2024屆山東省煙臺(tái)市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆山東省煙臺(tái)市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)函數(shù)，則()A．在單調(diào)遞增，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．在單調(diào)遞增，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在單調(diào)遞減，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．在單調(diào)遞增，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱2．《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A． B． C． D．3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若，，則()A． B． C． D．5．已知，，則（）A． B． C． D．6．已知，則下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．7．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．8．的值為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列{an}滿足且，則的值是()A．－5 B．－ C．5 D．10．如果且，那么的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等差數(shù)列中，，當(dāng)最大時(shí)，的值是________.12．若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則的取值范圍是________.13．設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為_________．14．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角最大值為______.15．若點(diǎn)，是圓C：上不同的兩點(diǎn)，且，則的值為______.16．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，M為B1C1中點(diǎn)，連接A1B，D1M，則異面直線A1B和D1M所成角的余弦值為________________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于，，其中是常數(shù).（1）試討論：數(shù)列在什么條件下為等比數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）設(shè)，且對(duì)任意的，有意義，數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，求的最大值.18．已知向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，設(shè)32，2．（Ⅰ）若⊥，求實(shí)數(shù)k的值；（Ⅱ）當(dāng)k＝0時(shí)，求與的夾角θ的大?。?9．如圖，在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，.（1）若，求；（2）若，求的面積.20．已知向量，滿足：，，．（Ⅰ）求與的夾角；（Ⅱ）求．21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

先將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)判斷單調(diào)性和對(duì)稱性，從而選擇答案.【題目詳解】

根據(jù)選項(xiàng)有，當(dāng)時(shí)，在在上單調(diào)遞增.又即為的對(duì)稱軸.當(dāng)時(shí)，為的對(duì)稱軸.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查的單調(diào)性和對(duì)稱性質(zhì)，屬于中檔題.2、A【解題分析】

設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【題目詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.3、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)==1﹣i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式得到的值，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合角的范圍，即可得答案.【題目詳解】∵，又，∴.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意符號(hào)問(wèn)題.5、A【解題分析】

由，代入運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩角差的正切公式，屬基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

由，，計(jì)算可判斷；由，，計(jì)算可判斷；由，可判斷；作差可判斷．【題目詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，可得，故錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，故錯(cuò)誤；當(dāng)，，故錯(cuò)誤；，即，故正確．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的性質(zhì)，考查特殊值的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.8、B【解題分析】由誘導(dǎo)公式可得，故選B.9、A【解題分析】試題分析：即數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列．考點(diǎn)：1．等比數(shù)列的定義及基本量的計(jì)算；2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．10、B【解題分析】

取，故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6或7【解題分析】

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由，可以得到和公差的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出最大時(shí)，的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)或時(shí)，有最大值，因此當(dāng)?shù)闹凳?或7.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和最大值問(wèn)題，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12、【解題分析】

作出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可得答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，作出函?shù)的圖像，由圖可知故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦型函數(shù)的圖像，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

試題分析：試題分析：由得，平移直線由圖象可知，當(dāng)過(guò)時(shí)目標(biāo)函數(shù)的最大值為，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為．考點(diǎn)：1、利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；2、利用基本不等式求最值．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查可行域、含參數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解和均值不等式求最值，屬于難題．含參變量的線性規(guī)劃問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問(wèn)題的存在增加了探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開放性，此類問(wèn)題一般從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)目標(biāo)函數(shù)變化過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求最優(yōu)解的關(guān)鍵．14、【解題分析】

根據(jù)余弦定理列式，再根據(jù)基本不等式求最值【題目詳解】因?yàn)樗越亲畲笾禐椤绢}目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題15、【解題分析】

由，再結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，是圓C：上不同的兩點(diǎn)，則，，又所以，即，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】

連接、，取的中點(diǎn)，連接，可知，且是以為腰的等腰三角形，然后利用銳角三角函數(shù)可求出的值作為所求的答案．【題目詳解】如下圖所示：連接、，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角為或其補(bǔ)角，易知，由勾股定理可得，，為的中點(diǎn)，則，在中，，因此，異面直線和所成角的余弦值為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角的余弦值的計(jì)算，求解異面直線所成的角一般利用平移直線法求解，遵循“一作、二證、三計(jì)算”，在計(jì)算時(shí)，一般利用銳角三角函數(shù)的定義或余弦定理求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）當(dāng)，且時(shí)，數(shù)列一定為等比數(shù)列.理由見解析；（2）【解題分析】

（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列．（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步求出數(shù)列的和及最大值．【題目詳解】解：（1）對(duì)于，，，①.②①減②得，即，，.當(dāng)，且時(shí)，數(shù)列一定為等比數(shù)列.（2）由（1）得，，由，得，即（或）由可解得.所以，.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊加法在求數(shù)列的通項(xiàng)公式中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用⊥，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，得到關(guān)于的方程，即可求解；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及向量的夾角公式，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，所以，，，又由.若⊥，可得，解得k．（Ⅱ）當(dāng)k＝0時(shí)，，則．因?yàn)?，由向量的夾角公式，可得，又因?yàn)?≤θ≤π，∴，所以與的夾角θ的大小為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）求出，，中由余弦定理即可求得；（2）設(shè)，利用正弦定理表示出，求得，利用面積公式即可得解.【題目詳解】（1）在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，，，所以，中，由余弦定理得：所以中，由余弦定理得：；（2），設(shè)，在中，，在中，由正弦定理，即，，所以，的面積.【題目點(diǎn)撥】此題考查解三角形，對(duì)正余弦定理的綜合使用，涉及兩角差的正弦公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系的使用，綜合性較強(qiáng).20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（I）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，化簡(jiǎn)，得到，由此求得的大小.（II）先利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求得的值，由此求得的值.【題目詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)?，由已知，，所以．所以．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查向量數(shù)量積運(yùn)算，考查向量夾角的計(jì)算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.21