滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的兩層網(wǎng)格算法

滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的兩層網(wǎng)格算法陳艷萍;胡漢章【摘要】介紹了不可壓縮的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的特征有限元、特征混合有限元和特征擴(kuò)張混合有限元兩層網(wǎng)格算法;討論可壓縮的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的特征有限元兩層網(wǎng)格算法;通過(guò)數(shù)值例子驗(yàn)證了兩層網(wǎng)格算法的有效性;討論了滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的兩層網(wǎng)格算法進(jìn)一步的研究方向.【期刊名稱(chēng)】《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）》【年（卷），期】2018（050）005【總頁(yè)數(shù)】8頁(yè)（P98-105）【關(guān)鍵詞】非線(xiàn)性滲流耦合問(wèn)題;特征有限元;混合有限元;兩層網(wǎng)格算法【作者】陳艷萍湖漢章【作者單位】華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院廣州510631;嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院梅州514015【正文語(yǔ)種】中文【中圖分類(lèi)】O241.1多孔介質(zhì)中流體的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜而又普遍存在的物理現(xiàn)象,與實(shí)際生活當(dāng)中的環(huán)境污染問(wèn)題、海水入侵和油藏開(kāi)采問(wèn)題等密切相關(guān),其數(shù)學(xué)模型相當(dāng)復(fù)雜.多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動(dòng)通常由流體的輸運(yùn)（濃度）和流動(dòng)（壓力）兩部分組成宏觀尺度下對(duì)其模擬是通過(guò)質(zhì)量守恒方程及其Darcy定律的變分形式實(shí)現(xiàn)的,CHEN和EWING[1]針對(duì)該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型和數(shù)值模擬做了全面的概述.滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題是這類(lèi)流體問(wèn)題中典型的一種，可分為：不可混溶、不可壓縮油水兩相驅(qū)動(dòng)問(wèn)題;可混溶、不可壓縮油水兩相驅(qū)動(dòng)問(wèn)題;可壓縮相混溶的驅(qū)動(dòng)問(wèn)題.其數(shù)學(xué)模型是由關(guān)于壓力的流動(dòng)方程（壓力方程）和關(guān)于飽和度的對(duì)流擴(kuò)散方程（濃度方程）耦合而成的非線(xiàn)性偏微分方程組.過(guò)去的20余年，對(duì)滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題數(shù)值方法的研究已有很多成果［2-10］.對(duì)于壓力方程，通常采用混合有限元逼近［4-5］;對(duì)于濃度方程，主要離散方法有：特征有限差分［9］、特征有限元［7］、特征混合有限元［10］、間斷有限元［8］和歐拉-拉格朗日局部伴隨方法［11］.然而，對(duì)于非線(xiàn)性耦合滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題，由上述離散方法導(dǎo)出的代數(shù)方程組是一個(gè)大系統(tǒng)的非線(xiàn)性耦合方程組.兩層網(wǎng)格算法作為求解非對(duì)稱(chēng)不定以及非線(xiàn)性問(wèn)題的高效算法首次由XU［12-13］提出，理論分析表明：兩層網(wǎng)格算法在不降低求解精度的條件下，提高了計(jì)算效率.幾乎同時(shí),CHEN和HUANG［14］運(yùn)用這種兩層網(wǎng)格算法的思想，提出了求解非線(xiàn)性奇異兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的一種分層迭代校正方法，分析證明此方法可保證所有的高精度性質(zhì).隨著對(duì)這種高效的有限元兩層網(wǎng)格算法研究的深入，國(guó)內(nèi)夕卜許多學(xué)者已經(jīng)將其應(yīng)用于各類(lèi)不同的、具有實(shí)際應(yīng)用背景的非線(xiàn)性或非線(xiàn)性耦合的偏微分方程問(wèn)題［15-28］.由于滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的非線(xiàn)性和耦合性，近幾年來(lái),我們針對(duì)不可壓縮和可壓縮的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題提出了特征有限元兩層網(wǎng)格算法［29］、特征混合有限元兩層網(wǎng)格算法［30］.本文介紹了不可壓縮的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的特征有限元兩層網(wǎng)格算法、特征混合有限元兩層網(wǎng)格算法，并在此基礎(chǔ)上提出了特征擴(kuò)張混合有限元兩層網(wǎng)格算法;討論可壓縮的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的特征有限元兩層網(wǎng)格算法;利用文獻(xiàn)［29-31］的數(shù)值例子，通過(guò)比較4個(gè)兩層網(wǎng)格算法與相應(yīng)的牛頓迭代法的收斂精度和運(yùn)行時(shí)間說(shuō)明兩層網(wǎng)格算法的有效性.1不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題1.1不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型多孔介質(zhì)中的油水兩相滲流不可壓縮、可混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：(1)其中,xQ,tJ=[0,T],p(x,t)、u(x,t)、c(x,t)分別是混合流體的壓力、混合流體的Darcy速度和混合流體中某種物質(zhì)的濃度,c0(x)是初始濃度沖(x)是巖石的孔隙度,a(c)=a(x/c)=k(x)/p(c),p(c)和k(x)分別是混合流體的黏度和絕對(duì)滲透度,q(x,t)是產(chǎn)量項(xiàng)，是非線(xiàn)性函數(shù)[4],(x,t)是注入流體的飽和度；D(u)為擴(kuò)散和彌散張量，由分子擴(kuò)散和機(jī)械彌散兩部分組成：D(u)=^[dmI+|u|(dlE(u)+dtE±(u))],其中,E(u)是投影矩陣,(E(u))ij=uiuj/|u|2,E±(u)=I-E(u)是相補(bǔ)矩陣,dm是分子擴(kuò)散系數(shù),dl、dt分別是流動(dòng)方向、垂直方向的彌散系數(shù).問(wèn)題(1)滿(mǎn)足的邊界條件和初始條件為：u-n=0(xdQ,tJ),(2)D(u)c?n=0(xdQ,tJ),⑶c(x,0)=c0(x)(xQ),(4)其中，n表示指向dQ的單位外法向量.為了表述清楚,首先給出本文將要用到的函數(shù)空間.記散度空間：H(div;Q)={v(L2(Q))2,?vL2(Q)},定義空間和相應(yīng)的范數(shù)為：V=H(div;Q)H{v-n=0ondQ},W={wL2(Q),(w,1)=0},||v||V=||v||H(div;Q)=(||v||2+||?||w||W=||w||.設(shè)hc、hp表示Q上四邊形或者三角形擬一致剖分，其對(duì)應(yīng)的剖分步長(zhǎng)分別為hc、hp,記h=(hc,hp).對(duì)濃度方程，逼近空間MhuH1(⑵是階為1(21)且步長(zhǎng)為hc的標(biāo)準(zhǔn)有限元空間［29］,或者是逼近空間MhxVhuL(Q)xV是階為1(21)且步長(zhǎng)為hc的混合有限元空間［30］;對(duì)壓力方程，選擇k階Rarviart-Thomas混合有限元空間VhxWhuVxW,有?Vh=Wh.1980年,EWINGT和WHEELER［2］對(duì)滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題用Galerkin有限元法逼近;1983年,DOUGLAS［3］對(duì)不可壓縮的兩相滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題提出了有限差分格式.對(duì)于壓力方程，由于濃度方程中只顯含Darcy速度u而不是壓力p,且混合有限元能同時(shí)逼近？和u,與標(biāo)準(zhǔn)有限元相比,在計(jì)算u時(shí)提高一階精度,從而大大提高整體計(jì)算精度.因此,DOUGLAS等［4-5］對(duì)壓力方程采用混合有限元逼近.由于濃度方程中對(duì)流占優(yōu)的作用使拋物方程具有雙曲性,為了克服經(jīng)典方法可能出現(xiàn)的數(shù)值解振蕩和失真,EWING等［7］利用特征線(xiàn)法與有限元法結(jié)合對(duì)濃度方程采用修正的特征有限元逼近.隨后，學(xué)者們對(duì)濃度方程提出了特征有限差分［9］、歐拉-拉格朗日局部伴隨方法［11］、特征混合有限元［10］和間斷有限元［8］.由于滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的非線(xiàn)性和耦合性,上述離散方法導(dǎo)出的代數(shù)方程組是一個(gè)大系統(tǒng)的非線(xiàn)性耦合代數(shù)方程組，研究求解這種非線(xiàn)性方程組的高效率、高精度算法有著重要的意義.1.2特征有限元兩層網(wǎng)格算法對(duì)于非線(xiàn)性耦合滲流驅(qū)動(dòng)方程組,利用特征有限元-混合元獲得的代數(shù)方程組是一個(gè)大系統(tǒng)的非線(xiàn)性耦合代數(shù)方程組，因此,HU等［29］考慮用全離散的特征有限元-混合元格式的兩層網(wǎng)格算法(算法1)求解該非線(xiàn)性滲流耦合方程組.這種格式的主要要素是定義在Q上擬一致三角形或四邊形剖分的粗網(wǎng)格有限元空間MHxVHxWHuMhxVhxWh(h<H<1).算法1特征有限元-混合元兩層網(wǎng)格算法步驟1：在粗網(wǎng)格H上求解,,MHxVHxWH,使得它們滿(mǎn)足如下的非線(xiàn)性耦合系統(tǒng):其中，D=^dmI為分子擴(kuò)散張量.步驟2:在細(xì)網(wǎng)格h上求解,,MhxVhxWh,使得它們滿(mǎn)足如下解耦的線(xiàn)性系統(tǒng)：步驟3：在細(xì)網(wǎng)格h上求解,,MhxVhxWh,使得它們滿(mǎn)足如下解耦的線(xiàn)性系統(tǒng)：此算法的程序是先在粗網(wǎng)格H上求解原非線(xiàn)性耦合問(wèn)題，然后以步驟1的結(jié)果作為初值在細(xì)網(wǎng)格h上求解步驟2的線(xiàn)性解耦問(wèn)題，最后以步驟2的結(jié)果作為初值在更細(xì)網(wǎng)格h上解步驟3的線(xiàn)性解耦問(wèn)題.文獻(xiàn)［29］的理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明:算法1能保持非線(xiàn)性迭代法的誤差精度且提高了計(jì)算效率.但由算法1可知該算法沒(méi)有考慮濃度的通量函數(shù)且不能保持單元上的質(zhì)量守恒.1.3特征混合有限元兩層網(wǎng)格算法由于濃度方程實(shí)際上是對(duì)流占優(yōu)的擴(kuò)散方程，特征方法可以保證在流體峰線(xiàn)前沿逼近的高穩(wěn)定性，消除數(shù)值彌散現(xiàn)象，并可以得到較小的時(shí)間截?cái)嗾`差，擴(kuò)散項(xiàng)采用混合有限元離散，可以同時(shí)逼近濃度函數(shù)及其通量函數(shù),而且可以保持單元上的質(zhì)量守恒,因此，對(duì)濃度方程采用特征混合元逼近［30］;注意到濃度方程中只顯含u,對(duì)壓力方程用混合有限元離散［4-5］.用特征混合元-混合元獲得的代數(shù)方程組也是一個(gè)大系統(tǒng)的非線(xiàn)性耦合代數(shù)方程組,因此,CHEN和HU［30］給出基于一次牛頓迭代的兩層網(wǎng)格算法(算法2),以求解該非線(xiàn)性滲流耦合方程組.這種格式的主要要素是定義在Q上擬一致三角形或四邊形剖分的粗網(wǎng)格有限元空間MHxVHxVHxWHMhxVhxVhxWh(h<H<1).算法2特征混合元-混合元兩層網(wǎng)格算法步驟1：在粗網(wǎng)格H上求解『MHxVHxVHxWH,使得它們滿(mǎn)足如下的非線(xiàn)性耦合系統(tǒng)：步驟2:在細(xì)網(wǎng)格h上求解『MhxVhxVhxWh,使得它們滿(mǎn)足如下解耦的線(xiàn)性系統(tǒng):與算法1相比，算法2的優(yōu)點(diǎn)是求出了濃度函數(shù)及其通量函數(shù),而且可以保持單元上的質(zhì)量守恒.文獻(xiàn)［30］的理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明:算法2同樣能保持非線(xiàn)性迭代法的誤差精度且提高了計(jì)算效率.但擴(kuò)散項(xiàng)很小時(shí),它的逆在標(biāo)準(zhǔn)混合有限元中是不適用的［17］,這是算法2需改進(jìn)的地方.1.4特征擴(kuò)張混合有限元兩層網(wǎng)格算法由于實(shí)際問(wèn)題中濃度方程的擴(kuò)散項(xiàng)非常小，對(duì)濃度方程用特征擴(kuò)張混合有限元離散會(huì)更加合理，基于1.2節(jié)和1.3節(jié)的分析，我們提出了特征擴(kuò)張混合有限元-混合有限元兩層網(wǎng)格算法(算法3).算法3特征擴(kuò)張混合元-混合元兩層網(wǎng)格算法步驟1：在粗網(wǎng)格H上求解“MHxVHxVHxVHxWH,使得它們滿(mǎn)足如下的非線(xiàn)性耦合系統(tǒng):⑸其中，D=^dmI為分子擴(kuò)散張量.步驟2:在細(xì)網(wǎng)格h上求解〃〃MhxVhxVhxVhxWh,使得它們滿(mǎn)足如下解耦的線(xiàn)性系統(tǒng):與算法2相比，算法3的工作量并沒(méi)有增加多少，但更加合理.由于在粗網(wǎng)格上的方程組(5)是非線(xiàn)性耦合的方程組,為使兩層網(wǎng)格算法的解誤差階達(dá)到漸近最佳逼近，在分析兩層網(wǎng)格解,,,,與真解(cn,,zn,un,pn)的誤差時(shí)，需要用到、的Lq誤差估計(jì).因此,必須先得到、的Lq誤差估計(jì).為了得到與的Lq誤差估計(jì)，首先把真解與數(shù)值解的Lq誤差估計(jì)分解為真解與投影解和投影解與數(shù)值解的Lq誤差估計(jì).接著用對(duì)偶論證和混合元投影算子的性質(zhì)獲得真解與投影解的Lq誤差估計(jì).至于投影解與數(shù)值解的Lq誤差估計(jì)，主要運(yùn)用投影算子性質(zhì)、方程組耦合性和超收斂性獲得.在兩層網(wǎng)格算法的粗網(wǎng)格上得到對(duì)c、u誤差的Lq估計(jì)基礎(chǔ)上，再利用濃度沿特征方向?qū)?shù)的誤差估計(jì)、Gronwall不等式獲得兩層網(wǎng)格算法的先驗(yàn)誤差估計(jì).類(lèi)似于文獻(xiàn)[30]的理論分析,可以推出如下結(jié)果：<At),(6)<At).⑺由式(6)、(7)可知:當(dāng)粗細(xì)網(wǎng)格尺度滿(mǎn)足H=O(h1/2)時(shí),算法3可以獲得方程組解的誤差階的最優(yōu)階逼近.算法3的具體研究和分析將另文發(fā)表.2可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題2.1可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型多孔介質(zhì)中的油水二相滲流可壓縮、可混溶驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：(8)其中,xQ,tJ=[0,T],ci(i=1,2)表示混合流體第i個(gè)分量的飽和度,c=c1=1-c2,b(c)p(x)c1{z1-，zjcj},zj是壓縮常數(shù)因子第j個(gè)分量d(c)p(x)￡a(c)=a(x,c)=k(x)仙c),c(x,t)為相對(duì)飽和度,p(x,t)為混合流體的壓力,k(x)是巖石的絕對(duì)滲透率巾(c)是混合流體的黏度,u(x,t)是混合流體的Darcy速度,r(c).d(x)分別是重力系數(shù)和垂直坐標(biāo),D(u)為擴(kuò)散和彌散張量.正如上節(jié)所述的不可壓縮、可混溶油水兩相滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,DOUGLAS和ROBERTS［6］對(duì)可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型提出有限元-混合元和混合元-混合元離散格式;袁益讓對(duì)該數(shù)學(xué)模型提出特征有限元［32］、特征差分［33］和迎風(fēng)差分［34］等格式.2.2特征有限元兩層網(wǎng)格算法相比于不可壓縮、可混溶油水兩相滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,可壓縮、可混溶油水兩相滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的非線(xiàn)性和耦合性更強(qiáng).由有限元-混合元、混合元-混合元、特征有限元-混合元、特征混合元-混合元導(dǎo)出的離散代數(shù)方程組都是更大的非線(xiàn)性耦合方程組，其求解更加復(fù)雜.因此,ZENG等［31］給出了基于一次牛頓迭代的特征有限元-混合元兩層網(wǎng)格算法.算法4特征有限元-混合元兩層網(wǎng)格算法步驟1：在粗網(wǎng)格H上求解,,MHxVHxWH,使得它們滿(mǎn)足如下的非線(xiàn)性耦合系統(tǒng)：其中，D=^dmI為分子擴(kuò)散張量.步驟2:在細(xì)網(wǎng)格h上求解,,MhxVhxWh,使得它們滿(mǎn)足如下解耦的線(xiàn)性系統(tǒng)：其中,B1=‘文獻(xiàn)［31］的理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明:由于可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的非線(xiàn)性和耦合性更強(qiáng)，利用兩層網(wǎng)格算法求解明顯提高了計(jì)算效率.3數(shù)值實(shí)驗(yàn)為了說(shuō)明兩層網(wǎng)格算法在不可壓縮和可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題中數(shù)值模擬的效果，利用文獻(xiàn)[29-31]的數(shù)值例子，分別用牛頓迭代算法和兩層網(wǎng)格算法進(jìn)行求解，通過(guò)對(duì)比相同網(wǎng)格尺度下的收斂精度和運(yùn)行時(shí)間說(shuō)明兩層網(wǎng)格算法的效果.濃度c、壓力p屬于分片常數(shù)空間，混合流速u(mài)、濃度的梯度和濃度的通量z屬于最低階的Raviart-Thomas元空間.例1[29-30]考慮如下不可壓縮可混溶的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題：⑼其中,Q=[0,1]x[0,1],t[0,T],f(c)選取滿(mǎn)足真解c=sin2(nx)sin2(ny)e-t,D=0.1xI,a(c)=c+2,為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定Hp=Hc=H,hc=hp=h.其中，算法1及相應(yīng)的牛頓迭代法中假定時(shí)間步長(zhǎng)為=1.0e-5,總時(shí)長(zhǎng)T=1.0e-3;算法2、算法3及相應(yīng)的牛頓迭代法中假定時(shí)間步長(zhǎng)為=1.0e-5,總時(shí)長(zhǎng)T=2.0e-4.在不可壓縮可混溶的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題中，由表1~表6可知：在相同的細(xì)網(wǎng)格尺度下，兩層網(wǎng)格算法(算法1~算法3)與相應(yīng)的牛頓迭代法的誤差幾乎相同，但隨細(xì)網(wǎng)格空間步長(zhǎng)的變小，算法1~算法3的計(jì)算效率明顯提高.即兩層網(wǎng)格算法中，粗網(wǎng)格的網(wǎng)格數(shù)比細(xì)網(wǎng)格的網(wǎng)格數(shù)小得多，這樣可以將大規(guī)模的非線(xiàn)性計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化成小規(guī)模的非線(xiàn)性問(wèn)題和大規(guī)模的線(xiàn)性問(wèn)題進(jìn)行求解，從而提高計(jì)算效率且不會(huì)影響細(xì)網(wǎng)格上有限元方法解的精度.當(dāng)兩層網(wǎng)格算法是三步法時(shí)，由表1、表2可知：當(dāng)粗細(xì)網(wǎng)格尺度滿(mǎn)足H=O(h1/4)時(shí)，算法1可以獲得方程組解的誤差階的最優(yōu)階逼近;當(dāng)兩層網(wǎng)格算法是二步法時(shí)，由表4~表6可以看出：當(dāng)粗細(xì)網(wǎng)格尺度滿(mǎn)足H=O(h1/2)時(shí)，算法2、算法3同樣可以獲得方程組解的誤差階的最優(yōu)階逼近.表1牛頓迭代法(特征有限元-混合有限元)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table1TheerrorandCPUtimeofNewtoniterativemethod(characteristicfiniteelement-mixedfiniteelement)Hh誤差誤差階||cn-cnh||||un-unh||||pn-pnh||||cn-cnh||||un-unh||||pn-pnh||運(yùn)行時(shí)間/s1/41/165.617e-32.197e-16.873e-2———6.221/41/643.756e-45.503e-21.725e-2211105.431/41/2562.346e-51.415e-24.454e-32111756.43注：〃是該牛頓迭代法的解.表2兩層網(wǎng)格算法(算法1)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table2TheerrorandCPUtimeoftwo-gridalgorithm(Algorithm1)Hh誤差誤差階||cn-cnh||||un-unh||||pn-pnh||||cn-cnh||||un-unh||||pn-pnh||運(yùn)行時(shí)間/s1/41/166.003e-32.197e-16.874e-2———5.931/41/643.754e-45.500e-21.724e-221160.271/41/2562.346e-51.415e-24.456e-3211853.46表3牛頓迭代法(特征混合有限元-混合有限元)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table3TheerrorandCPUtimeofNewtoniterativemethod(characteristicmixedfiniteelement-mixedfiniteelement)Hh誤差誤差階運(yùn)行時(shí)間/s||cn-cnh||||zn-znh||||un-unh||||pn-pnh||1/21/41.084e-18.100e-18.730e-12.856e-1—0.211/41/162.840e-22.177e-12.179e-16.880e-211.601/81/647.500e-35.640e-25.450e-21.720e-2132.071/161/1284.300e-33.080e-22.730e-28.600e-31168.15注：,,,是該牛頓迭代法的解.表4兩層網(wǎng)格算法(算法2)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table4TheerrorandCPUtimeoftwo-gridalgorithm(Algorithm2)Hh誤差誤差階運(yùn)行時(shí)間/s||cn-Cnh||||zn-Znh||||un-Unh||||pn-Pnh||1/21/41.084e-18.100e-18.730e-12.856e-1—0.371/41/162.840e-22.177e-12.179e-16.880e-210.781/81/647.500e-35.640e-25.450e-21.720e-2111.721/161/1284.300e-33.080e-22.730e-28.600e-3162.53表5牛頓迭代法(特征擴(kuò)張混合有限元-混合有限元)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table5TheerrorandCPUtimeofNewtoniterativemethod(characteristicexpandedmixedfiniteelement-mixedfiniteelement)Hh誤差誤差階運(yùn)行時(shí)間/s||cn-cnh||||zn-znh||||zn-znh||||un-unh||||pn-pnh||1/21/41.084e-18.092e-18.095e-28.633e-12.726e-1—0.121/41/162.836e-22.173e-12.174e-22.365e-16.927e-210.911/81/647.510e-35.638e-25.638e-38.757e-21.789e-2116.121/161/1284.334e-33.085e-23.086e-34.403e-28.746e-31189.08注：“是該牛頓迭代法的解.表6兩層網(wǎng)格算法(算法3)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table6TheerrorandCPUtimeoftwo-gridalgorithm(Algorithm3)Hh誤差誤差階運(yùn)行時(shí)間/s||cn-Cnh||||zn-Znh||||zn-Znh||||un-Unh||||pn-Pnh||1/21/41.084e-18.092e-18.092e-28.632e-12.726e-1—0.191/41/162.836e-22.173e-12.173e-22.366e-16.928e-210.831/81/647.510e-35.638e-25.638e-38.758e-21.789e-2114.451/161/1284.334e-33.085e-23.085e-34.401e-28.744e-3184.44例2[31]考慮如下可壓縮可混溶的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題：(10)其中,Q=[0,1]x[0,1],t[0,T],f(c)選取滿(mǎn)足真解c=sin2(nx)sin2(ny)t,D=0.01xI,a(c)=1,b(c)=c(1-c),d(c)=c,p=-c+t/4.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),假定時(shí)間步長(zhǎng)為=1.0e-5,總時(shí)長(zhǎng)T=1.0e-3,Hp=Hc=H,hc=hp=h.在可壓縮可混溶的滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題中，由表7、表8可以看出2種算法有相同的誤差,但兩層網(wǎng)格算法的運(yùn)行時(shí)間少得多.進(jìn)一步可以看到：當(dāng)粗細(xì)網(wǎng)格尺度滿(mǎn)足H=O(h1/2)時(shí)，算法4同樣可以獲得解的誤差階的最優(yōu)階逼近.表7牛頓迭代法(特征有限元-混合有限元)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table7TheerrorandCPUtimeofNewtoniterativemethod(characteristicfiniteelement-mixedfiniteelement)Hh誤差誤差階||cn-cnh||||un-unh||||pn-pnh||||cn-cnh||||un-unh||||pn-pnh||運(yùn)行時(shí)間/s1/21/41.206e-51.719e-42.283e-5———1.321/41/164.921e-74.497e-56.099e-62118.841/81/642.814e-81.234e-51.594e-621196.891/161/2567.805e-96.509e-67.411e-7211267.28注：〃是該牛頓迭代法的解.表8兩層網(wǎng)格算法(算法4)的誤差和運(yùn)行時(shí)間Table8TheerrorandCPUtimeoftwo-gridalgorithm(Algorithm4)Hh誤差誤差階||cn-Cnh||||un-Unh||||pn-Pnh||||cn-Cnh||||un-Unh||||pn-Pnh||運(yùn)行時(shí)間/s1/21/41.206e-51.719e-42.283e-5———1.231/41/164.921e-74.497e-56.099e-62114.021/81/642.814e-81.234e-51.594e-621132.571/161/2567.805e-96.509e-67.411e-7211103.734小結(jié)正如不可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題討論,對(duì)可壓縮滲流驅(qū)動(dòng)問(wèn)題同樣討論相應(yīng)的特征有限元、特征混合元、特征擴(kuò)張混合元及其他離散方法的兩層網(wǎng)格算法.但對(duì)于高維問(wèn)題,目前通常用分?jǐn)?shù)步法分別與特征有限元、特征差分、迎風(fēng)差分相結(jié)合的離散方法[35].對(duì)于其他離散方法的兩層網(wǎng)格算法和高維問(wèn)題的兩層網(wǎng)格算法的文獻(xiàn)還很少見(jiàn)，類(lèi)似于特征有限元、特征混合有限元和特征擴(kuò)張混合有限元等離散方法的兩層網(wǎng)格算法可以進(jìn)一步推廣到其他離散方法的兩層網(wǎng)格算法，但理論分析和數(shù)值算法實(shí)現(xiàn)將會(huì)更加復(fù)雜和困難,這將是下一步的研究方向.參考文獻(xiàn)：【相關(guān)文獻(xiàn)】CHENZX,EWINGRE.Mathmaticalanalysisforreserviormodels[J].SIAMJournalonMathematicalAnaly-sis,1999,30(2):431-453.EWINGRE,WHEELERMF.Galerkinmethodsformiscibledisplacementproblemsinporousmedia[J].SIAMJournalonNumericalAnalysis,1980,17:351-365.DOUGLASJJ.Finitedifferencemethodsfortwo-phaseincompressibleflowinporousmedia[J].SIAMJournalonNumericalAnalysis,1983,20:681-696.DOUGLASJJ,EWINGRE,WHEELERMF.Atime-discretizationprocedureforamixedfiniteelememtapp-roximationofmiscibledisplacementinporousmedia[J].RAIRO:AnalyseNumerique,1983,17:249-265.DOUGLASJJ,EWINGRE,WHEELERMF.Theapp-roximationofthepressurebyamixedmethodinthesimu-lationofmiscibledisplacement[J].RAIRO:AnalyseNume-rique,1983,17:17-33.DOUGLASJJ,ROBERTSJE.Numericalmethodsforamodelforcompressiblemiscibledisplacementinporousmedia[J].MathematicsofComputation,1983,41:441-459.EWINGRE,RUSSELLTF,WHEELERMF.Convergenceanalysisofanapproximationofmiscibledisplacementinporousmediabymixedfiniteelementsandamodifiedmethodofcharacteristics[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,1984,47:73-92.KOUJS,SUNSY.Analysisofacombinedmixedfiniteelementanddiscontinuousgalerkinmethodforincompre-ssibletwo-phaseflowinporousmedia[J].MathematicalMethodsintheAppliedSciences,2014,37(7):962-982.YUANYR.Characteristicfinitedifferencemethodsforpositivesemidefiniteproblemoftwophasemiscibleflowinporousmedia[J].SystemsScienceandMathematicalSciences,1999,12(4):299-306.SUNTJ,YUANYR.Anapproximationofincompressiblemiscibledisplacementinporousmediabymixedfiniteele-mentmethodandcharacteristic-mixedfiniteelementmethod[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics,2009,228:391-411.WANGH,EWINGRE,QING,etal.AfamilyofEule-rian-Lagrangianlocalizedadjointmethodsformulti-dimensionaladvection-reactionequations[J].JournalofComputationalPhysics,1999,152:120-163.XUJC.Anoveltwo-gridmethodforsemilinearequations[J].SIAMJournalonScientificComputing,1994,15:231-237.XUJC.Two-griddiscretizationtechniquesforlinearandnon-linearPDEs[J].SIAMJournalonNumericalAnalysis,1996,33:1759-1777.CHENYP,HUANGYQ.Amultileveliteratecorrectionmethodforsolvingnonlinearsingularproblems[J].NaturalScienceJournalofXiangtanUniversity,1994,16:23-26.CAIM,MUM,XUJC.Numericalsolutiontoamixednavier-stokes/darcymodelbythetwo-gridapproach[J].SIAMJournalonNumeriealAnalysis,2009,47:3325-3338.CHENLP,CHENYP.Two-gridmethodfornonlinearreaction-diffusionequationsbymixedfiniteelementme-thods[J].JournalofScientificComputing,2011,49(3):383-401.CHENYP,HUANGYQ,YUDH.Atwo-gridmethodforexpandedmixedfinite-elementsolutionofsemilinearreaction-diffusionequations[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2003,57:193-209.CHENYP,LIUHW,LIUS.Analysisoftwo-gridmethodsforreaction-diffusionequationsbyexpandedmixedfiniteelementmethods[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2007,69:408-422.CHENYP,LUANP,LUZL.Analysisoftwo-gridme-thodsfornonlinearparabolicequationsbyexpandedmixedfiniteelementmethods[J].AdvancesinAppliedMathematicsandMechanics,2009,1(6):830-844.CHIENCS,HUANGHT,JENGBW,etal.Two-griddiscretizationschemesfornonlinearschrodingerequations[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics,2008,214(2):549-571.CHIENCS,JENGBW.Atwo-griddiscretizationschemeforsemilinearellipticeigenvalueproblems[J].SIAMJournalonScientificComputing,2006,27(4):1287-1304.DAWSONCN,WHEELERMF.Two-gridmethodsformixedfiniteelementapproximationsofnonlinearparabolicequations[J].ContemporaryMathematics,1994,180:191-203.HEYN.Two-levelmethodbasedonfiniteelementandcrank-nicolsonextrapolationforthetime-dependentna-vier-stokesequations[J].SIAMJournalonNumericalAnalysis,2003,41(4):1263-1285.JINJC,SHUS,XUJC.Atwo-griddiscretizationmethodfordecouplingsystemsofpartialdifferentialequations[J].MathematicsofComputation,2006,75:1617-1626.MUM,XUJC.Atwo-gridmethodofamixedstokes-darcymodelforcouplingfluidflowwithporousmediaflow[J].SIAMJournalonNumericalAnalysis,2007,45:1801-1813.WUL.Two-gridmixedfinite-elementmethodsfornonlinearschrodingerequations[J].NumericalMethodsPartialDifferentialEquations,2012,28:63-73.WUL,ALLENMB.Atwo-gridmethodformi