測試課后答案

1-4求符號函數(shù)（見圖l-25a）和單位階躍函數(shù)（見圖l-25b）的

頻譜。

sgn(r)

1

0

-1

a）符號函數(shù)

圖1-25題1-4圖

a）符號函數(shù)的頻譜

+1t>0

X0=sgn⑺=<

-1t<0

仁0處可不予定義，或規(guī)定sgn（0）=0o

該信號不滿意肯定可積條件，不能直接求解，但傅里葉變

換存在。

可以借助于雙邊指數(shù)衰減信號與符號函數(shù)相乘，這樣便滿

意傅里葉變換的條件。先求此乘積信號％i（t）的頻譜，然后取

極限得出符號函數(shù)無⑺的頻譜。

e-a,t>0

Xi?)=e-"sgn(f)=<

—e"t<0

x")=sgn。)=lim玉⑺

'?—>0

X（/）=￡不"Q—而篝分

^(/)=F[sgn(z)]=limX1(/)=-j-y

b)階躍函數(shù)頻譜

1r>0

0t<0

在跳變點仁0處函數(shù)值未定義，或規(guī)定〃(0)=1/2。

階躍信號不滿意肯定可積條件，但卻存在傅里葉變換。由

于不滿意肯定可積條件，不能直接求其傅里葉變換，可采納

如下方法求解。

解法1:采用符號函數(shù)

?(,r)、=-1+-s1gn(,r)、

U(/)=F[?(/)]=F-+-F[sgn(z)]=-^(/)+--J—=-8(f)-J—

L2」22217Tjj27TJ

結(jié)果表明，單位階躍信號MQ)的頻譜在戶0處存在一個沖

激重量，這是由于〃⑺含有直流重量，在預(yù)料之中。同時，

由于M⑺不是純直流信號，在仁0處有跳變，因此在頻譜中

解法2：采用沖激函數(shù)

(?/flt>OB寸

[0/<0H寸

依據(jù)傅里葉變換的積分特性

U(f)=F[f^(r)drl=—A(/)+1A(0W)=13⑺-金

JJ2TTJ22[_KJ

1-6求指數(shù)衰減信號x(f)=4sing/的頻譜

指數(shù)衰減信號

解答:

sin（6V）=：（e"R—/麗）

所以刈口5省_e-W

單邊指數(shù)衰減信號西⑺=e-a\a>0j>0）的頻譜密度函數(shù)為

Jma,jm,

XI（/）=「x（t\e-'dt=ie-e-dt=」一=1一叱

J-0°J。a+jo）a+co

依據(jù)頻移特性和疊加性得:

（0/）a—/（?+4）

X（啰）=萬［X|（<y-%）_X］（<y+例））］=：。一，一

a~+（G—4）-。~+（69+4）-

1-7設(shè)有一時間函數(shù)用)及其頻譜如圖1-27所示?，F(xiàn)乘以余

弦型振蕩C0S(W(/3O在這個關(guān)系中，函數(shù)五。叫做調(diào)制信

號，余弦振蕩cosgr叫做載波。試求調(diào)幅信號/⑺cos卬的傅里

葉變換，示意畫出調(diào)幅信號及其頻譜。又問：若時將

會消失什么狀況？

圖1-27題1-7圖

解:X(t)=f(t)cos(co0t)

COS(例/)=；卜""'+)

所以x(f)=；Kt)e網(wǎng)+1f⑴e*

依據(jù)頻移特性和疊加性得：

X(7)=g尸(0-礫)+gF(0+g)

可見調(diào)幅信號的頻譜等于將調(diào)制信號的頻譜一分為二，各

向左右移動載頻①0，同時譜線高度減小一半。

矩形調(diào)幅信號頻譜

若①o<①,"將發(fā)生混疊。

4-12若將高、低通網(wǎng)絡(luò)直接串聯(lián)(見圖4-46),問是否能組

成帶通濾波器？請寫出網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，并分析其幅、相頻

率特性。

Ric，zzEU“⑴

o___-L—~丁___o

圖4-46題4-12圖

解：“(S)

2

T}T2S+(r,+r2+r3)5+1

T\-R\C\,T2=R2c2,T3=R1C2

九①

(

H(o)2

-r,r2?y+y(r1+r2+r3)cy+l

“、T\(O

A(G)=/2

22

^(l-r,r26y)-+[(r,+r2+r3)<y]

,、l-T,r,C92

(p{co)=arctan----------

(4+和+匯3)口

A(0)=0,以0)=兀/2；A(oo)=0,a00)=-兀/2,可以組成帶通濾

波器，如下圖所示。

8(

)P

u

p

m

s

w

&

(D

)P

U

S

B

q

d

解法1:按方波分段積分直接計算。

R"=yJ：+r)dt=yJ：x(t-r)y(t)dt

=—sin（GC）

7T

解法2：將方波y⑺綻開成三角級數(shù)，其基波與％⑺同頻相關(guān),

而三次以上諧波與不同頻不相關(guān)，不必計算，所以只需

計算y⑺的基波與的相互關(guān)函數(shù)即可。

/、4r1,1u）

y（，）=——coscot——cos3cot+-cos5cot-.......

TC\35）

1cT1cT

&、??)=-L+切出=-Jsin(m)COS(m+CDT)dt

/WU/WU

=--g卜山(0+M+COT)+sin(Gf-CDt-a)T)\dt

所以

=一一sin(20f+0匯)力一J。sin(Gt)力

=---[0-Tsin(a)T)]=—sin(67r)

7rT71

解法3：直接按RM力定義式計算（參看下圖）。

勺(7)=:，加方”+工)小

]I-T衛(wèi)一丁T

=—『