單自由度系統(tǒng)的振動

振動理論振動：一個彈性系統(tǒng)在平衡位置上，受到一個沖擊〔突然施加一個外力或突然除去一個外力〕使這個彈性系統(tǒng)脫離原來的平衡位置，在新的位置上系統(tǒng)的彈性力不能與載荷相平衡了，于是就發(fā)生了振動。第1章單自由度系統(tǒng)的振動1.1單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動自由振動：只靠彈簧的彈性力所維持的振動稱為自由振動。

單自由度系統(tǒng)：只用一個坐標就可以把振動系統(tǒng)的形態(tài)說明了，這種系統(tǒng)稱為單自由系統(tǒng).引用符號由牛頓第二定律有有標準形式：或代入式〔1〕均滿中該方程為兩個任意常數(shù)，那么通解可寫為：均為周期函數(shù)，故有：一.簡諧振動無阻尼系統(tǒng)的固有角頻率rad/s運動微分方程法計算固有角頻率振動固有周期可見振動周期取決于系統(tǒng)的靜變位，只要靜變位按理論算出或用實驗方法定出，即可由式〔3〕確定振動的固有周期振動固有頻率式〔2〕所代表的振動稱為簡諧振動(harmonicmotion),并由運動的初始條件確定積分常數(shù)時代入式〔2〕得：那么有：固有頻率或固有周期與初始條件無關，表現(xiàn)出線性系統(tǒng)自由振動的等時性，質(zhì)量愈大，彈簧愈軟，那么固有頻率愈低，周期愈長；反之，質(zhì)量愈小，彈簧愈硬，那么固有頻率愈高，周期愈短。靜變形法計算固有頻率二.簡諧振動的表示1.以旋轉(zhuǎn)矢量表示的簡諧振動式〔4〕可寫為：式中：簡諧運動可用模為A的旋轉(zhuǎn)矢量在坐標軸x上的投影來表示。2.以復數(shù)表示的簡諧振動模為A的矢量OP旋轉(zhuǎn)，其復數(shù)表示為根據(jù)歐拉公式式〔6〕可表示為：比較式〔6〕〔7〕簡諧振動是復數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸上的投影.在以后的表達中，對復數(shù)表達式不做特殊說明時，即表示取其虛部.3.物體運動的速度和加速度為由式〔5〕〔9〕〔10〕可知，當物體的位移是簡諧函數(shù)時，它的速度與加速度也是簡諧函數(shù)，它們與位移的頻率相同，速度的相位超前位移，加加速度的相位超前位移例1.：求：系統(tǒng)自由振動的振幅A解：鋼絲靜伸長例2.：重物重W放在一根長為的梁上，不計梁的質(zhì)量，試確定彈性常數(shù)以及物體在鉛直方向作自由振動的頻率.lc解：梁重物處的靜變形為那么：例3.：升降機吊籠，以等速下降，鋼絲繩視為彈簧，假設A端突然停止，求鋼繩所受到的最大應力。繩子質(zhì)量略去不計。解：等速下降時鋼絲靜伸長1.2能量法對于無阻尼的單自由度自由振動系統(tǒng)，其機械能守恒，即：動能為零時勢能到達最大值，而勢能為零時動能到達最大值，那么有：振動系統(tǒng)的自然頻率，如果系統(tǒng)的阻尼可略去，那么由能量法計算更方便.工程實際中通常振幅不大的振動，差不多都是簡諧振動，都可用式〔1〕計算振動的固有頻率。mx或能量法計算固有頻率例1.如圖各擺作小振幅振動，不計各桿的質(zhì)量，試用能量法求各桿擺的振動頻率。laall1.3瑞利法前面研究的振動系統(tǒng)中彈性原件的質(zhì)量通常被略去，為了計及這局部質(zhì)量對系統(tǒng)振動固有頻率的影響，利用能量法可對分布質(zhì)量系統(tǒng)作近似計算，方法是先對具有分布質(zhì)量的彈性元件假定一種振動形式，然后將無阻尼自由振動的簡諧規(guī)律代入，即得到等效質(zhì)量和固有頻率，這種近似計算方法稱為瑞利法〔為LordRayleigh所創(chuàng)〕例1.試計算彈簧的等效質(zhì)量。彈簧長度為彈簧動能為為彈簧質(zhì)量考慮彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的總動能等效質(zhì)量例2.試計算懸臂梁的等效質(zhì)量。假定振動中梁的變位曲線和梁外端加一靜載荷時梁的變位曲線的形狀相同。1.4復雜系統(tǒng)的等效問題1.剛度等效〔按剛度的定義等效〕平行串聯(lián)、并聯(lián)彈簧的等效剛度例1Asuspensionsystemofafreighttruckwithaparallel-springarrangement.Findtheequivalentspringconstantofthesuspensionifeachofthethreehelicalspringsismadeofandhasfiveeffectiveturns,meancoildiameter

andwirediameter例2Ahoistingdrum,carryingasteelwireripe,ismountedattheendofacantileverbeam.DeterminetheequivalentspringconstantofthesystemwhenthesuspendedlengthofthewireropeisAssumethatthenetcross-sectionaldiameterofthewireropeisandtheYoung’smodulusofthebeamandthewireropeis斜拉彈簧在某個位移方向上的等效彈簧剛度為彈簧的伸長量例1Tocalculateequivalentstiffnessin

and

directions2.剛度等效〔按等效前后系統(tǒng)勢能不變原那么等效〕例1.TheboomABofthecraneshowninFig.1.27(a)isauniformsteelbaroflength10mandareaofcross

section

2500.AweightWissuspendedwhilethecraneisstationary.ThecableCDEBFismadeofsteelandhasacross-sectionalareaof100.NeglectingtheeffectofthecableCDEB.

Findthe

equivalent

spring

constantofthesystemintheverticaldirection.AverticaldisplacementxofpointBwillcausethespring(boom)todeformbyanamount

andthespring

(cable)todeformbyanamount

.Sincetheequivalentspringintheverticaldirectionundergoesadeformation,the

potential

energy

of

theequivalentspring

is

given

by

2.質(zhì)量等效〔等效前后系統(tǒng)的動能相等〕Example1.TheequivalentmasscanbeassumedtobelocatedatpointA.Thelinearcoordinate

specifiesthedisplacementofpointA.Thestaticequilibriumpositionofthesystemiszeroposition.Thekineticenergyoftheoriginalsystemis

Thekineticenergyoftheequivalentsystemis

By

CombinationofMassesInmanypracticalapplications,severalmassesappearincombination.Forasimpleanalysis,wecanreplacethesemassesbyasingleequivalentmass,asindicatedbelow.Case1:TranslationalMassesConnectedbyaRigidBarCase2:TranslationalandRotationalMassesCoupledTogether.(1)asingleequivalenttranslationalmass

(2)asingleequivalentrotationalmass1.Equivalenttranslationalmass.

2.Equivalentrotationalmass.

Example2Cam-FollowerMechanism

Find:Equivalentmassofthecam-followersystem(i)atpointA,(ii)atpoint

CApproach:Equivalence

of

kinetic

energy.Similarly,iftheequivalentmassislocatedatpointC,1.5扭振專題1.等直徑軸的扭轉(zhuǎn)振動2.階梯軸的扭轉(zhuǎn)振動12等效成具有軸1直徑的當量軸原那么：等效前后扭轉(zhuǎn)剛度不變推廣：扭振周期3.兩端各帶一轉(zhuǎn)動體軸的扭振周期mnlabJ1J2由動量矩守恒兩端的物體永遠做相反方向的轉(zhuǎn)動，那么必有截面mn是不動的，稱節(jié)截面.截面左右兩局部振動周期相等.4.傳動系統(tǒng)的扭振周期及等效軸的長度AJAJDBCD略去軸及齒輪的轉(zhuǎn)動慣量兩齒輪外嚙合，運動方向始終相反，故等效軸的節(jié)截面為BC截面5.驅(qū)動系統(tǒng)的剛度等效問題6.驅(qū)動系統(tǒng)的慣性等效問題1.6單自由度有阻尼系統(tǒng)的自由振動阻尼:使振動衰減的作用.阻尼產(chǎn)生原因：材料的內(nèi)摩擦,連接點、支承面等處的外摩擦及介質(zhì)阻力等.阻尼力：在振動分析當中用于代替阻尼作用的阻礙振動的力。粘滯阻尼理論假定阻尼力大小與速度成正比,方向與速度相反。c-----阻尼系數(shù)(dampingcoefficient〕運動微分方程為：令設特征方程特征根為令為兩個特解，這兩個解的和或差乘上任何常數(shù)仍是原方程的解，下面分三種情況討論：弱阻尼情況那么通解為：由初始條件代入上式有那么令那么由于阻尼的作用，振動的周期增加了.假設很小的話，阻尼對振動周的影響并不大.有阻尼系統(tǒng)的自由振動不再是等幅的簡諧振動，是振幅被限制在之內(nèi)，并按時間指數(shù)衰減的振動，最終完全消失.①②③臨界阻尼情況由初始條件不發(fā)生振動，臨界阻尼是區(qū)分振動與不振動的的界線.阻尼比①②臨界阻尼cc兩個根均為實數(shù)，而且是負的，通解為：解里沒有周期性的因子了，不振動，粘性阻尼大到，當物體離開平衡位置后，只是緩慢地回到平衡位置.由初始條件過阻尼情況臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)都不會發(fā)生振動，但臨界阻尼系統(tǒng)的阻尼為最小，所以物塊回到平衡位置所需的時間最短，這一特性在工程中有許多應用；例如發(fā)射炮彈的回彈機構(gòu)在發(fā)射炮彈后是不希望振動的，而且需以較短時間回到靜平衡位置，以備進行下一次發(fā)射，這個系統(tǒng)就需要臨界阻尼以滿足這樣的要求。弱阻尼系統(tǒng)阻尼對自由振動有以下兩方面影響：⑴阻尼使系統(tǒng)的周期略有增大⑵阻尼使系統(tǒng)的振幅按幾何級數(shù)衰減任意兩個相鄰振幅的比，振動是衰減的.對數(shù)衰減率假設那么阻尼測量由上面兩式可得：或?qū)嶋H測量時可計n個循環(huán),那么那么系統(tǒng)的等效阻尼為：①②①②(3)例1:對圖示體系作自由振動試驗.用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,將繩突然切斷,開始作自由振動.經(jīng)4周期,用時2秒,振幅降為1cm.求：1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.假設質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比2cm解:1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.假設質(zhì)量增加800kg,周期和阻尼比例2:摩托車沖擊吸振裝置，阻尼振動周期質(zhì)量由于路面不平獲得初速度導致最大位移，求：解：①確定阻尼比②確定無阻尼自由振動固有角頻率③N.s/m

N.s/m

N/m

④設最大位移發(fā)生在時刻由于所以上式對時間求一階導數(shù)當由有上式平方并整理得：由代入上式并求出這時取最大值得：有：那么：試確定：①臨界阻尼系數(shù)CC.②后座初始速度例3:火炮后座問題，：③由初始位置后退0.1m所用時間t2解：①臨界阻尼系數(shù)②令：得：且：所以時有：那么：③得：例4:質(zhì)量m=2450kg的汽車用四個懸掛彈簧支承在四個車輪上，四個彈簧由汽車重量引起的靜壓縮量均為，為了能迅速地減少汽車上下振動，在四個支承處均安裝了減振器。由實驗測得兩次振動后振幅減小到10%，即X1/X3=10。試求：1.對數(shù)衰減率2.阻尼振動周期3.假設要汽車不振動，減振器的臨界阻尼系數(shù)cc解：①②③1.7單自由度無阻尼系統(tǒng)簡諧載荷作用下的受迫振動mkF(t)---外荷載幅值---外荷載頻率運動方程:

二階線性非齊次常微分方程通解其中設代入方程,可得通解為簡諧力鼓勵的強迫振動{11自由振動強迫振動強迫振動的周期與干擾力的周期相同①平穩(wěn)階段——穩(wěn)態(tài)響應放大因子頻率比靜變形⑴首先略去(1)式中的自由振動，并整理有：11相當于靜力作用共振物體幾乎沒動①討論：系統(tǒng)的變位差不多等于由于力的靜力作用所產(chǎn)生的變位②③就是說一個頻率非常高的干擾力作用在一個振動物體上時，它所產(chǎn)生的振幅非常小，在許多場合下，可以把物體看做停留在空間沒有運動。④位移與鼓勵力反相，位移超前力相位為為正為正，位移與鼓勵力同相，結(jié)論：1.線性系統(tǒng)對簡諧鼓勵的穩(wěn)態(tài)響應是頻率等同于激振頻率、相位與激振力同相或反相的簡諧振動，持續(xù)等幅振動2.穩(wěn)態(tài)響應的振幅和相位只取決于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)和激振力的頻率和力幅，而與系統(tǒng)進入運動的方式無關。②暫留階段－暫態(tài)響應在運動的起始階段，也就是自由振動存在的幾個循環(huán)，稱為暫留階段，也稱受迫振動的過渡階段。齊次通解非齊次特解初始條件決定、初始條件響應自由伴隨振動強迫響應特點：以系統(tǒng)固有頻率為振動頻率如果是零初始條件，那么自由伴隨振動強迫響應對于零初始條件自由伴隨振動強迫響應⑴⑵即使在零初始條件下，也有自由振動與受迫振動相伴發(fā)生實際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運動會逐漸衰減，進而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應假設要使系統(tǒng)響應只以為頻率振動，那么須：、那么初始條件為：討論：故全解：⑴⑵對于(2)式，考慮零初始條件有：假設鼓勵頻率與固有頻率十分接近，令：為小量可看作頻率為但振幅按規(guī)律緩慢變化的振動，這種在接近共振時發(fā)生的特殊振動現(xiàn)象稱為“拍〞拍的周期：圖形包絡線：當振幅隨時間無限增大，但也需要相當長的時間來增大振幅。如果有一部機器是設計在共振以上的轉(zhuǎn)速運行的，那么要越過共振是沒有困難的。mky(t)運動方程:mky(t)穩(wěn)態(tài)解為:簡諧根底運動鼓勵的強迫振動x(t)例:1.8單自由度有阻尼系統(tǒng)簡諧鼓勵作用下的強迫振動阻尼會使自由振動衰減直至完全停止，要使振動持續(xù)下去，應有外力作用于系統(tǒng)，彌補阻尼所消耗的能量，使系統(tǒng)的振動不會衰減，這種干擾力作用下的振動為受迫振動。簡諧鼓勵下的強迫振動運動方程:力幅鼓勵力圓頻率上式可寫成：方程的解包括兩局部：①相應齊次方程的解稱為瞬態(tài)響應.②方程的特解稱為穩(wěn)態(tài)響應.它代表的是一種衰減振動，只在振動開始的一段時間內(nèi)存在，故為瞬態(tài)振動，在一般情況下可以不考慮.特解代表系統(tǒng)在簡諧鼓勵下產(chǎn)生的強迫振動，是一種持續(xù)的等幅振動，故為穩(wěn)態(tài)振動.設特解為：振動響應的幅值鼓勵力的圓頻率響應滯后于鼓勵的相位差利用三角關系：對于任何瞬時t都成立，故和前的系數(shù)必須兩兩相等，即由此解得：鼓勵力幅或?qū)憺椋合到y(tǒng)的最大靜位移頻率比鼓勵與響應的相位角所以，強迫振動的穩(wěn)態(tài)解為：在簡諧力的作用下，強迫振動也為簡諧振動，其頻率與激振頻率相同，但相角滯后，這是由于阻尼的存在。振幅與相位差都只與系統(tǒng)固有特性及激振力的性質(zhì)有關，而與初始條件無關.由穩(wěn)態(tài)振動的振幅有稱為放大因子受迫振動峰值并不出現(xiàn)在阻尼系統(tǒng)的固有頻率處，峰值頻率略向左偏移，即略小于1的地方，假設時，有應該注意，這里的相位差是表示響應滯后于鼓勵的相位角，不應與式中的初相位相混淆。是表示系統(tǒng)自由振動在時的初相位，它取決于初始位移與初始速度的相對大小，而是反映響應相對于鼓勵力的滯后效應，是由系統(tǒng)本身具有阻尼引起的，這是兩者主要區(qū)別。幅頻響應曲線相頻響應曲線①②當，即鼓勵頻率遠小于系統(tǒng)的固有頻率時，無論阻尼大小如何，放大因子都接近于1.即振幅近似等于鼓勵幅值作用下的靜變形，故在低頻區(qū)內(nèi)，振幅主要由彈簧剛度控制的，此時，相位差即位移與激振力接近于同相位，.⑴當，即鼓勵頻率遠大于系統(tǒng)的固有頻率時，無論阻尼大小如何，放大因子都接近于0.這是因為激振力方向改變太快，振動物體由于慣性來不及跟隨，幾乎停止不動.故在高頻區(qū)內(nèi)，振幅主要決定于系統(tǒng)的慣性，高頻區(qū)范圍內(nèi)位移與激振力接近于反相位.⑵當，即鼓勵頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅急劇增加，趨向，這種現(xiàn)象稱為共振.嚴格地講，發(fā)生在處，但通常，故仍說時系統(tǒng)發(fā)生共振.⑶共振時與值無關，不管為何值，共振時的總是從幅頻響應曲線可看出，在共振區(qū)附近的一定范圍內(nèi)，阻尼對振幅有明顯的影響，增加阻尼可使振幅明顯下降.品質(zhì)因子Q時的放大因子稱為品質(zhì)因子，用符號表示.q1,q2稱為半功率點,對應的激振頻率分別為，兩頻率之差稱為系統(tǒng)的半功率帶寬.由求解得：當時，略去項可得假設近似地認為幅頻響應曲線在兩側(cè)是對稱的，那么有那么由上式可知，阻尼大時，帶寬也大，在共振區(qū)內(nèi)振幅較小且變化平緩；阻尼小時，帶寬窄，共振區(qū)內(nèi)振幅較大且變化較陡。所以，品質(zhì)因子Q反映了阻尼的強弱和共振峰陡峭程度，故又稱為共振的銳度。通常用試驗的方法得到半功率帶寬，由上式估算阻尼的大小。§1.8.2強迫振動的復數(shù)求解法一.復數(shù)的概念復數(shù)表示為：復數(shù)的三角函數(shù)表示：復數(shù)的指數(shù)函數(shù)表示：對于復數(shù)域內(nèi)復函數(shù)可表示為二.鼓勵力引起的強迫振動——為系統(tǒng)復數(shù)形式的響應單位諧函數(shù)法是設作用在系統(tǒng)上的鼓勵為復數(shù)形式的單位幅值簡諧激振力那么系統(tǒng)的運動微分方程為頻響函數(shù)：幅頻特性：相頻特性：輸出(響應)輸入(鼓勵)考慮復數(shù)形式的簡諧鼓勵代入復數(shù)形式的響應放大因子：假設實際激振力為，那么實際響應取復數(shù)形式響應的虛部，得實際解為：響應的幅值為：簡諧強迫振動不一定是由激振力引起，許多情況下，振動系統(tǒng)支座的周期運動同樣可使振系發(fā)生強迫振動，如機器振動引起的儀表振動，汽車駛過不平路面產(chǎn)生的振動等。振動微分方程為：寫成標準形式為：用單位諧函數(shù)法求解，設支座運動為：那么響應為：復頻響函數(shù)為：三.支座簡諧運動引起的強迫振動設支座運動為：微分方程的解為：又：那么系統(tǒng)的響應為：響應的幅值為：——稱為位移傳遞率〔1〕當時，激振頻率很低，X/Y，相位差.此時物塊相對于根底運動幾乎不動。〔2〕當時，即，相位差此時假設很小，系統(tǒng)將發(fā)生共振，加阻尼可使共振峰明顯下降?！?〕當時，無論為何值，所有曲線均交匯于X/Y=1處.〔4〕當時，X/Y<1,對輸入起衰減作用，阻尼比越小，越大，根底的不平鼓勵對質(zhì)量塊的影響越小，對減振越有利.專題一.旋轉(zhuǎn)不平衡問題：在旋轉(zhuǎn)機械中，由于偏心質(zhì)量引起的強迫振動是普遍的現(xiàn)象，如汽車發(fā)動機.將由偏心質(zhì)量引起的強迫振動系統(tǒng)簡化成如下圖的模型.其中，總質(zhì)量為，偏心質(zhì)量為，偏心距為.當發(fā)動機曲軸以一定的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時，求偏心質(zhì)量引起的強迫振動。系統(tǒng)的振動微分方程為：整理為：上式中的相當于，那么響應為：四.單自由度有阻尼系統(tǒng)受迫振開工程應用專題令：有：{共振常數(shù)專題二.振動隔離問題1.主動隔振振源是機器本身，使它與地基隔離，減少對周圍的影響，稱為主動隔振.為了減小機器運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的不平衡力傳給支座，常在機器和支座之間裝上彈簧和阻尼器.隔離前：傳到地基上的力就是激振力隔離后：激振力一局部通過彈簧傳給地基，大小為，另一局部通過阻尼器傳給地基，大小為由于兩個力相位差，采取隔離措施后，振源傳給地基的力為兩力的矢量和力幅將實際傳遞的力幅與不平衡力幅的比值稱為力傳遞率，以表示.2.被動隔振假設振源來自支座〔或根底〕運動，為了減少支座位移對機器、儀表等產(chǎn)生的振動，而采取的隔振措施，稱為被動隔振.隔振后機械設備的振幅與支座運動的幅值的比就是前面提到的位移傳遞率X/Y,也稱為隔振系數(shù)，用表示：比較力傳遞率與位移傳遞率，二者是完全相同的，傳遞率的大小表示隔振效果的好壞.對于隔振而言，只有當時，傳遞率才有隔振效果，而且阻尼比越小，隔振效果越好，但也不能過小，否那么在通過共振區(qū)時振幅會過大.例：如下圖往復機械，有一周期激振力由電機轉(zhuǎn)速引起，機械加支架總質(zhì)量m為250kg,彈簧剛度k為55kN/m,阻尼比為0.2.求〔1〕什么轉(zhuǎn)速范圍，傳到根底的力大于激振力？〔2〕什么轉(zhuǎn)速范圍，傳到根底的力小于激振力的20%.解：〔1〕當，傳遞率，即傳遞到根底的力大于激振力.〔2〕傳到根底的力小于激振力的20%，傳遞率小于20%解得：專題三.測振傳感器的根本原理測振傳感器是通過質(zhì)量的運動，求得待測物體的運動.如圖，其外殼與被測振動物體固連，殼內(nèi)的質(zhì)量在待測振動物體的鼓勵下進行強迫振動，是一種支座運動引起的強迫振動.——質(zhì)量的絕對位移——被測物體的絕對位移那么質(zhì)量的運動微分方程可寫為：測振傳感器所記錄的是兩者的相對位移：這種相對位移可用應變片或電磁感應轉(zhuǎn)換成電壓信號輸出和記錄，將相對位移代入上述微分方程，那么方程變?yōu)椋涸O待測振動物體的運動為：那么的相對運動微分方程為：設其特解為：由單位諧函數(shù)法可得：1.位移傳感器位移傳感器是一種低固有頻率的測振傳感器，由圖可知，當時，無論為何值，值都將趨近，即測振傳感器中所記錄的相對運動幅值幾乎就是支座〔被測振動物體〕的振幅值.2.加速度傳感器加速度傳感器是一種高固有頻率的測振傳感器，如圖當時，質(zhì)量的相對運動極接近：可見相對位移正比于振動物體的加速度，比例系數(shù)是壓電式加速度傳感器就是利用了這個特性，傳感器的固有頻率越大，測量精度就越高，壓電陶瓷晶體的固有頻率可高達數(shù)千赫茲，因此，它常被用作加速度傳感器的敏感元件。2.加速度傳感器的相位畸變當時，可用頻率范圍實際問題中簡諧干擾力作用下的強迫振動是比較少的，大多數(shù)是一種非簡諧的周期性干擾力，任意一個周期函數(shù)總可以傅里葉級數(shù)分解成一系列具有基頻倍數(shù)的簡諧分量，即進行諧波分析。對這些不周頻率的簡諧鼓勵，求出各自的響應，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各響應疊加起業(yè)而求得一般周期干擾力作用下的總響應。1.9周期性鼓勵作用下的受迫振動mk--荷載周期傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)形式---稱為基頻位移反響無阻尼時在a0/2作用下在作用下在作用下合并后，得---諧波分析法〔調(diào)和分析、頻域分析〕無阻尼時例：不計阻尼求圖示體系的穩(wěn)態(tài)位移反應。已知TP=2Tmk解：作業(yè)：不計阻尼求圖示體系的穩(wěn)態(tài)位移反應。已知mk傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式求簡諧擾力的反應mk無阻尼時當擾頻為時頻響函數(shù)例：不計阻尼求圖示體系的穩(wěn)態(tài)位移反響。TP=2Tmk解：1.10任意鼓勵下的響應§1.10.1杜哈美積分法在工程實際中，對振動系統(tǒng)的鼓勵作用往往既不是簡諧的，也不是周期性的，而是任意的時間函數(shù)，也包括作用時間很短的沖擊作用。在這種鼓勵作用下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動而只有瞬態(tài)振動。在這種激振停止后，系統(tǒng)就將按照其固有頻率進行自由振動，即所謂的剩余振動。系統(tǒng)在任意激振下的瞬態(tài)振動包括剩余振動在內(nèi)統(tǒng)稱為任意激振的響應。此法又稱為卷積積分，這種方法的根本思想是，把任意激振分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對每個微沖量的響應，然后按線性系統(tǒng)的疊加原理，把它們疊加起來，即得系統(tǒng)對任意激振的響應。1.脈沖沖量定義為力的幅值很大，但作用時間很短.這種力的作用效應可由動量定理來描述，即：——脈沖沖量假設有，那么記為——單位脈沖沖量2.單自由度有阻尼系統(tǒng)對單位脈沖沖量的響應〔1〕t=0時作用單位脈沖量為單位脈沖沖量作用下振系的瞬態(tài)響應，并記為：——單位脈沖響應函數(shù)假設脈沖沖量為，那么響應為：如果單位脈沖輸入是時作用在系統(tǒng)上的，那么系統(tǒng)的單位脈沖響應便是：〔2〕t=τ時作用單位脈沖量同樣，若t=τ時作用脈沖沖量則響應為：3.單自由度有阻尼系統(tǒng)對任意鼓勵的響應將荷載看成是連續(xù)作用的一系列沖量，求出每個沖量引起的位移響應后將這些位移響應相加即為任意鼓勵引起的振系的位移響應。任一沖量相當于作用一個脈沖，其響應記為而系統(tǒng)對于任意激振力的總響應就等于從分別連續(xù)作用下系統(tǒng)響應的疊加，即：或：杜哈美積分如果在任意激振開始作用時，質(zhì)量已有初始位移和初始速度，那么響應為：瞬態(tài)響應全解支座任意運動引起的強迫振動當系統(tǒng)在支座運動的鼓勵下振動，而支座的運動是可微分的任意時間函數(shù)，這時的運動微分方程為：支座運動相當于系統(tǒng)上作用了兩個激振力和，應用線性系統(tǒng)的疊加原理，由杜哈美積分，得系統(tǒng)的響應為：當支座運動是由加速度的任意函數(shù)描述時，先求系統(tǒng)的相對位移那么比較方便，以表示質(zhì)量的相對位移，那么上面的運動微分方程變?yōu)椋簯枚殴婪e分，可得：由初始條件，將積分求出，即可得系統(tǒng)對該運動鼓勵函數(shù)的響應：4.單自由度無阻尼系統(tǒng)對沖擊荷載的動力反響沖擊荷載的特點---作用時間短。結(jié)構(gòu)動力反響的特點---最大反響出現(xiàn)快、荷載消失前后反響不同。計算特點：1.不計阻尼；2.要考慮瞬態(tài)振動；3.要分析荷載消失前后兩種狀態(tài)一.矩形脈沖mk1.位移反響荷載離開前荷載離開后令時2.最大位移反響3.結(jié)論時，最大位移發(fā)生于荷載離開前。時，最