習(xí)題課2控制工程

習(xí)題課2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

（幾個重要的拉氏變換1/(s+a)

tcoswt1/s1(t)sinwt1δ(t)F(s)f(t)F(s)f(t)主要定理L[f(t)]=F(s)1）疊加定理 L[af1+bf2]=aF1+bF2 2）微分定理 L[f’]=sF-f(0)初始條件

L[fn]=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f’(0)-…-f(n-1) (0)3）積分定理 L[∫fdt]=F(s)/s+∫fdt|t=0/s

不定積分常數(shù)項初始條件4)延遲定理 L[f(t-T)]=e-sTF(s)5)衰減定理 L[e-atf(t)]=F(s+a)主要定理L[f(t)]=F(s)6)初值定理 limf(t)|t=0=limsF(s)|s=00條件:存在7)終值定理 limf(t)|t=00=lim

sF(s)|s=0

條件:存在8)卷積定理 L[f*g]=F(s)G(s)

f*g=∫0tf(t-x)g(x)dx=∫0tf(x)g(t-x)dx9)時乘變換 L[tf(t)]=-dF(s)/ds10)時間比例變換 L[f(t/a)]=aF(as)3.拉氏變換的基本性質(zhì)(1)線性性質(zhì)原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。(2)微分性質(zhì)若，則有f(0)為原函數(shù)f(t)在t=0時的初始值。證：根據(jù)拉氏變換的定義有

原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換(3)積分性質(zhì)若則式中為積分當(dāng)t=0時的值。證：設(shè)則有由上述微分定理，有即：同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0則有即原函數(shù)f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以。（4）.終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。證：由微分定理，有等式兩邊對s趨向于0取極限注：若時f(t)極限不存在，則不能用終值定理。如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。(5)初值定理：證明方法同上。只是要將取極限。(6)位移定理：a.實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲，則其象函數(shù)應(yīng)乘以b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以即：(7)時間比例尺定理原函數(shù)在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即：證：(8)卷積定理兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。即證明：二.拉氏反變換1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：2.拉式反變換——部分分式展開式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點,這時,F(s)總能展開成如下簡單的部分分式之和（2）情況2:F(s)有共軛極點例2：求解微分方程（3）情況3:F(s)有重極點,假若F(s)有L重極點,而其余極點均不相同。那么如果不記公式,可用以下方法求解微分方程解 解的拉氏變換(原函數(shù)）

反變換

部分分式展開(象函數(shù)) /\ /\ | 解代數(shù)方程|

微分方程

帶入初始條件拉氏變換

象函數(shù)代數(shù)方程例：x”+5x’+6x=u u=1(t),x(0),x’(0)(s2+5s+6)X(s)-[(s+5)x(0)+x’(0)]=1/s解的組成分析 強制+系統(tǒng)自由分量解=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)

=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的分量運動形式組成決定于(s2+5s+6)=0的根(特征方程)一.數(shù)學(xué)模型1.定義：控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計自動控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。二.線性系統(tǒng)1.定義：如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。三.傳遞函數(shù)1.定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。2-1概述3.表示形式a.微分方程

b.傳遞函數(shù)

c.頻率系統(tǒng)

三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換例2.RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。rLCur(t)uc(t)i(t)依據(jù)：電學(xué)中的基爾霍夫定律由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)整理成規(guī)范形式例1：RC電路如圖所示依據(jù)：基爾霍夫定律消去中間變量，則微分方程為：可用方框圖表示例2.雙T網(wǎng)絡(luò)對上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得：解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：方法二：用復(fù)阻抗法2-5結(jié)構(gòu)圖一.結(jié)構(gòu)圖的概念和組成1.概念

將方框圖中各時間域中的變量用其拉氏變換代替，各方框中元件的名稱換成各元件的傳遞函數(shù)，這時方框圖就變成了結(jié)構(gòu)圖。2.組成(1)方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上的信號處處相同。

三.結(jié)構(gòu)圖的等效變換（1）串聯(lián)G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)2-6梅遜公式一.術(shù)語介紹

1.節(jié)點結(jié)構(gòu)圖中所有的引出點，比較點稱節(jié)點。2.前向通路從輸入到輸出，并與任何一個節(jié)點相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各傳遞函數(shù)的乘積，叫前向通路增益。3.回路

起點和終點在同一節(jié)點，且與其他節(jié)點相交不多于一次的閉合通路叫單獨回路，回路中所有傳遞函數(shù)的乘積叫回路增益。4.不接觸回路相互間沒有公共節(jié)點的回路稱為不接觸回路。二.梅遜公式任一結(jié)構(gòu)圖中，某個輸入對某個輸出的傳遞函數(shù)為式中：n為前向通路的條數(shù)

Pk為第k條前向通路增益

Δ為系統(tǒng)特征式

Δ=1-（所有單獨回路增益之和）+（所有每兩個互不接觸回路增益乘積之和）-（所有三個互不接觸回路增益乘積之和）+……Δk為第k條前向通路特征式的余子式，即將第k條前向通路去掉，對余下的圖再算一次Δ。1RC網(wǎng)絡(luò)如圖1、2所示，其中Ui,U0分別為網(wǎng)絡(luò)的輸入量和輸出量?，F(xiàn)要求（1）畫出網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖；（2）求傳遞函數(shù)U0(s)/Ui(s)，化為標(biāo)準(zhǔn)形式rLCur(t)uc(t)i(t)注：同學(xué)作題可以不以元件為單位畫。2RC網(wǎng)絡(luò)如圖1、2所示，其中Ur,Uc分別為網(wǎng)絡(luò)的輸入量和輸出量?，F(xiàn)要求（1）畫出網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖；（2）求傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)，化為標(biāo)準(zhǔn)形式3,利用Mason公式求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)|N=0,E(s)/R(s)|N=0,C(s)/N(s)|R=0,求R(s),N(s)同時作用下的總輸出C(s)（1）本例C(s)/R(s)的求法兩兩互不接觸回路有L1L2（2）若以E(s)為輸出，R(s)為輸入，傳遞函數(shù)E(s)/R(s)如下求?。簝蓛苫ゲ唤佑|回路仍為L1L2

無論輸入輸出是什么，回路是不變的，所以Δ不變(3).若在G2輸入端有一點干擾N(s),求C(s)/N(s)

因為傳遞函數(shù)是單輸入單輸出，所以求C(s)/N(s）時令R(s)=0.(當(dāng)然求C(s)/R(s)時也要令N(s)=0)，則有(4).若求R(s),N(s)同時作用下的總輸出，則有4系統(tǒng)如圖，利用梅遜公式求出傳遞函數(shù)

第三章：1基于微分方程和傳遞函數(shù)求解時間響應(yīng)2穩(wěn)定性：勞斯判據(jù)3穩(wěn)態(tài)性能4動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能輸出盡量跟隨參考輸入而不受干擾影響誤差：誤差=期望輸出-實際輸出實際輸出=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差=期望輸出-實際穩(wěn)態(tài)輸出穩(wěn)態(tài)分量輸出量取決于輸入量和相應(yīng)傳遞函數(shù)研究對象:原理性誤差穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的主要原因：非線性（分辨率、死區(qū)）+原理性線性系統(tǒng)的原理誤差：G(s)H(s)r(t)R(s)y(t)e(t)E(s)b(t)B(s)Y(s)-當(dāng)H(s)=1時，參考輸入即期望的輸出當(dāng)H(s)不等于1時，就不能用上式定義誤差，可行的定義為根據(jù)穩(wěn)態(tài)