2023屆上海市普陀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1上海市普陀區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.設(shè)全集，若集合，則______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)或，又，所以.故〖答案〗為：.2.函數(shù)的最小正周期為_______．〖答案〗π〖解析〗因?yàn)?，所以函?shù)f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期為3.現(xiàn)有一組數(shù)1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，數(shù)據(jù)集（從小到大排列）中共有10個(gè)數(shù)據(jù)，則，所以該組數(shù)的第25百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù).故〖答案〗為：4.設(shè)（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的根，則______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，即，所以.故〖答案〗為：5.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．〖答案〗〖解析〗，，或所以定義域?yàn)椋?故〖答案〗為：6.若且，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榍?，所以，所以，則.故〖答案〗為：.7.現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個(gè)球形實(shí)心工件，則該工件的表面積為______（損耗忽略不計(jì)）．〖答案〗〖解析〗設(shè)球的半徑為，則，解得，所以該工件的表面積為.故〖答案〗為：.8.設(shè)的三邊a，b，c滿足，且，則此三角形最長的邊長為______．〖答案〗〖解析〗由，得邊最長，不妨設(shè)，則，又，所以，則，解得，所以三角形最長的邊長為.故〖答案〗為：.9.“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為______．〖答案〗〖解析〗，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為．故〖答案〗為：.10.設(shè)為雙曲線:左、右焦點(diǎn)，且的離心率為，若點(diǎn)M在的右支上，直線與的左支相交于點(diǎn)N，且，則______．〖答案〗〖解析〗由的離心率為，得，解得，由點(diǎn)M在的右支上，得，又因，所以，即.故〖答案〗為：.11.設(shè)且，若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)與的圖像于直線l對(duì)稱，則l與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為______．〖答案〗〖解析〗，因?yàn)楹瘮?shù)與的底數(shù)互為倒數(shù)，而底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與的圖像于直線l對(duì)稱，所以函數(shù)與的圖像于軸對(duì)稱，即直線l為軸，所以，所以，則兩個(gè)函數(shù)分別為，，令，得，解得，此時(shí)，所以l與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.12.設(shè)x、，若向量，，滿足，，，且向量與互相平行，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由，又向量與互相平行，所以，故，令，，則，所以，將按向量平移至，所以是直線上動(dòng)點(diǎn)，如下圖示，所以，故，由圖知：要使最小，只需三點(diǎn)共線且到直線距離最短，故最小值為原點(diǎn)到直線的距離，最小值為，此時(shí)題設(shè)中的x=2，y=1.故〖答案〗為：.二、選擇題13.設(shè)為實(shí)數(shù)，則“”的一個(gè)充分非必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，可得，可推出，反向推不出，滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；由，則或或，推不出，反向可推出，不滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；故選：A14.設(shè)a，b表示空間的兩條直線，α表示平面，給出下列結(jié)論：（1）若且，則（2）若且，則（3）若且，則（4）若且，則其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗D〖解析〗若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或?yàn)楫惷嬷本€，故命題錯(cuò)誤；若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或相交或異面，故命題錯(cuò)誤.故選：D15.設(shè)P為曲線C:上的任意一點(diǎn)，記P到C的準(zhǔn)線的距離為d．若關(guān)于點(diǎn)集和，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個(gè)元素；②存在，使得．其中正確的是（）A.①成立，②成立 B.①不成立，②成立C.①成立，②不成立 D.①不成立，②不成立〖答案〗B〖解析〗曲線C:的焦點(diǎn)，則，由得，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯(cuò)誤，②正確故選：B.16.設(shè)，若在區(qū)間上存在a，b且，使得，則下列所給的值中只可能是（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意知：且，則，，又且，則，即，，所以且，(或n為其它大于1的整數(shù))不滿足；時(shí)；時(shí)，所以滿足要求，其它不符合.故選：D三、解答題17.如圖，在直三棱柱中，，，．（1）求證：；（2）設(shè)與底面ABC所成角的大小為，求三梭雉的體積．（1）證明：，，，，，又直三棱柱中，平面，平面，，又，平面，平面，平面，.（2）解：平面，在平面上的射影為，即為與底面ABC所成角，，，.18.已知均為不是1的正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為．（1）設(shè)且，求x的取值范圍；（2）設(shè)，，記，，現(xiàn)將數(shù)列中剔除的項(xiàng)后、不改變其原來順序所組成的數(shù)列記為，求的值．解：（1）由題設(shè)，又且都不為1的正實(shí)數(shù)，所以，而，故.（2）由，，而數(shù)列前100項(xiàng)中有，其中屬于數(shù)列有，所以數(shù)列前100項(xiàng)是的前103項(xiàng)去掉三個(gè)元素，則.19.現(xiàn)有3個(gè)盒子，其中第一個(gè)盒子中裝有1個(gè)白球、4個(gè)黑球；第二個(gè)盒子裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球；第三個(gè)盒子裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球．現(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中任取3個(gè)球．（1）求取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率；（2）設(shè)X為所取到的白球數(shù)，求取到的白球數(shù)的期望．解：（1）設(shè)取到的白球數(shù)為X，則X的可能值為：0，1，2，3.取到2個(gè)白球的概率，則取到3個(gè)白球概率，，則取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率：.（2）,,,，所以取到的白球數(shù)的期望：20.在xOy平面上．設(shè)橢圓：，梯形的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)均在上，且．設(shè)直線的方程為（1）若為的長軸，梯形的高為，且在上的射影為的焦點(diǎn)，求的值；（2）設(shè)，直線經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)，，與的延長線相交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）因?yàn)樘菪螢榈拈L軸，的高為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，可得，又因?yàn)樵谏系纳溆盀榈慕裹c(diǎn)，，解得，，.（2）由題意，橢圓：，直線的方程為，設(shè)，則，化簡得，，得，，，，所以所以的取值范圍為（3）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，化簡得，，，，聯(lián)立，化簡得，，，所以，化簡得，即.又的高為，所以將代入化簡得，.故的面積為定值.21.已知，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（其中）（1）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍；（2）設(shè)，，集合，記，若在D上為嚴(yán)格增函數(shù)且對(duì)D上的任意兩個(gè)變量s，t，均有成立，求c的取值范圍；（3）當(dāng)，，時(shí)，記，其中n正整數(shù)．求證：．（1）解：由題設(shè)，則，即，故，又，則，所以.（2）解；由題設(shè)，要使D上的任意兩個(gè)變量s，t均有成立，所以在上成立，又在D上為嚴(yán)格增函數(shù)，即，同時(shí)在上恒成立，由〖解析〗式知：在上遞減，只需，故，由且，，即在上遞減，所以，故，可得.綜上，；（3）證明：由題設(shè)，則且，，故，所以，而，，所以，又，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，同理，，且均在時(shí)等號(hào)成立，所以，綜上，，即成立.上海市普陀區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、填空題1.設(shè)全集，若集合，則______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)或，又，所以.故〖答案〗為：.2.函數(shù)的最小正周期為_______．〖答案〗π〖解析〗因?yàn)?，所以函?shù)f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期為3.現(xiàn)有一組數(shù)1，1，2，2，3，5，6，7，9，9，則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，數(shù)據(jù)集（從小到大排列）中共有10個(gè)數(shù)據(jù)，則，所以該組數(shù)的第25百分位數(shù)為第三個(gè)數(shù).故〖答案〗為：4.設(shè)（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的根，則______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，即，所以.故〖答案〗為：5.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．〖答案〗〖解析〗，，或所以定義域?yàn)椋?故〖答案〗為：6.若且，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榍?，所以，所以，則.故〖答案〗為：.7.現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為、高為的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個(gè)球形實(shí)心工件，則該工件的表面積為______（損耗忽略不計(jì)）．〖答案〗〖解析〗設(shè)球的半徑為，則，解得，所以該工件的表面積為.故〖答案〗為：.8.設(shè)的三邊a，b，c滿足，且，則此三角形最長的邊長為______．〖答案〗〖解析〗由，得邊最長，不妨設(shè)，則，又，所以，則，解得，所以三角形最長的邊長為.故〖答案〗為：.9.“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為______．〖答案〗〖解析〗，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為．故〖答案〗為：.10.設(shè)為雙曲線:左、右焦點(diǎn)，且的離心率為，若點(diǎn)M在的右支上，直線與的左支相交于點(diǎn)N，且，則______．〖答案〗〖解析〗由的離心率為，得，解得，由點(diǎn)M在的右支上，得，又因，所以，即.故〖答案〗為：.11.設(shè)且，若在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)與的圖像于直線l對(duì)稱，則l與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為______．〖答案〗〖解析〗，因?yàn)楹瘮?shù)與的底數(shù)互為倒數(shù)，而底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與的圖像于直線l對(duì)稱，所以函數(shù)與的圖像于軸對(duì)稱，即直線l為軸，所以，所以，則兩個(gè)函數(shù)分別為，，令，得，解得，此時(shí)，所以l與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.12.設(shè)x、，若向量，，滿足，，，且向量與互相平行，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由，又向量與互相平行，所以，故，令，，則，所以，將按向量平移至，所以是直線上動(dòng)點(diǎn)，如下圖示，所以，故，由圖知：要使最小，只需三點(diǎn)共線且到直線距離最短，故最小值為原點(diǎn)到直線的距離，最小值為，此時(shí)題設(shè)中的x=2，y=1.故〖答案〗為：.二、選擇題13.設(shè)為實(shí)數(shù)，則“”的一個(gè)充分非必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，可得，可推出，反向推不出，滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；由，則或或，推不出，反向可推出，不滿足；由，則，推不出，反向可推出，不滿足；故選：A14.設(shè)a，b表示空間的兩條直線，α表示平面，給出下列結(jié)論：（1）若且，則（2）若且，則（3）若且，則（4）若且，則其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗D〖解析〗若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或?yàn)楫惷嬷本€，故命題錯(cuò)誤；若且，則或，故命題錯(cuò)誤；若且，則或相交或異面，故命題錯(cuò)誤.故選：D15.設(shè)P為曲線C:上的任意一點(diǎn)，記P到C的準(zhǔn)線的距離為d．若關(guān)于點(diǎn)集和，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個(gè)元素；②存在，使得．其中正確的是（）A.①成立，②成立 B.①不成立，②成立C.①成立，②不成立 D.①不成立，②不成立〖答案〗B〖解析〗曲線C:的焦點(diǎn)，則，由得，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯(cuò)誤，②正確故選：B.16.設(shè)，若在區(qū)間上存在a，b且，使得，則下列所給的值中只可能是（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意知：且，則，，又且，則，即，，所以且，(或n為其它大于1的整數(shù))不滿足；時(shí)；時(shí)，所以滿足要求，其它不符合.故選：D三、解答題17.如圖，在直三棱柱中，，，．（1）求證：；（2）設(shè)與底面ABC所成角的大小為，求三梭雉的體積．（1）證明：，，，，，又直三棱柱中，平面，平面，，又，平面，平面，平面，.（2）解：平面，在平面上的射影為，即為與底面ABC所成角，，，.18.已知均為不是1的正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為．（1）設(shè)且，求x的取值范圍；（2）設(shè)，，記，，現(xiàn)將數(shù)列中剔除的項(xiàng)后、不改變其原來順序所組成的數(shù)列記為，求的值．解：（1）由題設(shè)，又且都不為1的正實(shí)數(shù)，所以，而，故.（2）由，，而數(shù)列前100項(xiàng)中有，其中屬于數(shù)列有，所以數(shù)列前100項(xiàng)是的前103項(xiàng)去掉三個(gè)元素，則.19.現(xiàn)有3個(gè)盒子，其中第一個(gè)盒子中裝有1個(gè)白球、4個(gè)黑球；第二個(gè)盒子裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球；第三個(gè)盒子裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球．現(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中任取3個(gè)球．（1）求取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率；（2）設(shè)X為所取到的白球數(shù)，求取到的白球數(shù)的期望．解：（1）設(shè)取到的白球數(shù)為X，則X的可能值為：0，1，2，3.取到2個(gè)白球的概率，則取到3個(gè)白球概率，，則取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率：.（2）,,,，所以取到的白球數(shù)的期望：20.在xOy平面上．設(shè)橢圓：，梯形的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)均在上，且．設(shè)直線的方程為（1）若為的長軸，梯形的高為，且在上的射影為的焦點(diǎn)，求的值；（2）設(shè)，直線經(jīng)過點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)，，與的延長線相交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）因?yàn)樘菪螢榈拈L軸，的高為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入橢圓方程得，可得，又因?yàn)樵谏系纳溆盀榈慕裹c(diǎn)，，解得，，.（2）由題意，橢圓：，直線的方程為，設(shè)，則，化簡得，，得，，，，所以所以的取值范圍為（3）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，化簡得，，，，聯(lián)立，化簡得，，，所以，化簡得，即.又的高為，所以將代入化簡得，.