5.1.1++任意角+課件【知識(shí)精講精研】高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

5.1任意角與弧度制5.1.1任意角1.通過觀察圓的周期性變化，理解任意角的概念；2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義；3.通過對(duì)任意角的建構(gòu)過程，掌握用集合表示終邊相同的角.

知識(shí)點(diǎn)1：任意角的概念回顧：角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；角的表示：如圖，OA是角

α

的始邊，OB是角

α

的終邊，O是角的頂點(diǎn)；角

α

可記為“角

α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”．OABα主動(dòng)輪被動(dòng)輪問題1：如圖，若主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)兩周，你能準(zhǔn)確描述出被動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象嗎？AB通過觀察，可知：主動(dòng)輪和被動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)方向是相反的，但題中未給明主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)方向，故同樣不能判斷被動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)方向，無法準(zhǔn)確描述被動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.思考：如圖，如何區(qū)分主動(dòng)輪、被動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)形成的不同方向的角？概念講解角的分類：按一條射線繞其端點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類：正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角，如圖∠α；負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角，如圖∠β；零角：沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角；OABα正角O1A1B1β負(fù)角注意：如果角α與角β的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β；用圖像表示角時(shí)，箭頭的方向體現(xiàn)角的正負(fù)，因此箭頭不能少.知識(shí)點(diǎn)2：任意角的運(yùn)算問題2：如圖，類比實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，說說將α

的終邊再次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β

后該如何表示？αβ把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β；思考：若將α

的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β

后又該如何表示？順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角β為負(fù)角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α–|β|；注：字母α、β

表示任意角，本身即是帶有符號(hào)的.任意角的運(yùn)算當(dāng)α，β的符號(hào)為正時(shí)，射線的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針；符號(hào)為負(fù)時(shí)，射線的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針；為了方便，可用|α|、|β|表示相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)量；

按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角；

即：角α的相反角記為–α.總結(jié)歸納OAB1αB2-αOAB1-αB2α知識(shí)點(diǎn)3：終邊相同的角OxyB–30°330°–390°例1：結(jié)合上述發(fā)現(xiàn)，完成下列填空：–390°=–30°+（

）；330°=30°+（

）.–360°360°思考：分別將30°、–390°及330°的角，畫在坐標(biāo)系中，結(jié)合圖象說說你有什么發(fā)現(xiàn)？由圖可知，角的終邊OB除了可以表示-30°的角之外，還可以表示-390°，330°等角；即：

30°、–390°及330°是終邊相同的角.思考：結(jié)合上述例題，你發(fā)現(xiàn)了終邊相同的角的變化規(guī)律嗎？規(guī)律：由圖可知，與–30°終邊相同的這些角都可以表示成-30°角與k個(gè)周角的和，其中k∈Z；OxyB–30°330°–390°–390°=–30°–360°（k=–1）；330°=30°+360°（k=1）.概念講解一般地，所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合：S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即：任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.注意：（1）α是任意角；（2）集合中α與k·360°間用“+”連接；如：k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°)，表示與-30°角終邊相同的角.例2：寫出與α＝－910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°＜β＜360°的元素β寫出來．解：與α＝－910°終邊相同的角的集合為{β|β＝－910°+k·360°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜－910°+k·360°＜360°，k∈Z，∴k可取1，2，3；當(dāng)k＝1時(shí)，β＝－910°+360°＝－550°；當(dāng)k＝2時(shí)，β＝－910°+2×360°＝－190°；當(dāng)k＝3時(shí)，β＝－910°+3×360°＝170°.1.下面與－850°12′終邊相同的角是(

)A．230°12′

B．229°48′C．129°48′ D．130°12′練一練BOα=25°β=–120°xy知識(shí)點(diǎn)3：象限角與軸線角問題3：如圖，計(jì)算α+β的值，并說說結(jié)果所得的角位于第幾象限？α+β=25°+(-120°)=-95°；

-95°的角位于第三象限.總結(jié)：如圖，角α

是第一象限角，角β

、角α+β是第三象限角；象限角：角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角.思考：若角α

的終邊在坐標(biāo)軸上，那么角α

還是象限角嗎？若角的終邊在坐標(biāo)軸（x/y）上，那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，我們把這樣的叫軸線角，如右圖的角γ.Oxyγ思考：你能說說在坐標(biāo)系中討論角的好處嗎？例3：已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合；

請(qǐng)作出下列各角，并判斷它們分別是第幾象限角．①65°；②155°；③-135°；④288°.解：如圖所示，作出各角的終邊；由圖可知：oxy65°oxy155°oxy-135°oxy288°注意：作圖時(shí)，可根據(jù)角的正負(fù)判斷角的旋轉(zhuǎn)方向?。?！1.下列說法中正確說法的序號(hào)為________．①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．練一練①注意：負(fù)角中的“負(fù)”表示的是角的方向，而不是角的大小，因此不能單純的認(rèn)為-360°的角小于180°的角.1.象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大??；2.負(fù)角中的“負(fù)”表示的是角的方向，而不是角的大?。?/p>

因此不能片面的用象限、正負(fù)判斷角的大小.總結(jié)歸納

解：因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所?0°+

k·360°<α<

180°+k·360°，k∈Z；

思考：你還能寫出其他不同象限角的集合表示嗎？象限角的集合表示象限角象限角α

的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角{α|k·360°＜α＜90°+k·360°，k∈Z}{α|90°+k·360°＜α＜180°+k·360°，k∈Z}{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°，k∈Z}{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°，k∈Z}思考：若角不在象限內(nèi)，你能寫出它們的集合表示嗎？軸線角的集合表示：角α

終邊的位置象限角α

的集合表示在x軸的非負(fù)半軸上在x軸的非正半軸上在y軸的非負(fù)半軸上在y軸的非正半軸上在x軸上在y軸上在坐標(biāo)軸上{α|α=k·360°，k∈Z}{α|α=180°+k·360°，k∈Z}{α|α=90°+k·360°，k∈Z}{α|α=270°+k·360°，k∈Z}{α|α=k·180°，k∈Z}{α|α=90°+k·180°，k∈Z