專題3.4雙曲線的簡單幾何性質（九個重難點突破）（原卷版）

專題3.4雙曲線的簡單幾何性質知識點一雙曲線的幾何性質標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形性質焦點焦距范圍,或或對稱性關于坐標軸、原點對稱頂點軸長實軸長2a,虛軸長2b離心率漸近線知識點二等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,它有以下性質：(1)方程形式為；(2)漸近線方程為,它們互相垂直；(3)離心率重難點1已知方程求焦距、實軸、虛軸1．已知是雙曲線的兩個焦點，若雙曲線的左?右頂點和原點把線段四等分，則該雙曲線的焦距為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．雙曲線的實軸長是虛軸長的3倍，則m的值為（

）A．9 B．－9 C． D．3．已知雙曲線：的左頂點為，右焦點為，焦距為6，點在雙曲線上，且，，則雙曲線的實軸長為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．如圖，這是一個落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C：的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為8，瓶高等于雙曲線C的虛軸長，則該花瓶的瓶口直徑為（

）

A． B．24 C．32 D．5．若實數m滿足，則曲線與曲線的（

）A．離心率相等 B．焦距相等 C．實軸長相等 D．虛軸長相等6．等軸雙曲線的焦距為.7．已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上任意一點，的面積的最大值為，的焦距為2，則雙曲線的實軸長為．重難點2已知方程求雙曲線的漸近線8．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．9．已知雙曲線的離心率為，若點與點都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．10．雙曲線的兩條漸近線的夾角為（

）A． B． C． D．11．在平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．12．已知雙曲線的一個焦點是，點到的漸近線的距離為，則（

）A．與有關 B．與無關 C．與有關 D．與無關13．雙曲線的漸近線方程為，則．14．已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為.重難點3由雙曲線的幾何性質求標準方程15．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實軸長為4，則C的標準方程為（

）A． B． C． D．16．若雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標為，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．17．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為4，實軸長為6，則的方程為（

）A． B．C． D．18．求雙曲線以橢圓的焦點為頂點，且以橢圓的頂點為焦點，則雙曲線的方程是

（

）A． B． C． D．19．已知雙曲線：（，）的實軸長為4，離心率為．若點是雙曲線位于第一象限內的一點，則（

）A．2 B．1 C． D．20．雙曲線的漸近線方程為，實軸長為2，則為（

）A． B． C． D．21．如果中心在原點，對稱軸在坐標軸上的等軸雙曲線的一個焦點為，那么此雙曲線的標準方程為．重難點4求共漸近線的雙曲線方程22．若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經過點，則雙曲線C的標準方程是．23．與雙曲線漸近線相同，且一個焦點坐標是的雙曲線的標準方程是．24．若雙曲線與有共同漸近線，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的方程為.25．雙曲線，寫出一個與雙曲線有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方程．26．求與雙曲線有共同的漸近線，且經過點的雙曲線的標準方程.27．已知雙曲線E與雙曲線共漸近線，且過點，若雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，試求雙曲線M的標準方程.28．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，且過點.(1)求雙曲線C的虛軸長；(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程.重難點5根據齊次式關系求漸近線方程29．過原點的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點（點A在第一象限），交x軸于C點，直線BC交雙曲線于點D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．30．雙曲線，點A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（

）A． B．或C． D．或31．已知雙曲線的離心率為，則漸近線方程是（

）A． B． C． D．32．設分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．33．已知F為雙曲線C：（，）的右焦點，過點F作x軸的垂線與雙曲線及它的漸近線在第一象限內依次交于點A和點B．若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．34．如圖，已知，為雙曲線的焦點，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且，則雙曲線的漸近線方程為.

35．過雙曲線的右焦點F作x軸的垂線，與兩條漸近線的交點分別為A，B，若為等邊三角形，則W的漸近線方程為，W的離心率為．重難點6求雙曲線的離心率36．設是雙曲線的左?右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．37．已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．38．設、分別為雙曲線的左右焦點，為坐標原點，過左焦點作直線與圓切于點，與雙曲線右支交于點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．39．已知雙曲線的左右焦點點關于一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C．2 D．340．若，雙曲線：與雙曲線：的離心率分別為，，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為41．已知雙曲線，過其上焦點的直線與圓相切于點A，并與雙曲線的一條漸近線交于點不重合）．若，則雙曲線的離心率為．42．已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為43．已知雙曲線的右頂點為A，左、右焦點分別為，，漸近線在第一象限的部分上存在一點P，且，直線的斜率為，則該雙曲線的離心率為．重難點7求雙曲線離心率的取值范圍44．過雙曲線的左焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，為虛軸上的一個端點，且為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．45．已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．46．已知雙曲線（，）的離心率為，若直線與無公共點，則e的取值范圍是.47．已知雙曲線為雙曲線的右焦點，過點作漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．48．雙曲線的左焦點為，，為雙曲線右支上一點，若存在，使得，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．49．如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團化紋金杯，杯身曲線內收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：的部分的旋轉體．若該雙曲線右支上存在點P，使得直線PA，PB（點A，B為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為．50．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，若在C上存在點P（不是頂點），使得，則C的離心率的取值范圍為．重難點8根據離心率求參數51．已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為，，且它們在第一象限的交點為P，是以為底邊的等腰三角形.若，雙曲線的離心率的取值范圍為，則該橢圓的焦距的取值范圍是（

）A． B． C． D．52．設雙曲線的上、下焦點分別為，離心率為．是上一點，且．若的面積為4，則（

）A．8 B．4 C．2 D．153．設為實數，已知雙曲線的離心率，則的取值范圍為54．已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，，若C的離心率為，則的值為．55．已知雙曲線的左?右焦點分別是，，P是雙曲線右支上一點，，O為坐標原點，過點O作的垂線，垂足為點H，若雙曲線的離心率，存在實數m滿足，則.56．已知雙曲線的離心率大于，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．57．點P是雙曲線C：右支上一點，，分別是雙曲線C的左，右焦點，M為的內心，若雙曲線C的離心率，且，則（

）A． B． C．1 D．重難點9雙曲線的實際應用58．某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告；正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚2s，已知各觀測點到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報中心的（

）處(假定當時聲音傳播的速度為340m/s，相關各點均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340mC．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m59．如圖，B地在A地的正東方向處，C地在B地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠．現要在曲線上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉運貨物．經測算，從M到B、C兩地修建公路的費用分別是a萬元/、萬元/，那么修建這兩條公路的總費用最低是（

）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元60．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現拱頂離水面，水面寬.若水面下降，則水面寬是．（結果精確到）61．如圖，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓C與雙曲線構成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經過與C的反射，又回到點.，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經過C兩次反射后又回到點歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則.62．如圖1，北京冬奧會火種臺以“承天載物”為設計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實軸所成銳角的正切值為．

63．（多選）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學性質：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經點反射后，反射光線的反向延長線過；當異于雙曲線頂點時，雙曲線在