初中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)15：乘法公式

初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)(15)

乘法公式

一、內(nèi)容提要

乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。

公式中的每一個字母，一般可以表示數(shù)字、單項式、多項式，有的還可以推廣到分式、

根式。

公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用(乘法展開)，還可以由右到左逆用(因式分解)，還

要記住一些重要的變形及其逆運算一一除法等。

基本公式就是最常用、最基磁的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+f,

平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2

立方和(差)公式：(a土b)(a?干ab+b2)=a3±t>3

3.公式的推廣：

多項式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多項式平方等于各項平方和加上每兩項積的2倍。

二項式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab?土I?

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)

(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5)

注意觀察右邊展開式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律

由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

(a+b)(a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4

(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6

注意觀察左邊第二個因式的項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號的規(guī)律

在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè)n為正整數(shù)

(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n_3b2---1-ab2n-2-b2n_1)=a2n-b2n

(a+b)(a2n-a2n_1b+a2n_2b2-----ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+I

類似地：

(a—b)(a11l+all-2b+an3b2+"-+abn2+bn')=an—bn

公式的變形及其逆運算

由(a+b)2=a2+2ab+b?得a2+b2=(a+b)2—2ab

由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b)

由公式的推廣③可知：當(dāng)n為正整數(shù)時

a。一9能被a-b整除，

a2n+l+b2n+l能被a+b整除，

22」62。能被2+1,及2—1)整除。

二、例題

例1.己知x+y=axy=b

求①x2+y2②x3+y3③x'+y，?x5+y5

解：@x2+y2=(x+y)2—2xy=a2—2b

②x3+y3=(x+y/—3xy(x+y)=a3—3ab

(§)x4+y4=(x+y)4—4xy(x2+y2)—6x2y2=a4—4a2b+2b2

④x$+y5=(x+y)(x4—x3y+x2y2—xy3+y4)

=(x+y)[x4+y4—xy(x2+y2)+x2y2]

=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]

=a5-5a3b+5ab2

例2.求證：四個速續(xù)整數(shù)的積加上1的和，一定是整數(shù)的平方。

證明：設(shè)這四個數(shù)分別為a,a+l,a+2,a+3(a為整數(shù))

a(a+l)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+l)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

=(a2+3a)2+2(a2+3a)+l=(a2+3a+1)2

Ya是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù)

.,.a2+3a+l是整數(shù)證畢

例3.求證：2222+31能被7整除

證明：2222+3”】=(22)|11+3111=4|11+3111

根據(jù)a2n+「b2e能被a+b整除，(見內(nèi)容提要4)

.?.4IU+3E能被4+3整除

???2222+3川能被7整除

例4.由完全平方公式推導(dǎo)“個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計算規(guī)律解：

(1Oa+5)2=100a2+2XIOaX5+25=1OOa(a+1)+25

???"個位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點是：幕的末兩位數(shù)字是底數(shù)個位數(shù)字5

的平方，某的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積。

如：6=225塞的百位上的數(shù)字2=1X2),25?=625(6=2X3),

352=1225(12=3X4)452=2025(20=4X5)

三、練習(xí)15

1.填空:

@a2+b2=(a+b)2_②(a+b)2=(a—b)2+___

@a3+b3=(a+b)3-3ab(—)?a4+b4=(a2+b2)2-

，⑤a5+b5=(a+b)(a4+t)4)—@a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)-

2.填空：

?(x+y)()=x4—y4②(x-y)()=x4—y4

③(x+y)()=x5+y5(4)(x—y)()=x5—y5

3.計算:

①552=②6$2=③75?=④852=⑤95?=

4.計算下列各題，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律

⑥11X19=⑦22X28=⑧34X36=⑨43X47=⑩76X74=

5..已知X+，=3,求①x2+[②X3+A③X4+A的值

XXX

6.化簡：①(a+b)2(a—b)2

(§)(a+b)(a2—ab+b2)

③(a—b)((a+b)3—2ab(a2—b2)

④(a+b+c)(a+b—c)(a—b+c)(—a+b+c)

7.己知a+b=l,求證：a3+b3—3ab=l

8.己知a2=a+l,求代數(shù)式a5—5a+2的值

9求證:233+1能被9整除

10.求證：兩個連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個數(shù)的和等于較大的數(shù)

的平方

11.如圖三個小圓圓心都在大圓的直徑上，它們一一

的直徑分別是a,b,c/\

①求證：三個小圓周長的和等于大圓的周長片

②求：大圓面積減去三個小圓面積和的差。卜—4廿卡C

練習(xí)15參考答案：

4.十位上的數(shù)字相同，個位數(shù)的和為10的兩個兩位數(shù)相乘，其積的末兩位數(shù)是兩個個位

數(shù)字的積，積的百位以上的數(shù)是，原十位上數(shù)字乘上比它大1的數(shù)的積

10.n(n+1)+(n+1)=(n+1)2

11.①可證明3個小圓周長的和減去大圓周長，其差等于0

②一(ab+ac+bc)

2

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率現(xiàn)在量

=原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積X高=S?h=^r2h

②長方體的體積丫=長><寬義高=abc

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟問題

(1)商品利潤=商品售價一商品成本價(2)商品利潤率=

商品利潤

X100%

商品成本價

(3)商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

(4)商品的銷售利潤=(銷售價一成本價)義銷售量

(5)商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路

程小時間

(1)相遇問題：快行距+慢行距=原距

(2)追及問題：快行距一慢行距=原距

(3)航行問題：順?biāo)?風(fēng))速度=靜水(風(fēng))速度+水流(風(fēng))

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率X工作時間

完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=每個期的利息X100%利息=本金義利率義期數(shù)

本金

實際問題與二元一次方程組題型歸納（練習(xí)題答案）

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，

那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出

發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時，依題意得：

（2.5+2）x+2.5y=36

3x+（3+2）y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用

20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時，則水流速度y千米/小時，有：

20（x-y）=280

14（x+y）=280

解得：x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若

只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的x和y,則

'1X=—

￡得，10故1-2-=10（周）11+工=15周

“c,11015

,4x+9,=ly=—

即甲、乙完成這項工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元則

'_3

（6a+6b=5.2a~§[10a=6（萬元）

l得,此時|'一^一

14a+96=4.8_411%=4②兀）

,15

比較知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題

【變式1]（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2】某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價

如下表：

AB

進價（元/件）12001000

售價（元/件）13801200

（注：獲利=售價一進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購進A的數(shù)量為x件、購進B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲蓄問題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共

存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行

年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的爸

爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500?

答：略。

類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與

兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個，盒底22y個

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2]某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品,

每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人，生產(chǎn)螺母的工人為v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3]一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少

張方桌？

解：設(shè)用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5.........................(1)

50X：300Y=1：4.......................(2)

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類型六：列二元一次方程組解決一一增長率問題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬人，農(nóng)村人口有28萬人。

類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽比

紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有丫人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題

【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是x,個位數(shù)是y,則這個數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1(2)

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個兩位數(shù)是56

【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)？

解：設(shè)個位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：X=9,Y=4

這個數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減b個位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列,

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即:X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2]一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40F克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長

邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長方形的長寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得：x=15,y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m,它的周長是132m,則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為XIE，寬為則

⑵+10=xly=y

所以寬和長分別為竽m、-y-m.

類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題:

【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號的電視機，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。

(1)若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機50臺，用去9萬元，請你研究一下商

場的進貨方案；

(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進貨方案？

解：（1）分情況計算：設(shè)購進甲種電視機X臺,乙種電視機y臺，丙種電視機Z臺.

x-Fjr=50,r=25,

{】500x+2100y=90000解得b=25.

x+z=50,x=35,

{】500日2500,=90000一解得&=15一

jy+z=50,b=875

（IQ）購進乙、丙兩種電視機1210°"2500z=90000解得-375（不合實際，舍去）

故商場進貨方案為購進甲種25臺和乙種25臺；或購進甲種35臺和丙種15臺.

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（II）,獲利150x35+250xl5=9000（元）.

，選擇購進甲種35臺和丙種15臺.

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

3.將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的

水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到

0.1毫米,14）.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.已知每加工一個甲種零件可獲利16元,

每加工一個乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加

工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過

部分按基本電價的70%收費.

(1)某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費是

多少元？

8.某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機.已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號

的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元.

(1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下

商場的進貨方案.

(2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，

銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷

售時獲利最多，你選擇哪種方案？

答案

1.解：設(shè)甲、乙一起做還需x小時才能完成工作.

根據(jù)題意，得一X—+(--1--)X-1

6264

解這個方程，得乂=”

y=2小時12分

答：甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作.

2.解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，

則x年后兄的年齡是15+x,弟的年齡是9+x.

由題意，得2X(9+x)=15+x

18+2x=15+x,2x-x=15-18

x=-3

答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍.

(點撥：-3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點前的3年，是與3年后

具有相反意義的量)

3.解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得

7T?(——200)\2=300X300X80

2

X心229.3

答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米.

4.解：設(shè)第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為(2x-50)米，過完第一鐵橋所需的

過完第二鐵橋所需的時間為丁2r—手50分.依題意，可列出方程-v^7+—5=2"r——5?0