海南省2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷（四）

海南省2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷（四）

（理科）

（考試時間120分鐘滿分150分）

一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.數(shù)列{a1滿足an=4a「]+3且a]=0,則此數(shù)列第4項是（）

A.15B.16C.63D.255

2.若a、b是任意實數(shù)，且a>b,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.-<1C.1g（a-b）>0D.（[）a<（-）b

3JJ

3.不等式-x2-2x+3<0的解集為（）

A.{x|x23或xV-1}B.{x|-l<x<3}C.{x|-3<x<l}D.{*區(qū)4-3或41}

4.在aABC中，已知a=8,B=60。，C=75°,則b等于（）

A.4A/6B.V5C.4V3D.當

x+2y-5<0

5.設(shè)變量x,y滿足約束條件,x-y-240,則目標函數(shù)z=2x+3y+l的最大值為（）

.x>0

A.11B.10C.9D.8.5

6.已知p：x>k,q：-^-<1，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是（）

x+1

A.[2,+8）B.（2,+8）C.[1,+8）D.（-8,-1）

7.命題“若x2<4,則-2Vx<2"的逆否命題是（）

A.若X224,則X22或X4-2B.若-2<xV2,貝Ux2<4

C.若x>2或xV-2,貝Ijx2>4D.若X22,或x4-2,則

8.當x>2時，不等式xif>a恒成立，則實數(shù)a的()

A.最小值是8B.最小值是6C.最大值是8D.最大值是6

9.如圖，在aABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD,2AB=V5BD,BC=2BD,則sinC的

值為()

A.害B.《C.*D*

10.記實數(shù)X],X2，“八中的最大數(shù)為max{X],x2,...xn},最小數(shù)為min{x1,x2,...xn}.B

知AABC的三邊邊長為a、b、c(a<b<c)，定義它的傾斜度為t=max{3-}?min{9

bcabc

-},X,則"t=l"是"AABC為等邊三角形”的()

a

A.充分但不必要的條件B.必要而不充分的條件

C.充要條件D.既不充分也不必要的條件

11.已知函數(shù)f(n)=i12cos(nn),且ajf(n),貝1|a]+a2+a3+...+a]oo=()

A.0B.100C.5050D.10200

12.在R上定義運算?:x?y=x(1-y),要使不等式(x-a)?(x+a)>1成立，則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.-l<a<lB.0<a<2C.a<-^a>!D.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.在等差數(shù)列{a"中，a1+a4+a7=39,a3+a6+ag=27,則數(shù)列{a"的前9項之和S9等

于

x+y-2>0

14.若x,y滿足，kx~y+2>0,且z=y-x的最小值為-4,則k的值為.

.y>0

15.在AABC中，B=60°,AC=百，則AB+2BC的最大值為.

16.下列四個說法：

①一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真；

②若k>0,則方程X2+2X-k=0有實數(shù)根；

③“x>2"是的充分不必要條件；

④設(shè)｛a/是公比為q的等比數(shù)列，則"q>l"是"｛aj為遞增數(shù)歹『'的充分而不必要條件.

其中真命題的序號是.

三、解答題(共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

17.已知等差數(shù)列｛a1的公差為2,前n項和為Sn，且SjS2,S4成等比數(shù)列，求數(shù)列｛a1

的通項公式.

18.要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45。，在D點測

得塔頂A的仰角是30。，并測得水平面上的NBCD=120。，CD=40m,則電視塔的高度為

m.

19.已知首項是1的兩個數(shù)列｛a/,｛%｝(bn#0,n￡N*)滿足-1+]%+21+]%=0.

(1)令%=會，求數(shù)列｛.｝的通項公式；

0ri

(2)若\=311,求數(shù)列｛a1的前n項和Sn.

20.在銳角AABC中，已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.向量(2sin(A+C),炳)，

n=(cos2B,2cos22-1)，且向量小門共線.

(1)求角B的大??；

(2)如果b=l,求aABC的面積SAABC的最大值.

21.國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟困難學生支付在校學習

期間所需的學費、住宿費及生活費.每一年度申請總額不超過6000元.某大學2010屆畢業(yè)

生王某在本科期間共申請了24000元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)(按36個月計)全部

還清.

簽約的單位提供的工資標準為第一年內(nèi)每月1500元，第13個月開始，每月工資比前一個月

增加5%直到4000元.王某計劃前12個月每個月還款額為500,第13個月開始，每月還款

額比前一月多x元.

(I)用x和n表示王某第n個月的還款額an；

(II)若王某恰好在第36個月(即畢業(yè)后三年)還清貸款，求x的值；

(H)當x=40時，王某將在第幾個月還清最后一筆貸款？他當月工資的余額是否能滿足每月

3000元的基本生活費？

(參考數(shù)據(jù)：1.0518=2.406,1.0519=2.526,1.0520=2,653,1.0521=2.786)

22.設(shè)｛aj是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為S/并且對于所有的n^N+，都有8S廣(an+2)

2

(1)寫出數(shù)列｛a3的前3項；

(2)求數(shù)列｛aj的通項公式(寫出推證過程)；

(3)設(shè)b『a:'Tn是數(shù)列｛、｝的前n項和，求使得。〈喘對所有n^N+都成立的最小

正整數(shù)m的值.

23.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5(a>l).

(1)若f(X)的定義域和值域均是[1,a],求實數(shù)a的值；

(2)若對任意的X],x2e[l,a+1],總有|f(X])-f(x2)|<4,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題

1.C.2.D,3.D.4.A.5,B6.B.7.D.8.D.9.D.10.B.

11.C.12.C.

二、填空題

13.解:二?在等差數(shù)列｛aj中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,

?*.a4=13,a6=9,

??a^+a^=22>又a4+a6=a]+ag,，

X9

，數(shù)列&｝的前9項之和S9==2^2=99.

故答案為：99.

14.解：z=y-x表示在y軸上截距為z且平行于y=x的直線;

z取最小值-4時，得到直線y=x-4；

畫出直線x+y-2=0和y=x-4如下圖:

由題意知，直線z=y-x經(jīng)過原不等式所表示的平面區(qū)域的最右端（4,0）點;

從而可知原不等式表示的平面區(qū)域如上圖陰影部分所示;

...直線kx-y+2=0表示在x軸上的截距為4,在y軸上的截距為2的直線;

.?.y=0時，x=恪4；

k

k=-4.

2

故答案為：

15.解：設(shè)AB=cAC=bBC=a

由余弦定理

2.2八2

cosB=———......—

2ac

所以a2+c2-ac=b2=3

設(shè)c+2a=m

代入上式得

7a2-5am+m2-3=0

△=84-3m2>0故ITI<2A/7

當寸，此時@二舁］?=當帚合題意

因此最大值為2A/7

故答案為：2a

16.解：①一個命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真，但逆否命題不一定為真，故錯

誤；

②若k>0,則方程x2+2x-k=0中△=4+4k>0,故有實數(shù)根，故正確；

③“x>2”可以推出但推不出x>2,x可能小于零，故應是充分不必要條件，

x2x2

故正確；

④設(shè)｛a"是公比為q的等比數(shù)列，則首項大于零，"｛a,為遞增數(shù)列"故錯誤.

故正確答案為②③.

三、解答題

17.解：設(shè)等差數(shù)列｛aj的首項為a1，又公差為2,

則S]=a],S2=a|+a2=2a]+2,S4=4a?+6x2=4a?+12,

VSpS2,S4成等比數(shù)列，

22

AS2=S1?S4>即(2a/2)=aj(4a/12),

解得：a]=l.

/.an=l+2(n-1)=2n-1.

18.解:由題題意，設(shè)AB=x,則BD=bx,BC=x

在ZXDBC中,ZBCD=120°,CD=40,

,根據(jù)余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC?CD-cosZDCB

即：(如x)~=(40)2+x2-2x40*x*cosl20°

整理得x2-20x-800=0,解之得x=40或x=-20(舍)

即所求電視塔的高度為40米.

故答案為：40

19.解：(1)Vanbn+1-an+1bn+2bn+|bn=0,%令

bn

???%-%+1+2=°，

*',cn+l-~=2,

???首項是1的兩個數(shù)列｛aj,｛%｝,

二數(shù)列｛%｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列,

cn=2n-1；

a

(2)?.4=3"1c=n

nb

n

an=(2n-1)?3I

1n-1

,?.Sn=lx3°+3x3+...+(2n-1)x3

2n

.,.3Sn=lx3+3x3+.,.+(2n-1)x3,

n

-2Sn=l+2?(31+…+3*b-(2n-1)?3,

n

ASn=(n-1)3+l.

20.解：(1)?.?向量、共線，

mn

2

.*.2sin(A+C)(2COS1-D-V5cos2B=0,又A+C=K-B,

/.2sinBcosB->/3cos2B,B|Jsin2B=V3cos2B,

/.tan2B=\/3>

jr

又銳角△ABC,得至!JB￡(0,-y),

A2Be(0,n),

.?.2B=4,故B=^；

36

TT*

(2)由(1)知：B=—，且b=l,

6

根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-,

/.l+V3ac=a2+c2>2ac,即(2-?)ac<l,ac<懸齊+幾

；?SAABC與csinB=)ac42+產(chǎn),當且僅當a=c-"^：加時取等號,

/.△ABC的面積最大值為2里.

21.解：(I)?.?王某計劃前12個月每個月還款額為500,第13個月開始，每月還款額比

前一月多x元.

.’500(l<n<12,n€N*)

..a

n500+(n~12)x(134n436,n€N*)

(H)依題意，從第13個月開始，每個月的還款額為an構(gòu)成等差數(shù)列，其中a]=500+x,公

差為x.

從而，到第36個月，王某共還款12x500+24a]+竺

94X(24-1)

令12x500+24x(500+x)~'?x=24000,解之得x=20(元).

2

即要使在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還20元.

(III)設(shè)王某第n個月還清，則應有

12X500+(500+40)X(n-12)+6一⑵.心^頒。

整理可得n2+2n-1068=0,解之得n>~l+V1069>-1+32=31,取n=32.

即王某工作32個月就可以還清貸款.

這個月王某的還款額為

24000-[12X500+(500+40)X(31-12)+一(31.12)乂2(31-12-1).如卜能。(元)

第32個月王某的工資為1500x1.0520=1500x2.653=3979.5元.

因此，王某的剩余工資為3979.5-900=3079.5,能夠滿足當月的基本生活需求.

22.解:(1)n=l時8aj=(a1+2)2Aaj=2

n=2時8(@]+@2)=(@2+2)2.,.@2=6

2a=

n=3時8(a|+a2+a3)=(a3+2)A310

22

(2)V8Sn=(an+2).\8Sn.1=(an-1+2)(n>l)

222

兩式相減得：8an=(an+2)-(%_]+2)BPan_an_-4^-4an_}=0

也即(an+an_j)4)=0

Van>O/.an-a。_i=4即{a"是首項為2,公差為4的等差數(shù)列

Aan=2+(n-1)*4=4n-2

_4____________4_________________1_________1/1_1x

n=

-an'an+1(4n-2)(4n+2)~(2n~l)(2n+l)^2(2n-l)(2n+l)

??-V