高中數(shù)學(xué)《排列與排列數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《6.2.1排列與排列數(shù)》教案

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第六章《計數(shù)原理》，本節(jié)課主

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)排列與排列數(shù)。

排列與組合是在學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理之后，由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩

個計數(shù)原理為基礎(chǔ)，同時排列和組合又能進(jìn)一步簡化和優(yōu)化計數(shù)問題。教學(xué)的重點是排列

的理解，利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，難點是運用排列解決實際問題。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念，能用列舉法、樹1.數(shù)學(xué)抽象：排列的概念

狀圖法列出簡單的排列.2.邏輯推理：排列數(shù)的性質(zhì)

B.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運用排列數(shù)公式熟3.數(shù)學(xué)運算：運用排列數(shù)解決計數(shù)問題

練地進(jìn)行相關(guān)計算.4.數(shù)學(xué)建模：將計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為排列問題

C.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并

能運用排列的相關(guān)知識解一些簡單的排列應(yīng)用題.

【重點與難點】

重點：理解排列的定義及排列數(shù)的計算

難點：運用排列解決計算問題

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計

一、溫故知新

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別

L聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、

最重要的方法.

2.區(qū)別通過引導(dǎo)學(xué)生回

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理顧計數(shù)原理，進(jìn)

區(qū)別完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵完成一件事共有n個步一步比較分析加

詞是“分類”驟,關(guān)鍵詞是“分步”深對兩個計數(shù)原

除最后一步外，其他每理得理解。

每類辦法中的每種方法都能獨步得到的只是中間結(jié)

立地完成這件事,它是獨立的、果，任何一步都不能獨

區(qū)別

一次的且每種方法得到的都是立完成這件事,缺少任

最后結(jié)果，只需一種方法就可完何一步也不能完成這件

成這件事事,只有各個步驟都完

成了，才能完成這件事

各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨

區(qū)別各類辦法之間是互斥的、并列立的，“關(guān)聯(lián)”確保不

的、獨立的遺漏，“獨立”確保不

重復(fù)

通過具體問題，

問題1.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項活動，其中1名同學(xué)參

分析、比較、歸

加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動.

納出對排列的概

分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動，1名參加上午的活動，

念。發(fā)展學(xué)生數(shù)

另1名參加下午的活動”，可以分兩個步驟：

學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽

第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；

象和數(shù)學(xué)建模的

第2步，確定下午的同學(xué)，只能從剩下的2人中去選，有2種選法.

核心素養(yǎng)。

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3X2=6.

上午下午相應(yīng)的選法

一_^一乙甲乙

甲

~~~~丙甲丙

____________乙甲

乙V一

j-丙乙丙

_一一甲丙甲

丙

乙丙乙

問題如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，則問題可敘述為：從3個不

同的元素中任意取出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排

列方法？

問題2.從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù)？

分析：從4個數(shù)中每次取出三個按“百位、十位、個位”的順序排成一

歹U，就得到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三

位數(shù)，可以分三個步驟解決：

第1步，確定百位上的數(shù)字，從1、2、3、4這4個數(shù)中任取一個，有4種

方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，只能從余下的3個數(shù)字中取，有3種方

法；第3步，確定個位上的數(shù)字，只能從余下的2個數(shù)字中取，有2種方

法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1、2、3、4這4個不同的數(shù)字中，每次取

出3個數(shù)字，按百位、十位、個位的順序排成一列，不同的排列方法為

4X3X2=24

因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖所示

百位L234

/、、/Z

十位234134124123

△△△△△△△△A△△八

個位342423341413241412231312

同樣，問題2可以歸結(jié)為：

從4個不同的元素a,b,c,d中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有

多少種不同的排列方法？所有不同的排列是

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,cbd,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb,

不同的排列方法為4X3X2=24

在典例分析和練

上述問題1,2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？

習(xí)中讓學(xué)生熟悉

一、排列的相關(guān)概念

排列和排列數(shù)的

1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(mWn)個元素,并按照一定的順序排

概念，進(jìn)而靈活

成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

運用排列數(shù)解決

2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.

問題。發(fā)展學(xué)生

名師點析理解排列應(yīng)注意的問題

邏輯推理，直觀

(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序

想象、數(shù)學(xué)抽象

排列”.

和數(shù)學(xué)運算的核

(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.

1.下列問題中：心素養(yǎng)。

①10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本；

②10位同學(xué)互通一次電話；

③10位同學(xué)互通一封信；

@10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段.

屬于排列的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.

答案:B

二、典例解析

例1.某省中學(xué)足球隊賽預(yù)選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各

隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？

分析：每組任意2支隊之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選

取2支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列.

解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客

隊.按分步乘法計數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為

6X5=30.

例2.（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取

1盤菜，共有多少種不同的取法？

（2）學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一

種，共有多少種不同的選法？

分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任

取3盤，放在3個位置（給3名同學(xué)）的一個排列；而3名同學(xué)每人從食堂

窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.

解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取

1盤給同學(xué)乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計數(shù)原

理，不同的取法種數(shù)為

5X4X3=60.

(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種

菜中選1種，也有5種選法；

最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.

按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

5X5X5=125.

二、排列數(shù)與排列數(shù)公式

1.排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不同排列的企

數(shù),叫做

從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號A*表示.

2.排列數(shù)公式:A?二n(nT)(n-2)…(n-m+l)=—這里m,nGN*,并且mWn.

3,全排列和階乘:n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全

排列.這時,排列數(shù)公式中m=n,即有A：=n(nT)列-2)X…X3義2X1.也就是

說,將n個不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整

數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用足表示.于是,n個元素的全排列數(shù)公式

可以寫成A任星.另外,我們規(guī)定,0!=1.

問題3.你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別？

“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素

中取出m(mWn)個元素,按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù),而是具體

的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不

同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).

例3.計算：(1)A|；(2)A1；(3用；(4)AaxA,.

A4

解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得

(1)=7x6x5=210；

(2)=7x6x5x4=840；

(3)與=-=7x6x5=210；

A：4!

(4)A[xA,=6x5x4x3x2xl=720.

由例3可以看出，第=三；A：xAl=6!=A1,即A[=悟=?；

A44!AoN!

觀察這兩個結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？

事實上,

A?-n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

n(n—l)(n—2)...(n—m+l)(n—m)...x2x1

(n—m)x...x2x1

_A：_n!即Am_n!

11

_AR：?—(n-m)!八-(n_m)!

例4.用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

分析：在0~9這10個數(shù)字中，因為0不能在百位上，而其他9個數(shù)字可以

在任意數(shù)位上，因此0是一個特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的

位置入手來考慮問題。

解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0,所以可以分兩步完成：

第1步，確定百位上的數(shù)字可以從1'9這9個數(shù)字中取出1個，有A3種取法

;第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)中取2個，有

種取法；如圖

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為AaXAg=9X9X8=648.

百位十位個位

￡種8種

解法2：如圖，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不

是。的三位數(shù)，可以從廣9這9個數(shù)字中取出3個，有A：種取法；第2類，

個位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)中取出2個放在百位和十

位，有Ag種取法；第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個

數(shù)字中取出2個放在百位和個位，有配種取法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,所求

三位數(shù)的個數(shù)為第+A5+A1=9X8X7+9X8+9X8=648.

解法3：從0~9這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為A%,其中0在百位上的

排列數(shù)為Aj,它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個

數(shù)，

即所求三位數(shù)的個數(shù)為=10X9X8-9X8=648.

百位十位個位百位十位個位百位十位個位

00;

另種席種A；種

1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題

的目的是:希望通過對本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.

2.元素分析法最基本，位置分析法對重要元素區(qū)別對待，間接法對對立面比較

容易求解的題目特別實用.

跟蹤訓(xùn)練有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安

排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法？

解：（方法一分類法）分兩類：

第1類,化學(xué)被選上,有AgAg種不同的安排方法；

第2類，化學(xué)不被選上,有Ag種不同的安排方法.

故共有AaAg+Ag=300（種）不同的安排方法.

（方法二分步法）第1步,第四節(jié)有Ag種排法;第2步,其余三節(jié)有Ag種排法，

故共有AgAg=300（種）不同的安排方法.

（方法三間接法）從6門課程中選4門安排在上午,有A2種排法,而化學(xué)排第

四節(jié),有Ag種排法,故共有A2-Ag=300（種）不同的安排方法.

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種通過練習(xí)鞏固本

數(shù)為（）節(jié)所學(xué)知識，通

A.5B.10C.20D.60過學(xué)生解決問

解析:此問題相當(dāng)于從5個不同元素中取出2個元素的排列數(shù),即共有Al題，發(fā)展學(xué)生的

=20（種）不同的送書方法.數(shù)學(xué)運算、邏輯

答案:C推理、直觀想

2.設(shè)mdN*,且m<15,貝必%m=（）象、數(shù)學(xué)建模的

A.（20-m）（21-m）（22-m）（23-m）（24-m）（25-m）核心素養(yǎng)。

B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)

C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

解析：A%5是指從20-m開始依次連續(xù)的6個數(shù)相乘,即(20-m)(19-

m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).

答案:c

3.某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場，乙和

丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有()

A.24種B.144種C.48利?

D.96種

解析:第1步,先安排甲有A3種不同的演出順序;第2步,安排乙和丙有種

不同的演出順序;第3步,安排剩余的三個演員有A郛中不同的演出順序.根據(jù)

分步計數(shù)原理,共有A3A"：Ag=96(種)不同的演出順序.故選D.

答案:D

4.有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有_____種不同的

種法.

解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置,從8種不同的菜種中任選4

種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的

排列問題,所以不同的種法共有A3=8X7X6X5=1680(種).

答案：1680

5.用1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個?能被5整除的有多少個？

(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個？

解：⑴偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6,有A界中排法,其他位上有A看種排法，由

分步乘法計數(shù)原理,知共有四位偶數(shù)公■A然360(個)；能被5整除的數(shù)個位必

須是5,故有A行120(個).

(2)最高位上是7時大于6500,有A舒中,最高位上是6時,百位上只能是7或

5,故有2XAg種.由分類加法計數(shù)原理知,這些四位數(shù)中大于6500的共有

A>2XAg=160(個).

四、小結(jié)

無條件限通過總結(jié)，讓學(xué)

生牛的羽卜歹U

羽「歹！J的—

—概念

一行條件限生進(jìn)一步鞏固本

羽卜歹U制的月E歹U

與排—

外」數(shù)—化偷術(shù)?！旯?jié)所學(xué)內(nèi)容，提

—排歹U數(shù)—

公共

高概括能力。

【教學(xué)反思】

在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題（或困難、障礙）是綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理，產(chǎn)

生這一問題的原因是不能根據(jù)問題的特征選擇對應(yīng)的原理。要解決這一問題，就要要通過

典型的、學(xué)生比較熟悉的實例，經(jīng)過概括得出兩個計數(shù)原理，然后從單一到綜合的方式，

安排例題，其中關(guān)鍵是從單一到綜合，引導(dǎo)學(xué)生體會兩個計數(shù)原理的基本思想。

《6.2.1排列與排列數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念，能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.

2.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計算.

3.掌握有限制條件的排列應(yīng)用題的一些常用方法,并能運用排列的相關(guān)知識解一些簡單的排

列應(yīng)用題.

【重點與難點】

重點：理解排列的定義及排列數(shù)的計算

難點：運用排列解決計算問題

【知識梳理】

兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別

1.聯(lián)系:分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.

2.區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理

區(qū)別完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分

“分類”步”

每類辦法中的每種方法都能獨立地完除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)

區(qū)別成這件事,它是獨立的、一次的且每果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少

種方法得到的都是最后結(jié)果，只需一任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟

種方法就可完成這件事都完成了，才能完成這件事

區(qū)別各類辦法之間是互斥的、并列的、獨各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的，“關(guān)聯(lián)”確保

立的不遺漏，“獨立”確保不重復(fù)

一、排列的相關(guān)概念

1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m<n)個元素,并按照一定的皿排成一列，叫做

從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.

名師點析理解排列應(yīng)注意的問題

(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”.

(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.

二、排列數(shù)與排列數(shù)公式

1.排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做

從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號A；?表示.

2.排列數(shù)公式:A^=n(nT)(n-2)…(n-m+1)『這里叫nCN”,并且mWn.

3.全排列和階乘:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個元素的一個全排列.這時,排

列數(shù)公式中m=n,即有A"n(nT)(n-2)義…X3X2X1.也就是說,將n個不同的元素全部取

出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用武表

示.于是,n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成A/m止.另外,我們規(guī)定,0!=1.

1.下列問題中：

①10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本；

②10位同學(xué)互通一次電話；

③10位同學(xué)互通一封信；

?10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段.

屬于排列的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【學(xué)習(xí)過程】

一、問題探究

問題L從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活

動，另1名同學(xué)參加下午的活動.

如果把上面問題中被取出的對象叫做元素，則問題可敘述為：從3個不同的元素中任意取

出2個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？

問題2.從1,2,3,4這4個數(shù)字中選出3個能構(gòu)成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

同樣，問題2可以歸結(jié)為：

從4個不同的元素a,b,c,d中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的

排列方法？

問題3.你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別？

二、典例解析

例L某省中學(xué)足球隊賽預(yù)選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場

分別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？

例2.(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有

多少種不同的取法？

(2)學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種

不同的選法？

例3.計算：⑴A；；(2)A>(3)條(4)A2xA孑.

A4

例4.用0~9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題的目的是:希望

通過對本題的感悟，能掌握更多的解決這類問題的方法.

2.元素分析法最基本，位置分析法對重要元素區(qū)別對待，間接法對對立面比較容易求解的題

目特別實用.

跟蹤訓(xùn)練有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4

節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法？

【達(dá)標(biāo)檢測】

1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種數(shù)為()

A.5B.10C.20D.60

2.設(shè)mGN?，且水15,則A“m=()

A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)

B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)

C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

3.某次演出共有6位演員參加，規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場，乙和丙必須排在相

鄰的順序出場，不同的演出順序共有()

A.24種B.144種C.48種D.96種

4.有8種不同的菜種，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有種不同的種法.

5.用1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個?能被5整除的有多少個？

(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個？

【課堂小結(jié)】

【參考答案】

知識梳理

1.解析：由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.

答案:B

學(xué)習(xí)過程

一、問題探究

問題L分析：要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動，1名參加上午的活動，另1

名參加下午的活動”，可以分兩個步驟：

第1步，確定上午的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；

第2步，確定下午的同學(xué)，只能從剩下的2人中去選，有一2種選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為3X2=6.

相應(yīng)的選法

甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙

問題2.分析：從4個數(shù)中每次取出三個按“百位、十位、個位”的順序排成一列，就得

到一個三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)，可以分三個步驟解

決：

第1步，確定百位上的數(shù)字，從1、2、3、4這4個數(shù)中任取一個，有4種方法；

第2步，確定十位上的數(shù)字，只能從余下的3個數(shù)字中取，有3種方法；

第3步，確定個位上的數(shù)字，只能從余下的2個數(shù)字中取，有2種方法；

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從1、2、3、4這4個不同的數(shù)字中，每次取出3個數(shù)字，按百

位、十位、個位的順序排成一列，不同的排列方法為4X3X2=24

因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖所示

同樣，問題2可以歸結(jié)為：

從4個不同的元素a,b,c,d中任意取出3個，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的

排列方法？

abc,abd,acb,acd,adb,adc,

bac,bad,bca,bed,bda,bdc,

cab,cad,cba,cbd,eda,cbd,

dab,dac,dba,dbc,dca,deb,

不同的排列方法為4X3X2=24

上述問題1,2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？

問題3.“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素中取出

m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事.“排列數(shù)”

是指“從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).

二、典例解析

例1.分析：每組任意2支隊之間進(jìn)行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選取2

支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列.

解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊.

按分步乘法計數(shù)原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為

6X5=30.

例2.分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤,

放在3個位置(給3名同學(xué))的一個排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1

種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.

解：(1)可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)

乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

5X4X3=60.

(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也

有5種選法；最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.

按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

5X5X5=125.

問題3.“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素中取出

m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事.“排列數(shù)”

是指“從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).

例3.解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得

(1)=7x6x5=210；

(2)=7x6x5x4=840；

⑶曰=^=7x6x5=210；

AJ4!

(4)A|xA|=6x5x4x3x2xl=720.

由例3可以看出，悟AtxA|=6!=A1,即

A44!AoN!

觀察這兩個結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？

事實上，

A?=n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

n(n—l)(n—2)...(n—m+l)(n—m)...x2x1

(n-m)x...x2x1

1

_-(n-m)IAn-(n_m)!

例4.分析：在0~9這10個數(shù)字中，因為0不能在百位上，而其他9個數(shù)字可以在任意數(shù)

位上，因此0是一個特殊的元素。一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題。

解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0,所以可以分兩步完成：

第1步，確定百位上的數(shù)字可以從P9這9個數(shù)字中取出1個，有A3種取法；第2步，確

定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)中取2個，有A5種取法：如圖

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為解XA5=9X9X8=648.

百位十位個位

解法2：如圖，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)

,可以從1、9這9個數(shù)字中取出3個，有Ag種取法；第2類，個位上的數(shù)字是。的三位數(shù)

,可以從剩下的9個數(shù)中取出2個放在百位和十位，有A5種取法；第3類，十位上的數(shù)字

是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和個位，有種取法.根據(jù)分

類加法計數(shù)原理,所求三位數(shù)的個數(shù)為Ag++A1=9X8X7+9X8+9X8=648.

解法3：從0~9這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為A",其中0在百位上的排列數(shù)為AM

它們的差就是用這10個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，

即所求三位數(shù)的個數(shù)為A：o-A5=10X9X8-9X8=648.

百位十位個位百位十位個位百位十位個位

I

用種種

L此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題的目的是:希望

通過對本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.

2.元素分析法最基本，位置分析法對重要元素區(qū)別對待，間接法對對立面比較容易求解的題

目特別實用.

跟蹤訓(xùn)練解：（方法一分類法）分兩類：

第1類,化學(xué)被選上,有種不同的安排方法；

第2類，化學(xué)不被選上,有AW種不同的安排方法.

故共有+Ag=300（種）不同的安排方法.

（方法二分步法）第1步，第四節(jié)有A&種排法;第2步,其余三節(jié)有Ag種排法,故共有

AgA新300（種）不同的安排方法.

（方法三間接法）從6門課程中選4門安排在上午,有A打中排法,而化學(xué)排第四節(jié),有Ag種

排法,故共有A2-Al=300（種）不同的安排方法.

達(dá)標(biāo)槍測

1.解析:此問題相當(dāng)于從5個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即共有=20（種）不同

的送書方法.

答案:C

2.解析：A酎.m是指從20-m開始依次連續(xù)的6個數(shù)相乘,即（20-m）（19-m）（18-m）（17-

m）（16-m）（15-m）.

答案:C

3.解析:第1步,先安排甲有A,種不同的演出順序;第2步,安排乙和丙有A簫奸中不同的演出

順序;第3步,安排剩余的三個演員有A舒中不同的演出順序.根據(jù)分步計數(shù)原理,共有

A/A5A；Ag=96（種）不同的演出順序.故選D.

答案:D

4.解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊

不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題,所以不同的種法

共有A鼻=8X7X6*5=1680（種）.

答案：1680

5.解：（1）偶數(shù)的個位數(shù)只能是2、4、6,有Ag種排法，其他位上有A&種排法，由分步乘法計數(shù)

原理,知共有四位偶數(shù)Ag-A需=360（個）；能被5整除的數(shù)個位必須是5,故有A^120（個）.

（2）最高位上是7時大于6500,有.A1種,最高位上是6時,百位上只能是7或5,故有2XAj

種.由分類加法計數(shù)原理知,這些四位數(shù)中大于6500的共有A>2XAg=160（個）.

《6.2.1排列與排列數(shù)》基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.下列問題中屬于排列問題的是（）.

A.從10個人中選出2人去勞動

B.從1（）個人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽

C.從班級內(nèi)30名男生中選出5人組成一個籃球隊

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個不同的數(shù)做10g”人中的底數(shù)與真數(shù)

2.89x90x91x……xlOO可表示為（）

A.A。。B.Ao。C.Ai。。D.A?

3.已知羯x=100A：,貝ijx=（）.

A.11B.12C.13D.14

4.某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩

首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后

六場開場詩詞的排法有（）

A.72種B.48種C.36種D.24種

5.（多選題）5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是

（）

A.B.60C.72D.

6.（多選題）對于正整數(shù)"，定義“〃!！”如下：當(dāng)〃為偶數(shù)時，

n!!=n-（H-2）-（n-4）---6-4-2；當(dāng)”為奇數(shù)時，=1；貝?。?/p>

下列命題中正確的是（）

A.（2021!!＞（2020!!）=2021!B.2004!!=21002.1002!

C.2020!!的個位數(shù)是0D.2005!!的個位數(shù)是5

二、填空題

7.5閥+4A：=.

8.用數(shù)字1,2,3,4,6可以組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有個.（用數(shù)字作答）

9.省實驗中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個檢查項

目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)校現(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了

避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有種安排方式.（用數(shù)字

作答）

10.某年級舉辦線上小型音樂會，由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排

在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個，則該小型音樂會節(jié)目演出順序的編排方案共

有一種.（用數(shù)字作答）

三、解答題

11.(1)解不等式A；＜6A.2

(2)解方程A)[=140A)

12.一場小型晚會有3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單.

(1)2個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

(2)第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？

(3)前3個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？

答案解析

一、選擇題

1.下列問題中屬于排列問題的是().

A.從1()個人中選出2人去勞動

B.從10個人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽

C.從班級內(nèi)30名男生中選出5人組成一個籃球隊

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個不同的數(shù)做log,"中的底數(shù)與真數(shù)

【答案】D

【詳解】A.從1()個人中選出2人去勞動，與順序無關(guān)，故錯誤；

B.從10個人中選出2人去參加數(shù)學(xué)競賽，與順序無關(guān)，故錯誤；

C.從班級內(nèi)30名男生中選出5人組成一個籃球隊，與順序無關(guān)，故錯誤；

D.從數(shù)字5、6、7、8中任取2個不同的數(shù)做log,8中的底數(shù)與真數(shù)，底數(shù)與真數(shù)位置不

同，即與順序有關(guān)，故正確；故選：D

2.89x90x91x……xlOO可表示為()

A.AooB.Ao。C.D.A向

【答案】C

【詳解】瑞=100x99xLx(100-12+l)=100x99xLx89.

3.已知￡X=100A；,則》=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【詳解】成=1()()A；=>2x.(2x-l>(2x-2)=l()()x.(x-1),貝ij

2x-(2x-l)-2(x-l)=100x-(%-l),

約分得：2x-l=25,解得：x=13,經(jīng)檢驗滿足題意.

4.某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋瞑》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩

首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后

六場開場詩詞的排法有()

A.72種B.48種C.36種D.24種

【答案】C

【詳解】首先可將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列，

共有用=6種排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在3個空里(最后一

個空不排)，共有#=6種排法，則后六場開場詩詞的排法有6x6=36種，故選：C.

5.(多選題)5人并排站成一行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)可以是

()

A.B.60C.72I).

【答案】AC

【詳解】先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共用=3X2X1=6種不同的排法，再將

甲、乙兩人從產(chǎn)生的4個空中選2個插入共用=12種不同的排法，所以5人并排站成一

行，如果甲、乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是=6X12=72,故選：AC.

6.(多選題)對于正整數(shù)〃，定義“〃!！”如下：當(dāng)”為偶數(shù)時，

〃!!=〃-(〃-2>(〃一4>一6—4-2；當(dāng)“為奇數(shù)時，n!!=n-(/?-2)-(n-4)---5-3-1；貝i|

下列命題中正確的是()

A.(2021!!)-(2020!!)=2021!B.2004!!=21002.1002!

C.202()!!的個位數(shù)是0D.2005!!的個位數(shù)是5

【答案】ABCD

［詳解］A.（2021!!）.（2020!!）=2021!,正確；B.

2004!!=2004x2002x--.10x8x6x4x2=21002-1002!,正確；

C.2020!!=2020x2（）18x--10x8x6x4x2的個位數(shù)是0,正確；D.

2005!!=2005x2003x…x9x7x5x3xl的個位數(shù)是5；正確的是ABCD.

二、填空題

7.58+4A：=

【答案】348

【詳解】5&+4A：=5x5x4x3+4x4x3=348.

8.數(shù)字1,2,3,4,6可以組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)有個.（用數(shù)字作答）

【答案】72

【詳解】滿足條件的五位偶數(shù)有：=3x4x3x2x1=72.

9.省實驗中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個檢查項

目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了

避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有種安排方式.（用數(shù)字

作答）

【答案】24

【詳解】6間空教室，有3個空教室不使用，故可把作為檢查項目的教室插入3個不使用

的教室之間，故所有不同的安排方式的總數(shù)為短=24.

10.某年級舉辦線上小型音樂會，由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排

在前兩位，節(jié)目丙必須排在節(jié)目乙的下一個，則該小型音樂會節(jié)目演出順序的編排方案共

有種.（用數(shù)字作答）

【答案】42

【詳解】由題意知，甲的位置影響乙的排列，

①甲排在第一位共有=24種，②甲排在第二位共有=18種，

二故編排方案共有24+18=42種.故答案為：42.

三、解答題

11.(1)解不等式A；<6A；2.

(2)解方程A)[=140A：.

【答案】⑴8(2)3

,8!/8!

【解析】⑴由A；<6A「，得而

化簡得X?—19x+84<0,解之得7<x<12,①

又'???2<xW8,②

*—2>0,

由①②及xGN*得x=8.

2x+l>4,

(2)因為《.所以x23,xeN*，

x>3,

由A>]=140A：得(2x+1)2x(2x—1)(2x—2)—140x(x—1)(x—2).

23

化簡得，4x'—35x+69=0,解得Xi=3,x2=(舍去).

所以方程的解為x=3.

12.一場小型晚會有3個唱歌節(jié)目和2個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單.

(1)2個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

(2)第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？

(3)前3個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？

【詳解