第17講 圓（原卷）初中數(shù)學(xué)

第十七講——圓

考向一圓的基本認識

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東臨沂市?）我們知道，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離;

同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到這條直線的垂線段

的長度，叫做點到直線的距離.類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，最短線段的長度，

叫做點到曲線的距離.依此定義，如圖，在平面直角坐標系中，點42,1）到以原點為圓心，以1為半徑的

圓的距離為.

2.（2020?甘肅蘭州市?中考模擬）有下列四個命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個點一定可以作圓；③三角形的

外心到三角形各頂點的距離都相等；④半徑相等的兩個半圓是等弧.其中正確的有

A.4個B.3個C.2個D.1個

變式拓展

1.（2020?山東聊城市?中考模擬）把地球看成一個表面光滑的球體，假設(shè)沿地球赤道繞緊一圈鋼絲，然后把

鋼絲加長，使鋼絲圈沿赤道處處高出球面16cm,那么鋼絲大約需要加長

A.102cmB.104cmC.106cmD.108cm

2.（2020?山東臨沂市）如圖，在。。中，AB為直徑,ZAOC=80\點D為弦AC的中點，點E為8C上

1

任意一點，則NCED的大小可能是（）

20C.30°D.40°

考向二垂徑定理

典例引領(lǐng)

1.（2020?廣東廣州市?中考真題）往直徑為52砌的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面

寬AB=48cm,則水的最大深度為（）

A.80nB.10cmC.16cmD.20cm

2.（2020?黑龍江牡丹江市?中考真題）A5是O。的弦，OMLAB,垂足為M,連接。1.若“。加中

有一個角是30°,OM=273-則弦A3的長為

3.（2020?浙江嘉興市?中考真題）如圖，在等腰AABC中，AB=AC=2石，BC=8,按下列步驟作圖：

①以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交A8,AC于點E,F,再分別以點E,F為圓心，大于J

EF的長為半徑作弧相交于點H,作射線AH；

2

②分別以點A,B為圓心，大于gAB的長為半徑作弧相交于點M,N,作直線MN,交射線A”于點0；

③以點。為圓心，線段。4長為半徑作圓.

則。。的半徑為（）

C.4D.5

變式拓展

1.（2020?山東濱州市?中考真題）在。。中，直徑AB=15,弦DE_LAB于點C.若OC：OB=3：5,則

DE的長為（）

A.6B.9C.12D.15

2.（2020?江蘇南京市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，OP與x軸、y軸都相切，

且經(jīng)過矩形A08C的頂點C,與BC相交于點D,若。P的半徑為5,點A的坐標是（。,8）,則點D的坐標

是（）

3

C.(10,2)D.(10,3)

3.（2020?青海中考真題）已知OO的直徑為10cm,AB,CD是。O的兩條弦，AB//CD,AB=8cm,

CO=6cm,則AB與C￡＞之間的距離為cm.

考向三弧'弦'圓心角'圓周角

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東煙臺市?中考真題）量角器測角度時擺放的位置如圖所示，在AAC右中，射線OC交邊AB于

點D,則/ADC的度數(shù)為（）

A.60°B.70°C.80°D.85°

2.（2020?浙江中考真題）如圖，已知四邊形ABC。內(nèi)接于。O,NABC=70°,則NAOC的度數(shù)是（）

A.70°B.110°C.130°D.140°

4

3.（2020?山東青島市?中考真題）如圖，3。是O。的直徑，點A，C在。。上，AB=AD>AC交8。

于點G.若/COD=126°.則ZAGB的度數(shù)為（）

A.99°B.108°C.110°D.117°

變式拓展

1.（2020?湖北荊門市?中考真題）如圖,。。中，OC±AB,ZAPC=28°,則ZBOC的度數(shù)為（)

A.14°B.28°C.42°D.56°

2.（2020?浙江杭州市?中考真題）如圖,已知BC是。。的直徑，半徑。4J_BC,點。在劣弧AC上（不與

點A,點C重合），BD與OA交于點E.設(shè)/AEQ=a,NAOO=p,則()

5

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-p=90°D.2a-P=90°

考向四點、直線與圓的位置關(guān)系

典例引領(lǐng)

4

1.（2020?廣東廣州市?中考真題）如圖，及A43C中，ZC=90°,AB=5,cosA=-,以點3為圓心,

廠為半徑作。8,當(dāng)r=3時，與AC的位置關(guān)系是（）

B.相切C.相交D.無法確定

2.（2020?上海中考真題）在矩形48co中，AB=6,BC=8,點。在對角線AC上，圓O的半徑為2,如果圓

O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段A。長的取值范圍是—.

變式拓展

1.（2020?四川中考模擬）己知。。的半徑是5,點A到圓心O的距離是7,則點A與。。的位置關(guān)系是

A.點A在③。上B.點A在。。內(nèi)C.點A在。。外D.點A與圓心。重合

6

2.（2020?河北中考模擬）在AA8C中，AB=AC=2,NA=150。，那么半徑長為1的。B和直線AC的位置關(guān)

系是

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

考向五切線的性質(zhì)與判定

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江杭州市?中考真題）如圖，已知AB是。。的直徑，BC與。。相切于點B,連接4C,OC.若

sinZBAC=—,則tan/BOC=.

3

2.（2020?湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題）如圖，PA，P3為。O的切線，切點分別為A、B,PO

交A8于點C,PO的延長線交。O于點D.下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.△3%為等腰三角形B.A3與尸。相互垂直平分

C.點A、B都在以P。為直徑的圓上D.PC為△8/%的邊AB上的中線

3.（2020?河南中考真題）我們學(xué)習(xí)過利用用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個任意角”

曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實際需要，發(fā)明了一種簡易操作工

具三分角器.圖1是它的示意圖，其中A3與半圓。的直徑6C在同一直線上，且AB的長度與半

圓的半徑相等；與AC重直于點足夠長.

使用方法如圖2所示，若要把NMEN三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使經(jīng)過NMEN的頂點￡,點A

落在邊匕半圓。與另一邊EN恰好相切，切點為尸，則石氏￡。就把三等分了.

7

為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明.如下給出了不完整的“己知”和“求證”，請補充完整，并寫

出‘'證明”過程.

己知：如圖2,點在AB,。,。同一直線上，垂足為點8,

求證：__________

變式拓展

1.（2020?江蘇徐州市。中考真題）如圖，A8是O。的弦，點C在過點B的切線上，OC_LOA,OC交AB

于點P.若NBPC=70。，則Z43C的度數(shù)等于（）

8

A.75°B.70°C.65°D.60°

2.(2020?四川綿陽市?中考真題)如圖，4ABC內(nèi)接于點D在。O外，NADC=90。，BD交。O于點

E,交AC于點F,ZEAC=ZDCE,ZCEB=ZDCA,CD=6,AD=8.(1)求證：AB〃CD；(2)求證：

CD是。O的切線；(3)求tan/ACB的值.

9

考向六正多邊形與圓

典例引領(lǐng)

1.（2020?湖北隨州市?中考真題）設(shè)邊長為。的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為/?、廣、

R，則下列結(jié)論不正硬的是（）

A.h=R+rB.R=2r

2.（2020?山東德州市?中考真題）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長為4,以其各邊為直徑作半圓，則圖中陰影

部分的面積為（）

A.24百一4萬B.126+4萬C.240+8萬D.24百+4萬

10

變式拓展

1.（2020?四川中考真題）半徑為R的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為a,b,c,則a,

b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.h<a<cC.a<c<hD.c<b<a

2.（2020?遼寧阜新市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形。ABC￡應(yīng)繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)，個45。,得到正六邊形。446。耳，則正六邊形=2020）的頂點C,的坐標是（）

A.（1,-6）B.（1,73）C.（1,-2）D.（2,1）

考向七弧長和扇形面積

典例引領(lǐng)

1.（2020?湖南邵陽市?中考真題）如圖①是山東艦航徽的構(gòu)圖，采用航母45度破浪而出的角度，展現(xiàn)山東

艦作為中國首艘國產(chǎn)艦?zāi)笝M空出世的氣勢，將艦徽中第一條波浪抽象成幾何圖形，則是一條長為10萬的弧,

若該弧所在的扇形是高為12的圓錐側(cè)面展開圖（如圖②），則該圓錐的母線長A8為.

圖①圖②

2.（2020?四川成都市?中考真題）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線引4GA片片…叫做“正六邊

形的漸開線“，E&,4勺，G4,,…的圓心依次按A，B,C,D,E，/循環(huán)，

11

且每段弧所對的圓心角均為正六邊形的一個外角.當(dāng)45=1時，曲線FA4G"鳥耳的長度是

3.（2020?山西中考真題）中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤造型也會讓美食錦上添花.圖①中的擺盤，

其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到AC=30=12的，C,

。兩點之間的距離為4c〃z，圓心角為60°,則圖中擺盤的面積是（）

D.ITTCYTV

12

變式拓展

1.（2020?云南中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,以點A為圓心，為半徑畫圓弧DE得到扇

形D4E（陰影部分，點E在對角線4C上）.若扇形D4E正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底

面圓的半徑是（）

1

A.正B.1C.—D.—

22

2.（2020?廣西貴港市?中考真題）如圖，在扇形046中，點C在A3上，ZAOB=90°,NA5C=3（）。,

于點。，連接AC,若。4=2,則圖中陰影部分的面積為.

D

、聲點沖關(guān)充

1.（2020?安徽中考真題）已知點A3,C在。。上.則下列命題為真命題的是（）

A.若半徑08平分弦AC.則四邊形Q4BC是平行四邊形

B.若四邊形Q43c是平行四邊形.則NABC=120°

C.若NABC=120°.則弦AC平分半徑08

D.若弦4C平分半徑08.則半徑。8平分弦AC

13

2.（2020?山東濰坊市?中考真題）如圖，在中，ZAOB=90°,OA=3,05=4,以點O為圓心,

2為半徑的圓與08交于點C,過點C作C￡>_LOB交AB于點D,點P是邊04上的動點.當(dāng)PC+PE）最

小時，OP的長為（）

3.（2020?貴州黔東南?中考真題）如圖，。。的直徑CO=20,AB是。O的弦，ABLCD,垂足為M,OM：

。。=3：5,則AB的長為（）

A.8B.12C.16D.2回

4.（2020?廣西河池市?中考真題）如圖，AB是。O的直徑，CD是弦，AELCD于點E,BFLCD于點F.若

FB=FE=2,FC=1,則AC的長是（

4亞5&

14

5.（2020?遼寧鞍山市?中考真題）如圖，。。是AABC的外接圓，半徑為2cm,若3c=2cm,則NA的

A.30°B.25°C.15°D.10°

6.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?中考真題）如圖，AB是半圓的直徑，C、力是半圓上的兩點，ZADC=106°,則NC4B

7.（2020?湖北荊州市?中考真題）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,點A,B,C

均在網(wǎng)格交點上，OO是△ABC的外接圓，則cosNB4c的值是（）

B.竽C.1"

15

8.（2020?四川廣安市?中考真題）如圖，點A,B,C,D四點均在圓O上，ZAOD=68°,AO//DC,則/B

C.56°D.68°

9.（2020?山東淄博市?中考真題）如圖，放置在直線1上的扇形OAB.由圖①滾動（無滑動）到圖②，再由

圖②滾動到圖③.若半徑OA=2,ZAOB=45°,則點。所經(jīng)過的最短路徑的長是（）

10.（2020?湖北黃石市?中考真題）如圖，在6x6的方格紙中，每個小方格都是邊長為1的正方形，其中4、

B、C為格點，作AASC的外接圓，則的長等于

11.（2020?青海中考真題）在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為

16

12.（2020?云南昆明市?中考真題）如圖，邊長為20c機的正六邊形螺帽，中心為點。，0A垂直平分邊CD,

垂足為8,AB=\lcm,用扳手擰動螺帽旋轉(zhuǎn)90。，則點A在該過程中所經(jīng)過的路徑長為cm.

13.（2020?黑龍江綏化市?中考真題）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于。。，點P為OE上一點（點P與點

點E不重合），連接PC、PD，DGLPC,垂足為G,NPDG等于度.

14.（2020?江蘇南通市?中考真題）已知。。的半徑為13cm,弦A8的長為10c/n,則圓心。到A8的距離為

_____cm.

15.（2020?貴州貴陽市?中考真題）如圖，AA6C是。。的內(nèi)接正三角形，點。是圓心，點。，E分別在邊

AC,AB上，若DA=EB,則NOOE的度數(shù)是一度.

17

16.(2020?湖南懷化市?中考真題)定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

(1)下面四邊形是垂等四邊形的是(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)圖形判定：如圖1,在四邊形A3CD中，AD//BC,AC±BD,過點D作BD垂線交BC的延長

線于點E,且NDBC=45。，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形.

(3)由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應(yīng)用：在圖2中，面積為

24的垂等四邊形ABCD內(nèi)接于。O中，ZBCD=60°.求。。的半徑.

18

17.（2020?四川中考真題）如圖，在。。中，弦AB與直徑CD垂直，垂足為M,C。的延長線上有一點尸,

滿足NPBD=NDAB.過點P作PNLC。，交。4的延長線于點N,連接EW交AP于點H.（1）求證：BP

是。。的切線；（2）如果OA=5,AM=4,求PN的值：（3）如果求證：AH?OP=HP*AP.

19

18.（2020?遼寧盤錦市?中考真題）如圖，是。。的直徑，AO是。。的弦，AO交BC于點E，連接

AB,CD,過點E作所_LA8,垂足為F，ZAEF^ZD.（1）求證：ADYBC；（2）點G在8c的延

Ap2

長線上，連接AG,ND4G=2/0.①求證:AG與。。相切；②當(dāng)——=-,CE=4時，直接寫出CG

BF5

的長.

B

20

19.（2020?湖南永州市?中考真題）如圖，△A6C內(nèi)接于是°。的直徑，B。與O。相切于點8,

3。交AC的延長線于點力，E為5。的中點，連接CE.（1）求證：CE是OO的切線.（2）已知

BD=3瓜CD=5,求O,E兩點之間的距離.

21

20.（2020?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）中心為。的正六邊形ABCDEF的半徑為6cm.點P,Q同時分別從AD

兩點出發(fā)，以lcm/s的速度沿向終點居C運動，連接PB,PE,QB,QE,設(shè)運動時間為f（s）.

（1）求證：四邊形P3QE為平行四邊形；（2）求矩形P3QE的面積與正六邊形ABCDE/7的面積之比.

22

直通中考.

1.（2020?四川瀘州市?中考真題）如圖，。。中，舛8=注0，ZABC=70°,則/BOC的度數(shù)為（）

B.90°C.80°D.70°

2.（2020?湖北省直轄縣級行政單位?中考真題）一個圓錐的底面半徑是4cm，其側(cè)面展開圖的圓心角是120。,

則圓錐的母線長是（）

A.8cmB.12cmC.16cmD.24cm

3.（2020?山東日照市?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，CQ為。。的弦，A3_LCZ）于點E,若CD=66,

C.3兀--yfiD.9G

4

4.（2020?江蘇常州市?中考真題）如圖，A8是OO的弦，點。是優(yōu)弧A8上的動點（C不與A、B重合）,

CHLAB,垂足為〃，點M是3C的中點.若OO的半徑是3,則長的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

23

5.（2020?湖北中考真題）如圖，點在。。上，OA±BC,垂足為E.若ZM>C=30。，AE=1，

則BC=（）

A.2B.4C.73D.20

6.（2020?陜西中考真題）如圖，ZVIBC內(nèi)接于。O,ZA=50°.E是邊BC的中點，連接OE并延長，交

。。于點。，連接3。，則NO的大小為（）

C.60°D.75°

13.（2020?山東泰安市?中考真題）如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB=BC,ABAC=30°,是

直徑，AQ=8,則AC的長為（）

24

7.（2020?柳州市中考真題）如圖，點A、B、C在。。上，若NBOC=70°,則NA的度數(shù)為（）

A

\0\\

A.35°B.40°C.55°D.70°

8.（2020?四川眉山市?中考真題）如圖，四邊形ABC。的外接圓為。0，BC=CD,4MC=35。，

NAC￡>=45°,則的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

9.（2020?內(nèi)蒙古赤峰市?中考真題）如圖，0A經(jīng)過平面直角坐標系的原點O,交x軸于點B（-4,0）,交），

軸于點C（0,3）,點。為第二象限內(nèi)圓上一點.則NCDO的正弦值是（）

25

10.（2020?河北中考真題）有一題目：“已知：點。為AABC的外心，ZBOC=130°,求NA.”嘉嘉的

解答為：畫AA8C以及它的外接圓。，連接08,OC,如圖.由ZBOC=2NA=13（）。，得NA=65°.而

淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，NA還應(yīng)有另一個不同的值."，下列判斷正確的是（）

A.淇淇說的對，且NA的另一個值是115。B.淇淇說的不對，NA就得65°

C.嘉嘉求的結(jié)果不對，NA應(yīng)得50°D.兩人都不對，NA應(yīng)有3個不同值

11.（2020?湖南張家界市?中考真題）如圖，四邊形ABCO為。。的內(nèi)接四邊形，已知N3Q9為120°,則

C.120°D.130°

12.（2020?浙江金華市?中考真題）如圖，。。是等邊△4BC的內(nèi)切圓，分別切AB,BC,AC于點E,F,D,

P是°F上一點，則NEPF的度數(shù)是（）

C.58°D.50°

26

13.（2020?湖南永州市?中考真題）如圖，已知PAP8是。。的兩條切線，4,8為切點，線段OP交。。于

點M.給出下列四種說法：?PA=PB-,②OP_LAB；③四邊形。4尸B有外接圓；④M是AAOP外接圓

的圓心，其中正確說法的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2020?山東濟南市?中考真題）如圖，在正六邊形4BCCEF中，分別以C,尸為圓心，以邊長為半徑作

弧，圖中陰影部分的面積為24兀，則正六邊形的邊長為.

15.（2020?湖北襄陽市?中考真題）在。O中，若弦8C垂直平分半徑。4,則弦8C所對的圓周角等于

16.（2020?江蘇蘇州市?中考真題）如圖，已知A8是。。的直徑，AC是。。的切線，連接。。交。。于

點￡）,連接50.若NC=40。，則E>8的度數(shù)是

27

17.（2020?黑龍江牡丹江市?中考真題）在半徑為斯的。0中，弦AB垂直于弦CD,垂足為P,AB=CD=4,

則SAACP=.

18.（2020?山東濰坊市?中考真題）如圖，四邊形ABC。是正方形，曲線。4月GQ4…是由一段段90度

的弧組成的.其中：D4,的圓心為點A,半徑為A。；A4的圓心為點B,半徑為BA；4G的圓心為點

C,半徑為C4；CQ的圓心為點D,半徑為。G；…￡>A，A4,4C1,CQ,…的圓心依次按點A,B,C,

D循環(huán).若正方形A6CD的邊長為1,則4020&020的長是.

19.（2020?湖南岳陽市?中考真題）如圖，A3為半。。的直徑，M.。是半圓上的三等分點，AB=8,BD

與半。。相切于點3,點P為%必上一動點（不與點A，M重合），直線PC交3。于點。，BEA.OC

于點E，延長BE交PC于點尸，則下列結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

4

①PB=PD；②8C的長為§乃；③NDBE=45。；?ABCF^APFB；⑤CECP為定值.

28

20.（2020?內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）某同學(xué)在學(xué)習(xí)了正多邊形和圓之后，對正五邊形的邊及相關(guān)線段

進行研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)者名的黃金分割比避二!0.618.如圖，圓內(nèi)接正五邊形A88E,圓心為O,

2

。以與BE交于點H,AC.A￡＞與BE分別交于點M、N.根據(jù)圓與正五邊形的對稱性，只對部分圖形進

行研究.（其它可同理得出）（1）求證：AABM是等腰三角形且底角等于36。，并直接說出A&W的形狀;

（2）求證：—,且其比值左=避二1；（3）由對稱性知由（1）（2）可知"生也

BNBE2BM

是一個黃金分割數(shù)，據(jù)此求sinl8。的值.