2024屆北京市第101中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆北京市第101中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是的概率是（）A． B． C． D．2．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)3．某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,為調(diào)查身體健康狀況,需要從中抽取一個(gè)容量為m的樣本，用分層抽樣方法抽取進(jìn)行調(diào)查，樣本中的中年人為6人,則a和m的值不可以是下列四個(gè)選項(xiàng)中的哪組（）A．a(chǎn)=810,m=17 B．a(chǎn)=450,m=14C．a(chǎn)=720,m=16 D．a(chǎn)=360,m=124．設(shè)某曲線上一動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該曲線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為等線段的中點(diǎn)，則（）A．6 B．10 C．12 D．145．設(shè)是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是A．若與共面，則與共面B．若與是異面直線，則與是異面直線C．若==，則D．若==，則=6．是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角7．如果點(diǎn)位于第四象限，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角8．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，,則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．9．設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的斜率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某貨船在處看燈塔在北偏東方向，它以每小時(shí)18海里的速度向正北方向航行，經(jīng)過40分鐘到達(dá)處，看到燈塔在北偏東方向，此時(shí)貨船到燈塔的距離為______海里.12．給出下列四個(gè)命題：①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②若函數(shù)，則對任意的實(shí)數(shù)都有；③函數(shù)的最小正周期是；④與的圖象相同.以上四個(gè)命題中正確的有_________（填寫所有正確命題的序號）13．已知函數(shù)那么的值為．14．已知點(diǎn)，，若向量，則向量______.15．已知向量，，且，則_______．16．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值時(shí)的值18．已知、、是銳角中、、的對邊，是的面積，若，，．（1）求；（2）求邊長的長度．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上（1）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：（2）若的面積為10，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2，（注：利潤與投資單位：萬元）（1）分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式；（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）.21．已知，.(1)求的值；(2)若，均為銳角，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

分別計(jì)算出所有可能的結(jié)果和點(diǎn)數(shù)之和為的所有結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【題目詳解】同時(shí)擲兩個(gè)骰子，共有種結(jié)果其中點(diǎn)數(shù)之和是的共有：，共種結(jié)果點(diǎn)數(shù)之和是的概率為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型問題中的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確計(jì)算出總體基本事件個(gè)數(shù)和符合題意的基本事件個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長趨勢，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【題目詳解】對于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的規(guī)律，計(jì)算a和m的關(guān)系為：8+a【題目詳解】某單位共有老年人180人,中年人540人,青年人a人,樣本中的中年人為6人，則老年人為：180×6540=22+6+代入選項(xiàng)計(jì)算，B不符合故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、B【解題分析】由曲線上一動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等知該曲線為拋物線，其方程為，分別過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，由梯形的中位線定理知,所以，故選B.5、D【解題分析】

由空間四點(diǎn)共面的判斷可是A,B正確，；C,D畫出圖形，可以判定AD與BC不一定相等，證明BC與AD一定垂直．【題目詳解】對于選項(xiàng)A，若與共面，則與共面，正確；對于選項(xiàng)B，若與是異面直線，則四點(diǎn)不共面，則與是異面直線，正確；如圖，空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，則AD與BC不一定相等，∴D錯(cuò)誤；對于C,當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)顯然成立，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，取BC的中點(diǎn)M，連接AM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正確；【題目點(diǎn)撥】本題通過命題真假的判定，考查了空間中的直線共面與異面以及垂直問題，是綜合題．6、C【解題分析】

由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，即可得到答案．【題目詳解】由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了象限角的表示和終邊相同角的表示，其中解答中熟記終邊相同角的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

由點(diǎn)位于第四象限列不等式，即可判斷的正負(fù)，問題得解.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)位于第四象限所以，所以所以角是第三象限角故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的位置的關(guān)系，還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及三角函數(shù)值的正負(fù)與角的終邊的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)求出原圖形,再分析繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積即可.【題目詳解】根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)可知,原是以為底,高為的等腰三角形.又.故為邊長為2的正三角形.則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體可看做兩個(gè)以底面半徑為,高為的圓錐組合而成.故表面積為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了斜二測畫法還原幾何圖形與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積求解.需要根據(jù)題意判斷出旋轉(zhuǎn)后的幾何體形狀再用公式求解.屬于中檔題.9、C【解題分析】

畫出長方體，按照選項(xiàng)的內(nèi)容在長方體中找到相應(yīng)的情況，即可得到答案【題目詳解】對于選項(xiàng)A，在長方體中，任何一條棱都和它相對的兩個(gè)平面平行，但這兩個(gè)平面相交，所以A不正確；對于選項(xiàng)B，若，分別是長方體的上、下底面，在下底面所在平面中任選一條直線，都有，但，所以B不正確；對于選項(xiàng)D，在長方體中，令下底面為，左邊側(cè)面為，此時(shí)，在右邊側(cè)面中取一條對角線，則，但與不垂直，所以D不正確；對于選項(xiàng)C，設(shè)平面，且，因?yàn)椋?，又，所以，又，所以，所以C正確.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，屬于簡單題10、A【解題分析】

直接代入兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得出答案?！绢}目詳解】故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題意利用方位角的定義畫出示意圖，再利用三角形，解出的長度．【題目詳解】解：由題意畫出圖形為：因?yàn)?，，所以，又由于某船以每小時(shí)18海里的速度向正北方向航行，經(jīng)過40分鐘航行到，所以（海里）．在中，利用正弦定理得：，所以；故答案為：．【題目點(diǎn)撥】此題考查了學(xué)生對于題意的正確理解，還考查了利用正弦定理求解三角形及學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、②③④【解題分析】

①利用反例證明命題錯(cuò)誤；②先判斷為其中一條對稱軸；③通過恒等變換化成；④對兩個(gè)解析式進(jìn)行變形，得到定義域和對應(yīng)關(guān)系均一樣.【題目詳解】對①，當(dāng)，顯然，但，所以，不符合增函數(shù)的定義，故①錯(cuò)；對②，當(dāng)時(shí)，，所以為的一條對稱軸，當(dāng)取，取時(shí)，顯然兩個(gè)數(shù)關(guān)于直線對稱，所以，即成立，故②對；對③，，，故③對；對④，因?yàn)椋?，兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，解析式均為，所以函數(shù)圖象相同，故④對.綜上所述，故填：②③④.【題目點(diǎn)撥】本題對三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、周期性等知識進(jìn)行綜合考查，求解過程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.13、【解題分析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)所以==．考點(diǎn)：本題主要考查分段函數(shù)的概念，計(jì)算三角函數(shù)值．點(diǎn)評：基礎(chǔ)題，理解分段函數(shù)的概念，代入計(jì)算．14、【解題分析】

通過向量的加減運(yùn)算即可得到答案.【題目詳解】，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的基本運(yùn)算，難度很小.15、-2或3【解題分析】

用坐標(biāo)表示向量，然后根據(jù)垂直關(guān)系得到坐標(biāo)運(yùn)算關(guān)系，求出結(jié)果.【題目詳解】由題意得：或本題正確結(jié)果：或【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【題目詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.【解題分析】

（1）將代入函數(shù)計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)為，當(dāng)時(shí)取最小值.【題目詳解】(1)(2)由可得，故函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)取得最小值.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算，三角函數(shù)的最小值，將三角函數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三角形的面積公式結(jié)合為銳角可求出的值；（2）利用余弦定理可求出邊長的長度．【題目詳解】（1）由三角形的面積公式可得，得.為銳角，因此，；（2）由余弦定理得，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角形的面積公式求角，同時(shí)也考查了利用余弦定理求三角形的邊長，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)；(2)或【解題分析】

（1）利用兩直線垂直，斜率之積為-1進(jìn)行求解（2）將三角形的面積問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解【題目詳解】（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，直線AB的斜率；因?yàn)?，所以直線PB存在斜率且，即，解得；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，P到直線AB的距離為d；由已知，直線AB的方程為；的面積．得，即，解得或；所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【題目點(diǎn)撥】兩直線垂直的斜率關(guān)系為；已知兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，距離公式為；三角形面積問題，?？赊D(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.20、（1）為，為；（2）產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，最大利潤為4萬元【解題分析】

（1）根據(jù)題意給出的函數(shù)模型，設(shè)；代入圖中數(shù)據(jù)求得既得，注意自變量；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元.，列出利潤函數(shù)為，用換元法，設(shè)，變化為二次函數(shù)可求得利潤的最大值．【題目詳解】解：（1）設(shè)投資為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元由題設(shè)知；由圖1知，由圖2知，則，.（2）設(shè)產(chǎn)品