\f（b，2\r（3）)x，即bx－2eq\r(3）y＝0，∴eq\f(｜bc｜，\r(b2＋12））＝eq\r（3），∴b2＝3，∴雙曲線的方程為eq\f（x2，12)－eq\f（y2,3)＝1。（2）設(shè)M（x1,y1)，N（x2，y2），D（x0,y0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，將直線方程代入雙曲線方程得x2－16eq\r（3）x＋84＝0,則x1＋x2＝16eq\r(3），y1＋y2＝12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（x0，y0）＝\f(4\r(3），3),，\f(x\o\al(2，0),12）－\f(y\o\al(2，0),3）＝1,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝4\r（3)，,y0＝3，)）∴t＝4,點D的坐標為(4eq\r（3），3）．20。(13分）已知,如圖，⊙O：x2＋y2＝1和定點A（2,1）,由⊙O外一點P（a，b)向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|＝|PA｜。(1）求實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段PQ長的最小值；(3)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點,試求半徑取最小值時⊙P的方程．解：（1）接接OP，∵Q為切點，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ｜2＝｜OP|2－｜OQ|2。又由已知|PQ｜＝｜PA|，故｜PQ｜2＝|PA|2,即(a2＋b2）－12＝（a－2）2＋（b－1)2.化簡得實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為2a＋b(2)由2a＋b－3＝0，得b＝－2|PQ｜＝eq\r(a2＋b2－1)＝eq\r（a2＋－2a＋32－1)＝eq\r（5a2－12a＋8）＝eq\r(5\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－\f(6，5)))2＋\f（4，5）).故當(dāng)a＝eq\f（6,5)時,|PQ|min＝eq\f（2,5）eq\r（5)，即線段PQ長的最小值為eq\f(2,5）eq\r（5).（3）設(shè)⊙P的半徑為R，⊙P