專題2.4有理數(shù)新定義問(wèn)題大題專練-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.4有理數(shù)新定義問(wèn)題大題專練班級(jí)：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答題（共30小題）1．（2023秋?民權(quán)縣月考）“⊙”表示一種新的運(yùn)算，它是這樣定義的：a⊙b＝2a+3b．（1）求5⊙6的值；（2）求4⊙（5⊙3）的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝2×5+3×6＝10+18＝28；（2）根據(jù)題中的新定義得：原式＝4⊙（2×5+3×3）＝4⊙19＝2×4+3×19＝8+57＝65．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2023?五河縣一模）我們定義一種新運(yùn)算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：1*3＝12﹣3+1×3＝1．（1）求（﹣3）*（﹣2）的值；（2）求（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]的值．【答案】（1）17；（2）﹣47．【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算的定義列出算式（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2），再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）原式變形為（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【解答】解：（1）（﹣3）*（﹣2）＝（﹣3）2﹣（﹣2）+（﹣3）×（﹣2）＝9+2+6＝17；（2）（﹣2）*[（﹣3）*（﹣2）]＝（﹣2）*17＝（﹣2）2﹣17+（﹣2）×17＝4﹣17﹣34＝﹣47．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．3．（2022秋?渠縣期末）對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)x，y，m，n，我們給它一個(gè)規(guī)定：（x，y）☆（m，n）＝2x+m﹣yn，例如：（4，2）☆（5，6）＝2×4+5﹣2×6＝1請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定的運(yùn)算解決下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：（2，﹣2）☆（3，4）；（2）計(jì)算：（﹣2，﹣3）☆（3，4）﹣（2，﹣12）☆（﹣3，﹣4）；（3）若有理數(shù)（3x﹣2，-13）☆（2，x﹣1）﹣（1，2）☆（3，4）＝7，求【答案】（1）15；（2）58；（3）x＝1．【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（3）已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出x的值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝2×2+3﹣（﹣2）×4＝4+3+8＝15；（2）根據(jù)題中的新定義得：原式＝2×（﹣2）+3﹣（﹣3）×4﹣[2×2+（﹣3）﹣（﹣12）×（﹣4）]＝﹣4+3+12﹣（4﹣3﹣48）＝﹣4+3+12﹣4+3+48＝58；（3）已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)得：2（3x﹣2）+2﹣（-13）（x﹣1）﹣（1×2+3﹣2×4）＝整理得：6x﹣4+2+13x-13-2移項(xiàng)合并得：193x=解得：x＝1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2021秋?臨江市期末）若“△”表示一種新運(yùn)算，規(guī)定a△b＝a×b﹣（a+b）．（1）計(jì)算：（﹣4）△（﹣5）；（2）已知（﹣2）△（1+x）＝﹣x+6，求x的值．【答案】（1）29；（2）-7【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出x的值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：（﹣4）△（﹣5）＝（﹣4）×（﹣5）﹣（﹣4﹣5）＝29；（2）根據(jù)題意可得：﹣2（1+x）﹣（﹣2+1+x）＝﹣x+6，去括號(hào)得：﹣2﹣2x+1﹣x＝﹣x+6，移項(xiàng)合并得：﹣2x＝7，解得：x=-7【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2021秋?宜春期末）定義新運(yùn)算“⊕”與“?”：a⊕b=a+b2，a?b（1）計(jì)算[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）?（﹣1）]的值；（2）若A＝[3b⊕（﹣a）]+[a?（2﹣3b）]，B＝[a⊕（﹣3b）]+[（﹣a）?（﹣2﹣9b）]，比較A和B的大?。敬鸢浮浚?）1；（2）A＜B．【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）A和B利用題中的新定義化簡(jiǎn)，判斷即可．【解答】解：（1）由題意可知：[3⊕（﹣2）]﹣[（﹣2）?（﹣1）]=3-2=1＝1；（2）由題意可知：∵A==3b-a+a-2+3b＝3b﹣1，B==a-3b-a+2+9b＝3b+1，∴A﹣B＝3b﹣1﹣（3b+1）＝3b﹣1﹣3b﹣1＝﹣2＜0，則A＜B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．6．（2022春?東臺(tái)市月考）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因?yàn)?3＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（-12，﹣8）＝﹣3（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，試說(shuō)明下列等式成立的理由：a+b＝c．（3）拓展應(yīng)用：計(jì)算（10，2）+（10，5）．【答案】（1）3，2，﹣3．（2）理由見(jiàn)解答過(guò)程；（3）1．【分析】（1）根據(jù)定義直接可得（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（-12，﹣8）＝﹣（2）由（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，得4a＝5，4b＝6，4c＝30，即知4a?4b＝4c，從而a+b＝c；（3）設(shè)（10，2）＝m，（10，5）＝n，則10m＝2，10n＝5，可得10m+n＝10，故m+n＝1，即（10，2）+（10，5）＝1．【解答】解：（1）∵43＝64，（﹣2）2＝4，（-12）﹣3＝﹣∴（4，64）＝3，（﹣2，4）＝2，（-12，﹣8）＝﹣故答案為：3，2，﹣3．（2）∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a?4b＝4c，∴a+b＝c；（3）設(shè)（10，2）＝m，（10，5）＝n，則10m＝2，10n＝5，∴10m×10n＝2×5＝10∴10m+n＝10，∴m+n＝1，即（10，2）+（10，5）＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解應(yīng)用新定義解決問(wèn)題．7．（2022秋?昆山市校級(jí)月考）現(xiàn)定義一種新運(yùn)算：a?b＝ab+a﹣b，如1?3＝1×3+1﹣3＝1．（1）求[（﹣2）?5]?（6）；（2）新定義的運(yùn)算滿足交換律嗎？試以（﹣4）?3和3?（﹣4）舉例說(shuō)明．【答案】（1）﹣125；（2）不滿足，說(shuō)明見(jiàn)解答．【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（2）不滿足，舉例說(shuō)明即可．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝（﹣10﹣2﹣5）?6＝（﹣17）?6＝﹣102﹣17﹣6＝﹣125；（2）新定義的運(yùn)算不滿足交換律，例如：（﹣4）?3＝﹣12﹣4﹣3＝﹣19；3?（﹣4）＝﹣12+3+4＝﹣5，∵﹣19≠﹣5，∴（﹣4）?3≠3?（﹣4），則不滿足交換律．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．8．（2022秋?孝南區(qū)期中）對(duì)于有理數(shù)a，b，我們定義一種新運(yùn)算，規(guī)定“※”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，a※b＝ab2﹣a．例如：1※2＝1×22﹣1＝3．（1）求2※12（2）求（﹣3）※[1※（﹣2）]的值．【答案】（1）-3（2）﹣24．【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝2×（12）2﹣2＝2×14-2（2）根據(jù)題中的新定義得：1※（﹣2）＝1×（﹣2）2﹣1＝4﹣1＝3，則原式＝（﹣3）※3＝﹣3×32﹣（﹣3）＝﹣27+3＝﹣24．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．9．（2022秋?濮陽(yáng)縣期中）在學(xué)習(xí)完《有理數(shù)》后，小奇對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣，借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“⊕”，規(guī)則如下：a⊕b＝a×b+2×a．（1）求3⊕（﹣1）的值；（2）求-2⊕(-4⊕1【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式3×（﹣1）+2×3，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出﹣4⊕12=-10，再計(jì)算原式＝﹣2⊕（﹣【解答】解：（1）原式＝3×（﹣1）+2×3＝﹣3+6＝3；（2）﹣4⊕1＝﹣4×12+2＝﹣2﹣8＝﹣10，∴原式＝﹣2⊕（﹣10）＝﹣2×（﹣10）+2×（﹣2）＝20﹣4＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．10．（2022秋?昌平區(qū)期中）已知a為有理數(shù)，定義運(yùn)算符號(hào)“※”：當(dāng)a＞﹣1時(shí)，※a＝﹣a；當(dāng)a＜﹣1時(shí)，※a＝a；當(dāng)a＝﹣1時(shí)，※a＝0．（1）※3＝﹣3；（2）※（﹣5+4）＝0；（3）計(jì)算：※[7+※（3﹣5）]．【答案】（1）﹣3；（2）0；（3）﹣5．【分析】（1）根據(jù)定義的新運(yùn)算，即可解答；（2）根據(jù)定義的新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）根據(jù)定義的新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）※3＝﹣3，故答案為：﹣3；（2）※（﹣5+4）＝※（﹣1）＝0，故答案為：0；（3）※[7+※（3﹣5）]＝※[7+※（﹣2）]＝※[7+（﹣2）]＝※5＝﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?讓胡路區(qū)校級(jí)期中）“?”表示一種新運(yùn)算，它的意義是a?b＝ab﹣（a+b）（1）求（﹣2）?（﹣3）；（2）求（3?4）?（﹣5）．【答案】（1）11；（2）﹣25．【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝（﹣2）×（﹣3）﹣（﹣2﹣3）＝6+5＝11；（2）根據(jù)題中的新定義得：3?4＝3×4﹣（3+4）＝12﹣7＝5，則原式＝5?（﹣5）＝5×（﹣5）﹣（5﹣5）＝﹣25．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．12．（2022秋?東陽(yáng)市月考）定義“*”運(yùn)算，觀察下列運(yùn)算：（+3）*（+11）＝14，（﹣11）*（﹣12）＝23；（﹣4）*（+13）＝﹣17，（+6）*（﹣10）＝﹣16；0*（+13）＝﹣13，（﹣10）*0＝10．（1）請(qǐng)你認(rèn)真思考上述運(yùn)算，歸納“*”運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行“*”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“*”運(yùn)算或任何數(shù)和0進(jìn)行“*”運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．（2）計(jì)算：（﹣12）*[0*（﹣6）]．（3）若（4*a）×2+2＝4a，則a的值為5或﹣1．【答案】（1）正，負(fù)，相加，相反數(shù)；（2）﹣18；（3）5或﹣3．【分析】（1）觀察上述計(jì)算，歸納“*”的法則即可；（2）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（3）已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出a的值．【解答】解：（1）兩數(shù)進(jìn)行“*”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“*”運(yùn)算或任何數(shù)和0進(jìn)行“*”運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；故答案為：正，負(fù)，相加，相反數(shù)；（2）根據(jù)題中的新定義得：原式＝﹣12*6＝﹣18；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，已知等式變形得：2（4+a）+2＝4a，解得：a＝5；當(dāng)a＜0時(shí)，已知等式變形得：﹣2（4﹣a）+2＝4a，解得：a＝﹣3，綜上所述，a的值是5或﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．13．（2022秋?臨沭縣校級(jí)月考）定義一種新運(yùn)算：a&b=4ab-b(a求：（1）2&（﹣5）；（2）1&4．【答案】（1）﹣35；（2）1．【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝4×2×（﹣5）﹣（﹣5）＝﹣40+5＝﹣35；（2）根據(jù)題中的新定義得：原式＝1×4+1﹣4＝4+1﹣4＝1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．14．（2022秋?興化市校級(jí)月考）我們定義一種新運(yùn)算：m▲n＝m﹣n+mn．（1）求3▲（﹣4）的值；（2）求（﹣6）▲[2▲（﹣3）]的值．【答案】（1）﹣5；（2）1．【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式3▲（﹣4）＝3﹣（﹣4）+3×（﹣4），再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出2▲（﹣3）＝﹣1，再計(jì)算（﹣6）▲[2▲（﹣3）]＝（﹣6）▲（﹣1）即可．【解答】解：（1）3▲（﹣4）＝3﹣（﹣4）+3×（﹣4）＝3+4﹣12＝7﹣12＝﹣5；（2）∵2▲（﹣3）＝2﹣（﹣3）+2×（﹣3）＝2+3﹣6＝﹣1，∴（﹣6）▲[2▲（﹣3）]＝（﹣6）▲（﹣1）＝﹣6﹣（﹣1）+（﹣6）×（﹣1）＝﹣6+1+6＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．15．（2022秋?豐縣校級(jí)月考）我們定義一種新運(yùn)算：a*b＝a×b﹣3a．例如：1*3＝1×3﹣1×3＝0．（1）求2*（﹣3）的值．（2）求（﹣2）*[2*（﹣3）]的值．【答案】（1）﹣12；（2）30．【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式2*（﹣3）＝2×（﹣3）﹣3×2，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）中所求及新定義得出（﹣2）*[2*（﹣3）]＝（﹣2）*（﹣12）＝（﹣2）×（﹣12）﹣3×（﹣2），再進(jìn)一步求解即可．【解答】解：（1）2*（﹣3）＝2×（﹣3）﹣3×2＝﹣6﹣6＝﹣12；（2）（﹣2）*[2*（﹣3）]＝（﹣2）*（﹣12）＝（﹣2）×（﹣12）﹣3×（﹣2）＝24+6＝30．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．16．（2022秋?江都區(qū)月考）用符號(hào)F表示一種運(yùn)算，它對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算結(jié)果分別如下：F（1）＝﹣5，F(xiàn)（2）＝﹣4，F(xiàn)（3）＝﹣3，F(xiàn)（4）＝﹣2，F(xiàn)（5）＝﹣1，F(xiàn)（12）=-14，F(xiàn)（13）=-19，利用以上規(guī)律計(jì)算：（1）F（7）×F（16（2）﹣1÷[﹣F（112）]÷F（78【答案】（1）-136；（2）﹣【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式（7﹣6）×（-1（2）根據(jù)題意列出算式﹣1÷[﹣（-1144）]÷（78﹣【解答】解：（1）原式＝（7﹣6）×（-1＝1×（-1=-1（2）原式＝﹣1÷[﹣（-1144）]÷（78﹣＝﹣1×144÷72＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．17．（2022秋?新?lián)釁^(qū)校級(jí)月考）規(guī)定一種新的運(yùn)算：a△b＝ab﹣a﹣b+1，如3△4＝3×4﹣3﹣4+1＝6．試求：[（﹣5）△4]△（﹣3）的值．【答案】76．【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：[（﹣5）△4]△（﹣3）＝[（﹣5）×4﹣（﹣5）﹣4+1]△（﹣3）＝（﹣20+5﹣4+1）△（﹣3）＝（﹣18）△（﹣3）＝（﹣18）×（﹣3）﹣（﹣18）﹣（﹣3）+1＝54+18+3+1＝76．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?泰州月考）對(duì)于任意有理數(shù)a，b，定義一種新的運(yùn)算“*”：a*b＝2ab﹣3，如2*3＝2×2×3﹣3＝9．（1）求（﹣2）*3的值；（2）求（﹣3）*（2*4）的值．【答案】（1）﹣15；（2）﹣81．【分析】（1）根據(jù)定義的新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)定義的新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：（﹣2）*3＝2×（﹣2）×3﹣3＝﹣12﹣3＝﹣15；（2）（﹣3）*（2*4）＝（﹣3）*（2×2×4﹣3）＝（﹣3）*（16﹣3）＝（﹣3）*13＝2×（﹣3）×13﹣3＝﹣78﹣3＝﹣81．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?興化市校級(jí)月考）定義☆運(yùn)算，觀察下列運(yùn)算：（+3）☆（+15）＝+18；（﹣14）☆（﹣7）＝+21，（﹣2）☆（+14）＝﹣16；（+15）☆（﹣8）＝﹣23，0☆（﹣15）＝+15；（+13）☆0＝+13．（1）請(qǐng)你認(rèn)真思考上述運(yùn)算，歸納☆運(yùn)算的法則，再寫出下列算式的結(jié)果．（+2）☆（+11）＝13；（﹣8）☆（﹣7）＝15；（﹣5）☆（+16）＝﹣21；0☆（﹣13）＝13；（2）計(jì)算：（+11）☆[0☆（﹣12）]＝23．（3）若2☆a﹣1＝3a，求a的值．【答案】（1）13，15，﹣21，13；（2）23；（3）a為12或-【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以將題目中的空填寫完整；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可以解答本題；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用分類討論的思想解答．【解答】解：（1）兩數(shù)進(jìn)行☆運(yùn)算時(shí)，同號(hào)兩數(shù)運(yùn)算取正號(hào)，再把絕對(duì)值相加，異號(hào)兩數(shù)運(yùn)算取負(fù)號(hào)，再把絕對(duì)值相加，特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行☆運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行☆運(yùn)算，等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，（+2）☆（+11）＝13；（﹣8）☆（﹣7）＝15；（﹣5）☆（+16）＝﹣21；0☆（﹣13）＝13，故答案為：13，15，﹣21，13；（2）（+11）☆[0☆（﹣12）]＝（+11）☆（+12）＝23，故答案為：23；（3）①當(dāng)a＝0時(shí)，左邊＝2﹣1＝1，右邊＝0，左邊≠右邊，所以a≠0；②當(dāng)a＞0時(shí)，2+a﹣1＝3a，解得a=1③當(dāng)a＜0時(shí)，﹣2+a﹣1＝3a，解得a=-3綜上所述，a為12或-【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，涉及新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．20．（2022秋?青縣校級(jí)月考）現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算“*”：a*b＝ab﹣2，例如：2*3＝23﹣2＝6，試求：（1）（﹣1）*4的值．（2）（-32）【答案】（1）﹣1；（2）-31【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算列出算式（﹣1）4﹣2，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出（-32）*2=14，再計(jì)算（-3【解答】解：（1）（﹣1）*4＝（﹣1）4﹣2＝1﹣2＝﹣1；（2）（-32＝[（-32）2＝（94-2=1＝（14）2﹣=1=-31【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．21．（2022秋?金東區(qū)校級(jí)月考）規(guī)定一種新的運(yùn)算：a☆b＝a﹣ab，例如3☆5＝3﹣3×5，請(qǐng)用上述規(guī)定計(jì)算下面各式：（1）2☆（﹣4）；（2）（﹣6）☆[2☆（﹣4）]．【答案】（1）10；（2）54．【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式計(jì)算即可；（2）先列式算括號(hào)內(nèi)的，再列式算括號(hào)外的．【解答】解：（1）2☆（﹣4）＝2﹣2×（﹣4）＝2+8＝10；（2）（﹣6）☆[2☆（﹣4）]＝（﹣6）☆[2﹣2×（﹣4）]＝（﹣6）☆（2+8）＝（﹣6）☆10＝（﹣6）﹣（﹣6）×10＝﹣6+60＝54．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出算式和掌握有理數(shù)相關(guān)運(yùn)算的法則．22．（2022秋?長(zhǎng)清區(qū)期中）對(duì)于有理數(shù)a、b規(guī)定一種新運(yùn)算：a@b＝2ab﹣b．（1）求3@4的值；（2）計(jì)算：5@[（﹣2）@4]的值．【答案】（1）20；（2）﹣180．【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式計(jì)算即可；（2）先算中括號(hào)內(nèi)的，再算中括號(hào)外的．【解答】解：（1）3@4＝2×3×4﹣4＝24﹣4＝20；（2）5@[（﹣2）@4]＝5@[2×（﹣2）×4﹣4]＝5@（﹣16﹣4）＝5@（﹣20）＝2×5×（﹣20）﹣（﹣20）＝﹣200+20＝﹣180．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義列式算式．23．（2022秋?南康區(qū)月考）定義新運(yùn)算；m*n＝（m﹣n）n+n﹣m，如3*2＝（3﹣2）2+2﹣3＝12+2﹣3＝0．（1）求（﹣1）*3的值．（2）若b＝2，且a*b+a+|c+5|＝2，求c*a的值．【答案】（1）﹣60；（2）56．【分析】（1）把相應(yīng)的值代入新定義的運(yùn)算中，結(jié)合有理數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）把b＝2代入條件，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a，c的值，從而可求解．【解答】解：（1）（﹣1）*3＝（﹣1﹣3）3+3﹣（﹣1）＝﹣64+3+1＝﹣60；（2）∵b＝2，且a*b+a+|c+5|＝2，∴a*2+a+|c+5|＝2，∴（a﹣2）2+2﹣a+a+|c+5|＝2，整理得：（a﹣2）2+|c+5|＝0，∴a﹣2＝0，c+5＝0，解得：a＝2，c＝﹣5，∴c*a＝（﹣5）*2＝（﹣5﹣2）2+2﹣（﹣5）＝49+2+5＝56．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，新定義，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．24．（2022秋?襄汾縣期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．老師說(shuō)：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫※（加乘）運(yùn)算．”然后老師寫出了一些按照※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：（+5）※（+2）＝+（|5|+|2|）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+（|3|+|5|）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣（|3|+|4|）＝﹣7；（+5）※（﹣6）＝﹣（|5|+|6|）＝﹣11；0※（+8）＝8；（﹣6）※0＝6．小明看了這些算式后說(shuō)：“我知道老師定義的※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了．”聰明的你也明白了嗎？（1）歸納※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則．兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算法則是：兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算運(yùn)算法則是：0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）都等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．（2）計(jì)算：①（﹣5）※[0※（﹣3）]；（括號(hào)的作用與它在有理數(shù)運(yùn)算中的作用一致）②[（﹣4）×3]×[（﹣10）×（﹣5）]．【答案】（1）兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相加；0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）都等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；（2）①﹣8；②﹣22．【分析】（1）歸納總結(jié)得到加乘法則，寫出即可；（2）各式利用得出的法則計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算法則是：兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算運(yùn)算法則是：0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）都等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；（2）①根據(jù)題中的新定義得：原式＝（﹣5）※3＝﹣（5+3）＝﹣8；②根據(jù)題中的新定義得：原式＝﹣7※15＝﹣（7+15）＝﹣22．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．25．（2021秋?鎮(zhèn)安縣期末）已知x、y為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算※，滿足x※y＝x2﹣xy﹣5，例如，2※1＝22﹣2×1﹣5＝﹣3，解答下列問(wèn)題：（1）比較2※3及2※（﹣3）的大小；（2）求（4※3）※2021的值．【答案】（1）2※3＜2※（﹣3）；（2）2017．【分析】（1）根據(jù)x※y＝x2﹣xy﹣5，可以計(jì)算出2※3及2※（﹣3）的值，然后比較大小即可；（2）22﹣2×（﹣3）﹣5，可以計(jì)算出所求式子的值．【解答】解：（1）∵x※y＝x2﹣xy﹣5，∴2※3＝22﹣2×3﹣5＝4﹣6﹣5＝﹣7；2※（﹣3）＝22﹣2×（﹣3）﹣5＝4+6﹣5＝5；∵﹣7＜5，∴2※3＜2※（﹣3）；（2）（4※3）※2021＝（42﹣4×3﹣5）※2021＝（16﹣12﹣5）※2021＝（﹣1）※2021＝（﹣1）2﹣（﹣1）×2021﹣5＝1+2021﹣5＝2017．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用新定義解答問(wèn)題．26．（2022秋?大豐區(qū)校級(jí)月考）已知a、b為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運(yùn)算，滿足a*b＝a×b﹣a+b．（1）求2*4的值；（2）求（1*3）*（﹣2）的值．【答案】（1）10；（2）﹣17．【分析】（1）根據(jù)新定義列出算式2*4＝2×4﹣2+4，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出1*3＝5，再計(jì)算（1*3）*（﹣2）＝5*（﹣2）即可．【解答】解：（1）2*4＝2×4﹣2+4＝8﹣2+4＝10；（2）1*3＝1×3﹣1+3＝3﹣1+3＝5，∴（1*3）*（﹣2）＝5*（﹣2）＝5×（﹣2）﹣5+（﹣2）＝﹣10﹣5﹣2＝﹣17．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．27．（2022秋?西安期末）【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對(duì)值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2的差的絕對(duì)值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．【探索】（1）若|x﹣2|＝5，則x＝7或﹣3；（2）利用數(shù)軸，找出所有符合條件的整數(shù)x，使x所表示的點(diǎn)到2和﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為3．（3）由以上探索猜想，對(duì)于任意有理數(shù)x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）|x﹣2|可以理解為x與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)|x﹣2|＝5即可求得x的值；（2）計(jì)算|x﹣2|+|x+1|＝3，求得x的取值范圍即可解題；（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解為數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)到2和﹣3的距離，即可解題．【解答】解：|x﹣2|可以理解為x與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，到2的距離為5的數(shù)字有7和﹣3，故答案為7或﹣3；（2）|x﹣2|+|x+1|＝3，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝3﹣2x＝3，x＝0（不符合題意舍去）；當(dāng)1﹣≤x≤2時(shí)，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3，當(dāng)x＞2時(shí)，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合題意舍去）；綜上所述，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，x所表示的點(diǎn)到2和﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為3；所以滿足條件的整數(shù)為﹣1，0，1，2；（3）|x﹣2|+|x+3|可以理解為數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)到2和﹣3的距離，求證方法和（2）相同，故有最小值為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的計(jì)算，考查了絕對(duì)值的定義．本題屬于基礎(chǔ)題，牢記絕對(duì)值定義是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋?永興縣期末）對(duì)于有理數(shù)x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，則稱x和y關(guān)于a的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，則2和3關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為3．（1）﹣3和5關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為8；（2）若x和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，求x的值；（3）若x0和x1關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，x1和x2關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，x2和x3關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…，x40和x41關(guān)于41的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…．①x0+x1的最小值為1；②x1+x2+x3+……+x40的最小值為820．【答案】（1）8；（2）x＝6或x＝0；（3）1；820．【分析】（1）認(rèn)真讀懂題意，利用新定義計(jì)算即可；（2）利用新定義計(jì)算求未知數(shù)x；（3）①讀懂題意尋找規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算；②由①得到的規(guī)律寫出含有絕對(duì)值的等式，一一分析到2、4、6、8、……、40的距離和為1的時(shí)候兩點(diǎn)表示的數(shù)的和的最小值，最后得出最小值．【解答】解：（1）|﹣3﹣2|+|5﹣2|＝8，故答案為：8；（2）∵x和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，∴|x﹣3|+|2﹣3|＝4，∴|x﹣3|＝3，解得x＝6或x＝0；（3）①∵x0和x1關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，∴|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1，∴在數(shù)軸上可以看作數(shù)x0到1的距離與數(shù)x1到1的距離和為1，∴x0+x1有最小值1，故答案為：1；②由題意可知：|x1﹣2|+|x2﹣2|＝1，x1+x2的最小值1+2＝3；|x3﹣4|+|x4﹣4|＝1，x3+x4的最小值3+4＝7；|x5﹣6|+|x6﹣6|＝1，x5+x6的最小值5+6＝11；|x7﹣8|+|x8﹣8|＝1，x7+x8的最小值7+8＝15；……；|x39﹣40|+|x40﹣40|＝1，x39+x40的最小值39+40＝79；∴x1+x2+x3+……+x40的最小值：3+7+11+15+……+79=(3+79)×20＝820．故答案為：820．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的意義，數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．2