2024屆上海市部分重點中學數(shù)學高一第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2024屆上海市部分重點中學數(shù)學高一第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓（為圓心，且在第一象限）經(jīng)過，，且為直角三角形，則圓的方程為（）A． B．C． D．2．如圖，正方體中，異面直線與所成角的正弦值等于A． B． C． D．13．直線與、為端點的線段有公共點，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知四棱錐中，平面平面，其中為正方形，為等腰直角三角形，，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．兩數(shù)與的等比中項是（）A．1 B．－1 C．±1 D．6．用3種不同顏色給2個矩形隨機涂色，每個矩形涂且只涂種顏色,則2個矩形顏色不同的概率為（）A．13 B．12 C．27．若函數(shù)，又，，且的最小值為，則正數(shù)的值是（）A． B． C． D．8．以為圓心，且與兩條直線，都相切的圓的標準方程為（）A． B．C． D．9．把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對立事件B．互斥但不對立事件C．不可能事件D．必然事件10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則等于（）A． B． C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若直線：與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是___________.12．已知圓錐如圖所示，底面半徑為，母線長為，則此圓錐的外接球的表面積為___．13．在數(shù)列中，，，則__________．14．若滿足約束條件，則的最小值為_________.15．數(shù)列中，其前n項和,則的通項公式為______________..16．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為__________．（容器壁的厚度忽略不計）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A．B．C的對邊分別為A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．18．已知（1）化簡；（2）若，求的值.19．設數(shù)列,，已知，，（1)求數(shù)列的通項公式；（2)設為數(shù)列的前項和,對任意.（i）求證：；（ii)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.21．已知，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

設且，半徑為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.【題目詳解】依題意，圓經(jīng)過點，可設且，半徑為，則，解得，所以圓的方程為.【題目點撥】本題主要考查了圓的標準方程的求解，其中解答中熟記圓的標準方程的形式，以及合理應用圓的性質是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.2、D【解題分析】

由線面垂直的判定定理得：，又，所以面，由線面垂直的性質定理得：，即可求解．【題目詳解】解：連接，因為四邊形為正方形，所以，又，所以面，所以，所以異面直線與所成角的正弦值等于1，故選D．【題目點撥】本題考查了線面垂直的判定定理及性質定理，屬中檔題．3、D【解題分析】

由直線方程可得直線恒過點，利用兩點連線斜率公式可求得臨界值和，從而求得結果.【題目詳解】直線恒過點則，本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用直線與線段有交點確定直線斜率取值范圍的問題，關鍵是能夠確定直線恒過的定點，從而找到直線與線段有交點的臨界狀態(tài).4、D【解題分析】

因為為等腰直角三角形，,故,則點到平面的距離為,而底面正方形的中心到邊的距離也為,則頂點正方形中心的距離,正方形的外接圓的半徑為,故正方形的中心是球心,則球的半徑為,所以該幾何體外接球的表面積,應選D．5、C【解題分析】試題分析：設兩數(shù)的等比中項為，等比中項為-1或1考點：等比中項6、C【解題分析】

由古典概型及概率計算公式得2個矩形顏色不同的概率為69【題目詳解】用3種不同顏色給2個矩形隨機涂色，每個矩形涂且只涂1種顏色，共32則2個矩形顏色不同共A3即2個矩形顏色不同的概率為69故選：C．【題目點撥】本題考查了古典概型及概率計算公式，屬于基礎題．7、D【解題分析】，由，得，，由，得，則，當時，取得最小值，則，解得，故選D.8、C【解題分析】

由題意有，再求解即可.【題目詳解】解：設圓的半徑為，則，則，即圓的標準方程為，故選：C.【題目點撥】本題考查了點到直線的距離公式，重點考查了運算能力，屬基礎題.9、B【解題分析】試題分析：把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但除了事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”還有“丙分得紅牌”，所以這兩者不是對立事件，答案為B.考點：互斥與對立事件.10、D【解題分析】

根據(jù)題意,由正弦定理得，再把，，代入求解.【題目詳解】由正弦定理，得，所以．故選:D【題目點撥】本題主要考查了正弦定理的應用,還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】若直線與直線的交點位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點應在線段上（不包含點）,當交點為時，直線的傾斜角為，當交點為時，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為12、【解題分析】

根據(jù)圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，再根據(jù)勾股定理可得求的半徑．【題目詳解】由圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，設球心為，球的半徑為，則，圓，因為,所以，所以，，則有.解得，則.【題目點撥】本題主要考查了幾何體的外接球，關鍵是會找到球心求出半徑，通常結合勾股定理求．屬于難題．13、16【解題分析】

依次代入即可求得結果.【題目詳解】令，則；令，則；令，則；令，則本題正確結果：【題目點撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列中的項，屬于基礎題.14、3【解題分析】

在平面直角坐標系內，畫出可行解域，平行移動直線，在可行解域內，找到直線在縱軸上截距最小時所經(jīng)過點的坐標，代入目標函數(shù)中，求出目標函數(shù)的最小值.【題目詳解】在平面直角坐標系中，約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖所示：當直線經(jīng)過點時，直線縱軸上截距最小，解方程組，因此點坐標為，所以的最小值為.【題目點撥】本題考查了線性目標函數(shù)最小值問題，正確畫出可行解域是解題的關鍵.15、【解題分析】

利用遞推關系，當時，，當時，，即可求出.【題目詳解】由題知：當時，.當時，.檢驗當時，，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查根據(jù)數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了分類討論的思想，屬于簡單題.16、【解題分析】表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為1、2、6的長方體的外接球．設其半徑為R,，所以該球形容器的表面積的最小值為．【題目點撥】將表面積最小的球形容器，看成其中兩個正四棱柱的外接球，求其半徑，進而求體積．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）周期為π，最大值為2.（2）【解題分析】

（1）利用倍角公式降冪，展開兩角差的余弦，將函數(shù)的關系式化簡余弦型函數(shù)，可求出函數(shù)的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【題目詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）＝1+cos2x＝cos（2x）+1，∵﹣1≤cos（2x）≤1，∴T，f（x）的最大值為2；（2）由題意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，即：cos（﹣2A），又∵0＜A＜π，∴2A，∴﹣2A，即A．在△ABC中，b+c＝2，cosA，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，由于：bc，當b＝c＝1時，等號成立．∴a2≥4﹣1＝3，即a．則a的最小值為．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦形函數(shù)的性質的應用，余弦定理和基本不等式的應用，是中檔題．18、(1)；(2)【解題分析】

（1）直接利用誘導公式化簡求解即可；（2）由（1）可求出，然后利用同角三角函數(shù)的基本關系式將化成只含有的表達式，代入即可求解．【題目詳解】（1）（2）因為，所以，由于將代入，得【題目點撥】本題主要考查誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關系式的應用，意在考查學生的數(shù)學建模能力和運算能力．19、(1)；(2)（i）見證明；（ii)【解題分析】

（1)計算可知數(shù)列為等比數(shù)列；（2）（i）要證即證{}恒為0；（ii)由前兩問求出再求出，帶入式子，再解不等式.【題目詳解】(1)，又，是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，；（2）（i），又恒成立，即（ii)由,，兩式相加即得：，，，，當n為奇數(shù)時，隨n的增大而遞增，且；當n為偶數(shù)時，隨n的增大而遞減，且；的最大值為，的最小值為2，解得，所以實數(shù)p的取值范圍為．【題目點撥】本類試題，注意看問題，一般情況，問題都會指明解題方向20、（1）；（2），.【解題分析】

（1）先求出公差和首項，可得通項公式；（2）由（1）可得前項和，由二次函數(shù)性質