高中數(shù)學(xué)必修二《第八章 立體幾何初步》復(fù)習(xí)教案

高中數(shù)學(xué)必修二《第八章立體幾何初步》復(fù)習(xí)教案

《8.1基本立體圖形》復(fù)習(xí)教案

第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱

錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.（重點(diǎn)）

通過(guò)空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培

2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系.（難點(diǎn)）

養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素

3.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述

養(yǎng).

現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算.（易

混點(diǎn)）

【自主預(yù)習(xí)】

口新知初探1

1.空間幾何體

類別多面體旋轉(zhuǎn)體

一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內(nèi)的

一般地，由若干個(gè)平面

定義一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，

多邊形圍成的幾何體

封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體

面果軸~~{

,0

,

圖形

Fi

2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱的結(jié)構(gòu)特征

一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四

定義

邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

底面：兩個(gè)互相平行的面；

圖示及

側(cè)面：底面以外的其余各面；

相關(guān)概::舒

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

念

頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)

分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱，四棱柱，…

思考1:棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形嗎？

［提示］根據(jù)棱柱的概念可知，棱柱側(cè)面一定是平行四邊形.

(2)棱柱的分類

直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱.

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱.

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱.

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱.

(3)棱錐的結(jié)構(gòu)特征

有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面

定義

所圍成的多面體叫做棱錐

底面：多邊形面；

圖示及項(xiàng)點(diǎn)

側(cè)校/?\\側(cè)面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面；

相關(guān)概

Z<k,-\--\c側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

//M底面

念A(yù)R

頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)

按底面多邊形的邊數(shù)分:三棱錐，四棱錐，…，其中三棱錐又叫四面

分類體，底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐

叫正棱錐

思考2：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？

［提示］不一定.因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是

有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”.

(4)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分

定義

叫做棱臺(tái)

上底面：原棱錐的截面；

東下底面：原棱錐的底面；

圖示及相關(guān)

岫小A側(cè)面：除上下底面以外的面；

概念

小七/下底而

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；

d點(diǎn)

頂點(diǎn)：側(cè)面與上（下）底面的公共頂點(diǎn)

分類由幾棱錐截得，如三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、…

思考3：棱臺(tái)的上下底面互相平行，各側(cè)棱延長(zhǎng)線一定相交于一點(diǎn)嗎？

[提示]根據(jù)棱臺(tái)的定義可知其側(cè)棱延長(zhǎng)線一定交于一點(diǎn).

r~^初試身在

1.在三棱錐48"中，可以當(dāng)作棱錐底面的三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

D[每個(gè)三角形都可以作為底面.]

2.下面說(shuō)法中，正確的是（）

A.上下兩個(gè)底面平行且是相似的四邊形的幾何體是四棱臺(tái)

B.棱臺(tái)的所有側(cè)面都是梯形

C.棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)必相等

D.棱臺(tái)的上下底面可能不是相似圖形

B[由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，A、C、D不正確.故B正確.]

3.下面屬于多面體的是（填序號(hào)）.

①建筑用的方磚；②埃及的金字塔；③茶杯；④球.

①②[①②屬于多面體，③④屬于旋轉(zhuǎn)體.]

【合作探究】

出型L棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【例1】（D下列命題中，正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

(2)如圖所示，長(zhǎng)方體48屹

①這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

②用平面形沏/把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎?

若是，請(qǐng)指出它們的底面.

(DD［由棱柱的定義可知，只有D正確，分別構(gòu)造圖形如下：

①②③

圖①中平面被Q與平面4AG〃平行，但四邊形/版與4AG〃不全等，故

A錯(cuò)；圖②中正六棱柱的相對(duì)側(cè)面/的4與友暇名平行，但不是底面，B錯(cuò)；圖

③中直四棱柱底面力靦是平行四邊形，C錯(cuò)，故選D.］

(2)［解］①長(zhǎng)方體是四棱柱.因?yàn)樗袃蓚€(gè)平行的平面口與平面4身?！?，

其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的

定義.

②用平面比沏/把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，其中一部分，有兩個(gè)平行的平面

83〃與平面⑶M其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平

行，這符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號(hào)表示為三棱柱BBMCCN同理，

另一部分也是棱柱，可以用符號(hào)表示為四棱柱ABMArDCND,.

規(guī)律方法

有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略：

(1)有關(guān)棱柱概念辨析問(wèn)題應(yīng)緊扣棱柱定義：

①兩個(gè)面互相平行；

②其余各面是四邊形；

③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行.求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)面平行,

再看是否滿足其他特征.

(2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除.

領(lǐng)跟蹤訓(xùn)練.

1.下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法箱送的是()

A.所有棱柱的兩個(gè)底面都平行

B.所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余每相鄰面的公共邊互相平行

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱

D.棱柱至少有五個(gè)面

C[對(duì)于A、B、D,顯然是正確的；對(duì)于C,棱柱的定義是這樣的：有兩個(gè)

面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公

共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾

何體就不是棱柱，所以C錯(cuò)誤.]

鼠類型2——、-棱錐、棱-臺(tái)--的--結(jié)-構(gòu)--特-征------

【例2】(1)下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：

①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；

②棱錐的側(cè)面只能是三角形；

③由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.

(2)判斷如圖所示的幾何體是不是棱臺(tái)，為什么？

⑴①②③[①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形;②正確,

由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；③正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只

能是三棱錐；④錯(cuò)誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.］

(2)［解］①②③都不是棱臺(tái).因?yàn)棰俸廷鄱疾皇怯衫忮F所截得的，故①③

都不是棱臺(tái)，雖然②是由棱錐所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱臺(tái)，只

有用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分才是棱臺(tái).

規(guī)律方法

關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征題目的判斷方法：

(1)舉反例法

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法

不正確.

(2)直接法

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為/氐面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

2.如圖所示，觀察以下四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是()

A.①是棱臺(tái)B.②是圓臺(tái)

C.③是棱錐D.④不是棱柱

C［圖①中的幾何體不是由棱錐截來(lái)的，且上、下底面不是相似的圖形，所

以①不是棱臺(tái)；圖②中的幾何體上、下兩個(gè)面不平行，所以②不是圓臺(tái)；圖③中

的幾何體是棱錐.圖④中的幾何體前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且

每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱.故選C.］

沙型3多面體的表面展開(kāi)圖

［探究問(wèn)題］

1.棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么圖形？正方體的表面展開(kāi)圖又是怎樣的？

［提示］棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是平行四邊形；正方體的表面展開(kāi)圖如圖:

(不止一種)

2.棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖又是什么樣的？

［提示］棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是多個(gè)相連的梯形.

［例3］(1)某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所

示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開(kāi)圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)()

［思路探究］(1)正方體的平面展開(kāi)圖今以其中一個(gè)面不動(dòng)把其他面展開(kāi).

(2)常見(jiàn)幾何體的定義與結(jié)構(gòu)特征,空間想象或動(dòng)手制作平面展開(kāi)圖進(jìn)行實(shí)

踐.

⑴A［由選項(xiàng)驗(yàn)證可知選A.］

(2)［解］圖①中，有5個(gè)平行四邊形，而且還有兩個(gè)全等的五邊形，符合

棱柱特點(diǎn)；圖②中，有5個(gè)三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合

棱錐特點(diǎn)；圖③中，有3個(gè)梯形，且其腰的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，還有兩個(gè)相似的三

角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn).把平面展開(kāi)圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五

棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái).

［母題探究］

1.將本例(1)中改為：水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上

面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖(圖中數(shù)字寫(xiě)在

正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體

的下面是()

C.快D.樂(lè)

［將圖形折成正方體知選B.］

將本例(2)的條件改為：一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示.

(1)該幾何體是哪種幾何體？

⑵該幾何體中與“?！弊置嫦鄬?duì)的是哪個(gè)面？“你”字面相對(duì)的是哪個(gè)

面？

［解］(1)該幾何體是四棱臺(tái).

⑵與“?！毕鄬?duì)的面是“前”，與“你”相對(duì)的面是“程”.

規(guī)律方法

多面體展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略

(1)繪制展開(kāi)圖：繪制多面體的表面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮

空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn)

標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫(huà)出來(lái)，然后依次畫(huà)出各側(cè)面，便可得到其表面展

開(kāi)圖.

(2)由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一

個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推.同一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖可能是不一

樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開(kāi)圖.

口■課堂小結(jié)工

1.在理解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義，能夠根據(jù)定義判斷

幾何體的形狀.

2.棱柱、

上底面縮小

為一個(gè)點(diǎn)

頂點(diǎn)拓展為與//-

底面平行但不xL

全等的上底面棱錐

【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】

1.判斷正誤

⑴棱柱的側(cè)面都是平行四邊形.()

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐.()

⑶用一平面去截棱錐底面和截面之間的部分叫棱臺(tái).()

［答案］⑴V(2)X(3)X

2.有一個(gè)多面體，共有四個(gè)面圍成，每一個(gè)面都是三角形，則這個(gè)幾何體

為()

A.四棱柱B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱錐

D[根據(jù)棱錐的定義可知該幾何體是三棱錐.]

3.下列圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成一個(gè)棱柱的是()

ABCD

D[A,B,C中底面多邊形的邊數(shù)與側(cè)面數(shù)不相等.]

4.一個(gè)棱柱至少有個(gè)面，頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)有條側(cè)棱.

53[面最少的棱柱是三棱柱，它有5個(gè)面；頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)是三棱

臺(tái)，它有3條側(cè)棱.]

5.畫(huà)一個(gè)三棱臺(tái)，再把它分成：

(1)一個(gè)三棱柱和另一個(gè)多面體；

(2)三個(gè)三棱錐，并用字母表示.

[解]畫(huà)三棱臺(tái)一定要利用三棱錐.

(D如圖①所示，三棱柱是棱柱A'B'C-AT，另一個(gè)多面體是

B'CCBB"C".

⑵如圖②所示，三個(gè)三棱錐分別是4'比；

B'-A'BC,C-A'B'C.

第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球與簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義.通過(guò)學(xué)習(xí)有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)

2.掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.(重點(diǎn))構(gòu)特征，培養(yǎng)直觀想象、邏

3.認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，了解簡(jiǎn)單組合體輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素

的兩種基本構(gòu)成形式.（重點(diǎn)、易混點(diǎn)）養(yǎng).

【自主預(yù)習(xí)】

H新知初探Q

1.圓柱的結(jié)構(gòu)特征

以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋

定義

轉(zhuǎn)體叫做圓柱

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸;

3軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面;

4匕工》底面

圖不及相關(guān)側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面;

：側(cè)面

概念用母線圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于

沖式底面

軸的邊;

柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體

2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形

定義

成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸;

圖示及落軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面:

側(cè)面7!\

相關(guān)概母線側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面;

念底面?母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊;

錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體

3.圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間部分叫做圓臺(tái)

軸：圓錐的軸；

底面金，

底面：圓錐的底面和截面;

圖示及相

側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分;

關(guān)概念

母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分:

底面

臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體

思考1:用平面去截圓錐一定會(huì)得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)？

［提示］不一定.只有當(dāng)平面與圓錐的底面平行時(shí)，才能截得一個(gè)圓錐和一

個(gè)圓臺(tái).

4.球的結(jié)構(gòu)特征

以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球

定義

體，簡(jiǎn)稱球

球心：半圓的圓心叫做球的球心;

半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球

圖示及相關(guān)

的半徑；

概念

丁&徑直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做

球的直徑

思考2：球能否由圓面旋轉(zhuǎn)而成？

［提示］能.圓面以直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體即為

球.

5.簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

(1)簡(jiǎn)單組合體的定義：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體.

(2)簡(jiǎn)單組合體的兩種基本形式：

［由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成

簡(jiǎn)單組合體〈

I由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.

初試身醫(yī)m

1.圓錐的母線有()

A.1條B.2條C.3條D.無(wú)數(shù)條

D［由圓錐的結(jié)構(gòu)特征知圓錐的母線有無(wú)數(shù)條.］

2.下列圖形中是圓柱的是.

②［根據(jù)圓柱的概念可知只有②是圓柱.］

3.下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周(如圖所示)，能形成圓臺(tái)的

是.（填序號(hào)）

①［根據(jù)定義，①形成的是圓臺(tái)，②形成的是球，③形成的是圓柱，④形

成的是圓錐.］

4.下圖由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成？

［解］①是由兩個(gè)四棱錐拼接而成的，②是由一個(gè)六棱柱和一個(gè)圓柱拼接而

成的.

【合作探究】

心型1旋轉(zhuǎn)體的縝構(gòu)特征

【例1】（1）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形

B.圓錐過(guò)軸的截面是一個(gè)等腰三角形

C.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

D.圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面

（2）給出下列命題：

①圓柱的母線與它的軸可以不平行；

②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以

構(gòu)成直角三角形；

③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線;

④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

(DC(2)D[(1)由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在直線

旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐.強(qiáng)調(diào)一定要繞著它的一條直角邊，即旋轉(zhuǎn)軸為

直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯(cuò).

(2)由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯(cuò)誤.]

規(guī)律方法

簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體判斷問(wèn)題的解題策略

(1)準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過(guò)程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概

念問(wèn)題的關(guān)鍵.

(2)解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：

①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成.

②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

1.給出下列說(shuō)法：①圓柱的底面是圓面；②經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面

是一個(gè)矩形面；③圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交，也可能不相交；④夾

在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.其中說(shuō)法正確的是.(填

序號(hào))

①②[①正確，圓柱的底面是圓面;

②正確，如圖所示，經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面；

③不正確，圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)相交于一點(diǎn)；

④不正確，圓柱夾在兩個(gè)平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體.]

艮類型2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【例2】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由

哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？

①②

［思路探究］先將平面圖形割補(bǔ)成三角形、梯形、矩形，再旋轉(zhuǎn)識(shí)別幾何體.

［解］旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示.其中圖①是由一個(gè)圓柱aa和兩個(gè)圓臺(tái)OA,

““組成的；圖②是由一個(gè)圓錐aa,一個(gè)圓柱及一個(gè)圓臺(tái)aa中挖去圓錐

aa組成的.

觀律方法

旋轉(zhuǎn)體形狀的判斷方法：

(1)判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的關(guān)鍵是軸的確定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所

得，同一個(gè)平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的.

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡，應(yīng)利用空間想象能力,

或親自動(dòng)手做出平面圖形的模型來(lái)分析旋轉(zhuǎn)體的形狀.

(3)要熟練掌握各類旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征.

2.如圖，48為圓弧8c所在圓的直徑，/歷1仁45°.將這個(gè)平面圖形繞直

線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)組合體，試說(shuō)明這個(gè)組合體的結(jié)構(gòu)特征.

K

D...乎

B

［解］如圖所示，這個(gè)組合體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球體拼接而成的.

轉(zhuǎn)型3幾何體中的計(jì)算問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)平行于底面的截面是什么樣的圖形？

［提示］圓面.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)過(guò)軸的截面是什么樣的圖形？

［提示］分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形.

3.經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的任意兩條母線作截面，截面是什么圖形？

［提示］因?yàn)閳A臺(tái)可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，

所以任意兩條母線長(zhǎng)度均相等，且延長(zhǎng)后相交，故經(jīng)過(guò)這兩條母線的截面是以這

兩條母線為腰的等腰梯形.

【例3】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐S0底面的平面截這個(gè)圓錐，截得

圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：16,截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm,求圓臺(tái)0,0

的母線長(zhǎng).

［思路探究］過(guò)圓錐的軸作截面圖，利用三角形相似解決.

［解］設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/cm,由截得的圓臺(tái)上、下底面面積之比為1：16,

可設(shè)截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r,4r,過(guò)軸SO作截面，如圖所示.

s

則△SO'A'SXSOA,SA'=3cm.

^,,SA'O'A',,3r1

所以所以r市r=否=7

解得/=9(cm),即圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.

［母題探究］

1.把本例的條件換為“圓臺(tái)兩底面半徑分別是2cm和5cm,母線長(zhǎng)是34Tb

cm”，則它的軸截面的面積是.

63cm2［畫(huà)出軸截面，如圖，過(guò)/作4月_8。于機(jī)

貝U8仁5—2=3(cm),AM==9(cm),

(4+10)X9

"T")四邊形ABCD-￡一

63(cm2).］

2.把本例的條件換為“一圓錐的母線長(zhǎng)為6,底面半徑為3,把該圓錐截一

圓臺(tái)，截得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4”,則圓臺(tái)的另一底面半徑為.

1［作軸截面如圖，

2

r6-41

則§=丁=勺，所以r=L]

規(guī)律方法

1.簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用

(1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特

征的關(guān)鍵量.

(2)在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思

想.

2.與圓錐有關(guān)的截面問(wèn)題的解決策略

(1)畫(huà)出圓錐的軸截面.

(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長(zhǎng)、底面

圓的半徑長(zhǎng)的等量關(guān)系，求解便可.

1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所小.

上底面縮小

為一點(diǎn).

頂點(diǎn)拓展為

與底面平行

但不全等的

上底面閥錐

2.處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想.

3.處理組合體問(wèn)題常采用分割思想.

4.重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)

空間幾何平面化的思想.

【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】

1.判斷正誤

(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.()

(2)夾在圓柱的兩個(gè)平行平面之間的幾何體是圓柱.()

(3)圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái).()

(4)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球.()

［答案］⑴X⑵X(3)X⑷X

2.圓柱的母線長(zhǎng)為10,則其高等于()

A.5B.10

C.20D.不確定

B［圓柱的母線長(zhǎng)和高相等.］

3.下面幾何體的截面一定是圓面的是()

A.圓臺(tái)B.球C.圓柱D.棱柱

B［截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有

球.］

4.指出如圖①②所示的圖形是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的.

①②

［解］分割原圖，使它的每一部分都是簡(jiǎn)單幾何體.圖①是由一個(gè)三棱柱和

一個(gè)四棱柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體.

圖②是由一個(gè)圓錐和一個(gè)四棱柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體.

《8.2立體圖形的直觀圖》復(fù)習(xí)教案

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.了解“斜二測(cè)畫(huà)法”的概念并掌握斜

通過(guò)學(xué)習(xí)空間幾何體直觀圖的畫(huà)法，

二測(cè)畫(huà)法的步驟.（重點(diǎn)）

培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出一些簡(jiǎn)單平面圖

的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

形和立體圖形的直觀圖.（難點(diǎn)）

【自主預(yù)習(xí)】

新知初.探G

1.斜二測(cè)畫(huà)法

我們常用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖.斜二測(cè)畫(huà)

法是一種特殊的平行投影畫(huà)法.

2.平面圖形直觀圖的畫(huà)法及要求

思考1：相等的角在直觀圖中還相等嗎？

［提示］不一定.例如正方形的直觀圖為平行四邊形.

3.空間幾何體直觀圖的畫(huà)法

(1)與平面圖形的直觀圖相比，只是多畫(huà)一個(gè)與x軸、y軸都垂直的二軸，

直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是心軸；

(2)平面x'0'［表示水平平面,平面心平z'和x'O'z'表示豎直平

面；

(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)

度都不變.

(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

思考2：空間幾何體的直觀圖唯一嗎？

［提示］不唯一.作直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，畫(huà)出的直觀圖也不同.

i.初,試身壬

1.長(zhǎng)方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個(gè)()

0^7/3口二

①②③④⑤

A.①②B.①②③

C.②⑤D.③④⑤

C［由斜二測(cè)畫(huà)法知，平行線依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正

確.］

2.梯形的直觀圖是()

A.梯形B.矩形

C.三角形D.任意四邊形

A［斜二測(cè)畫(huà)法中平行性保持不變，故梯形的直觀圖仍是梯形.］

3.在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△/a'時(shí)，若N4的兩邊平行于x軸、y軸，

則在直觀圖中，N"=.

45°或135°［因?yàn)?/的兩邊平行于x軸、y軸，故N4=90°,在直觀

圖中，按斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知Nx‘O'y'=45°或135°,即N/'=45°或

135°.］

【合作探究】

平面圖形的直觀圖

［例1］(1)如圖所示，一個(gè)水平放置的正方形力靦，它在直角坐標(biāo)系Xa

中，點(diǎn)6的坐標(biāo)為(2,2),則在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀圖4B'CD'

中，頂點(diǎn)8,到x'軸的距離為.

(2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出圖中五邊形/紀(jì)定的直觀圖.

因?yàn)椤?A'=B'C=1,AB'Cx'=45°,

所以頂點(diǎn)8'到x'軸的距離為IXsin450=手.］

(2)［解］畫(huà)法：①在下圖①中作軸于G,作碼x軸于〃

②在圖②中畫(huà)相應(yīng)的V軸與V軸，兩軸相交于點(diǎn)。'，使Nx'O'y'=

45°.

③在圖②中的/軸上取B'=0B,O'G'=0G,

O'C=0C,O'H'=0H,y'軸上取O'E'陽(yáng)

分別過(guò)G'和〃作V軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G'⑷=初,

,,1

〃D'=嚴(yán)；

④連接4B',A'E',E'D',D'C,并擦去輔助線G'A',

HF,x'軸與/軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖

A'B'CD'E'(如圖③).

①②

規(guī)律6法

畫(huà)平面圖形的直觀圖的技巧：

(1)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般

要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn).

(2)畫(huà)平面圖形的直觀圖，首先畫(huà)與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐

標(biāo)軸不平行的線段通過(guò)與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段.

Q跟蹤訓(xùn)練

1.畫(huà)水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示.

oB

［解］(1)在已知的直角梯形W中，以底邊如所在直線為X軸，垂直于

出的腰切所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.畫(huà)相應(yīng)的X,軸和V軸，使

ZyO'y'=45°,如圖①②所示.

D'C

O'B'

在/軸上截取O'D'=%￡>,過(guò)點(diǎn)〃'作

(2)在/軸上截取。'B'=0B,

X’軸的平行線/，在/上沿X,軸正方向取點(diǎn)。'使得〃'C=%連接夕C,

如圖②.

（3）擦去輔助線，所得四邊形O'B'CD'就是直角梯形皿的直觀圖.如

圖③.

衛(wèi)型2畫(huà)空間幾何體的直觀圖

［例2］畫(huà)正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面）的直觀圖.（底

面邊長(zhǎng)尺寸不作要求，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm）

［思路探究］先畫(huà)軸，再利用斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出兩個(gè)底面，連線成圖，擦去

多余的線.

［解］畫(huà)法：（1）畫(huà)軸.畫(huà)V軸、/軸、z，軸，使Nx'O'y'=45°（或

135°）,Nx'O'z'=90°.

（2）畫(huà)底面.根據(jù)/軸，/軸，畫(huà)正六邊形的直觀圖力比汨;：

（3）畫(huà)側(cè)棱.過(guò)/、B、C、D、E、6各點(diǎn)分別作z’軸的平行線，在這些平行

線上分別截取A4'、BB'.CC、DD'、EF、FF都等于側(cè)棱長(zhǎng)2cm.

（4）成圖.順次連接H、S'、C'、〃、爐、U,并加以整理（去掉輔

助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到正六棱柱的直觀圖.

規(guī)律方法

畫(huà)空間幾何體時(shí)，首先按照斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則畫(huà)出幾何體的底面直觀圖，然后

根據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，畫(huà)出幾何體的各側(cè)面，所以畫(huà)

空間多面體的步驟可簡(jiǎn)單總結(jié)為：

畫(huà)軸|—畫(huà)底面|—畫(huà)側(cè)棱|—成圖

Q跟蹤訓(xùn)練

2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm,3cm,2cm的長(zhǎng)方體

ABCD-A'B'CD'的直觀圖.

［解］畫(huà)法：(1)畫(huà)軸.如圖，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)0,使Nxa

=45°,NxOz=90°.

(2)畫(huà)底面.以點(diǎn)。為中點(diǎn)，在x軸上取線段/乂使削=4cm；在y軸上取

3

線段PQ，使PQ=^cm.分別過(guò)點(diǎn)"和N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和0作x軸的平

行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為兒B,C,D,四邊形48⑦就是長(zhǎng)方體的底面18口

(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)4B,C,〃各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分

別截取2cm長(zhǎng)的線段A4',BB',CC,DD'.

(4)成圖.順次連接A',B',C,D',并加以整理(去掉輔助線，將被

遮擋的部分改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖.

AB

國(guó)類型3直觀圖的還原與計(jì)算

［探究問(wèn)題］

1.如圖，△/'B'C是水平放置的△4比斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖，能否判斷

△/a1的形狀？

［提示］根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知：N/%=90°,故△力a'為直角三角形.

2.若探究1中B'C的"C=6,B'C=4,則力8邊的實(shí)際長(zhǎng)度

是多少？

［提示］由已知得△46。中，4C=6,BC=8,故AB=yjAC+0=10.

3.如圖所示，△/B'C是水平放置的△力比1的直觀圖，則在△力%的三

邊及中線4〃中，最長(zhǎng)的線段是哪個(gè)?

［提示］由直觀圖可知是以N3為直角的直角三角形，所以斜邊AC

最長(zhǎng).

【例3】（1）如圖①，RtA^A'B'是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若O'B'

=小,則這個(gè)平面圖形的面積是（）

A.1B.y/2C.2y［2D.4^2

（2）如圖②所示，梯形464〃是一平面圖形/版的直觀圖.若4〃〃。'/,

2

AR"CD，AE=%CD=2,AD=（y〃=L試畫(huà)出原四邊形，并求原圖形的面積.

［思路探究］逆用斜二測(cè)畫(huà)法，還原圖形.先定點(diǎn)，再連線得原圖形，求面

積.

（DC［由題圖知，為直角三角形.B'=^2,：.A'B'=y［2,

O'A'=2.

在原△的8中，0B=yf2,〃=4,

5k力8=5x■X4=2也選C.］

⑵［解］如圖，建立直角坐標(biāo)系初K,在x軸上截取勿=。'D'=l；0C=0'G

=2.

在過(guò)點(diǎn)D與y軸平行的直線上截取僅1=2〃4=2.

在過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取AB=A^=2.連接BC,便得到了原圖形（如

圖）.

由作法可知，原四邊形口是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為13=2,CD

=3,直角腰長(zhǎng)度為力大2.

2+3

所以面積為S=f—X2=5.

乙

［母題探究］

1.本例⑵中的條件改為如圖所示的直角梯形，ZABC=45°,AB=AD=1,

DC1BC,求原圖形的面積.

［解］如圖①，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)4作力￡1比；垂足為點(diǎn)反則在Rt^/1廢'

中，AB=\,N4龐=45°,所以應(yīng)'=彳、歷-.

而四邊形力￡口為矩形，AD=\,所以比1=力片1.

所以BC=BE+%=^+L

由此可還原原圖形如圖②，是一個(gè)直角梯形.

在原圖形中，"D'=1,A'B'=2,8'C=匕-+1,且D'//B'C,

A'B'LB'C,

所以原圖形的面積為S=g(/'D'+B'CA'B'=；x[l+l+陰X2

=2+f

2.本例⑴若改為“已知△46。是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖

△/'B'C的面積”，應(yīng)如何求？

［解］由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知，直觀圖△/B'C一底邊上的高為叩aX,

亞_亞

X2一8口

所以S&Ngc=5XaXa—?a.

Zo1O

3.本例（1）中直觀圖中a。'/B'的面積與原圖形面積之比是多少？

［解］由⑴中直觀圖可得8〃/*1,

原圖形面積為S/^OAB=2^/2.

所以五*=-^=蛆

""S2^24°

規(guī)律方法

1.直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與X,軸、V軸平行的直線或線段，且

平行于V軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于V軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖

中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.

2.直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系

若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S',則有S'=乎5或S

=2巾6.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原

圖形面積.

工課—Q

1.斜二測(cè)畫(huà)法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系

尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時(shí)，可根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出直觀圖，從而

確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形.

2.在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖時(shí)，平行線段仍然平行，所畫(huà)平行線段之比仍

然等于它的真實(shí)長(zhǎng)度之比，但所畫(huà)夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大小.

【課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)】

1.判斷正誤

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖.

(1)原來(lái)相交的仍相交.()

(2)原來(lái)垂直的仍垂直.()

(3)原來(lái)平行的仍平行.()

(4)原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn).()

［答案］⑴V(2)X(3)V(4)V

2.利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，正確的是()

3O1-5□□、，口，口

3333

ABCD

C［正方形的直觀圖應(yīng)是一個(gè)內(nèi)角為45°的平行四邊形，且相鄰的兩邊之

比為2：1,故選C.］

3.如圖，平行四邊形O'P'Q'R'是四邊形a均斤的直觀圖，若O'P'=3,

O'R'=1,則原四邊形神。?的周長(zhǎng)為_(kāi)______.

10［由直觀圖可知，原圖形是矩形勿切?，且如=3,仞?=2.

故原四邊形。微?的周長(zhǎng)為10.］

4.畫(huà)出水平放置的四邊形仍切(如圖所示)的直觀圖.

［解］⑴過(guò)點(diǎn)。作見(jiàn)x軸，垂足為點(diǎn)反如圖①所示，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的『軸、

V軸，使Nx'O'y'=45°,如圖②所示.

①②③

(2)如圖②所示，在『軸上取點(diǎn)8',爐，使得O'B'=0B,O'E'=0E；

在/軸上取一點(diǎn)〃'，使得O'D'=：⑺；過(guò)點(diǎn)爐作爐C〃/軸，使夕C

=產(chǎn)

(3)連接8'C,CD',并擦去X,軸與/軸及其他一些輔助線，如圖

③所示,

四邊形。'B'CD'就是所求的直觀圖.

《8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》復(fù)習(xí)教案

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的研究，掌

1.借助棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積、體

握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的

積的計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

求法.(重點(diǎn))

2.通過(guò)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的

2.會(huì)求棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的組合

探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).

體的表面積與體積.(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))

【自主預(yù)習(xí)】

「7新知初探G

1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.

2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

棱柱的體積公式「=s/?（s為底面面積，力為局）；

棱錐的體積公式上：SMS為底面面積，力為高）；

0

棱臺(tái)的體積公式/=57（5'+q/w+s.其中，臺(tái)體的上、下底面面積分

別為S'、S,高為力.

思考：簡(jiǎn)單組合體分割成幾個(gè)幾何體，其表面積不變嗎？其體積呢？

［提示］表面積變大了，而體積不變.

|~^初試身

1.棱長(zhǎng)為3的正方體的表面積為（）

A.27B.64C.54D.36

C［根據(jù)表面積的定義，組成正方體的面共6個(gè)，且每個(gè)都是邊長(zhǎng)為3的正

方形.從而，其表面積為6X32=54.］

2.長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3,則長(zhǎng)方體的體積與表面積

分別為（）

A.6,22B.3,22C.6,11D.