廣東惠東2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）

k-2-H

齡雙99

10118

A.3B.—C.—D.-

333

2.設(shè)a,為兩個平面，則a〃/?的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與/?平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與“平行

C.a,“平行于同一條直線

D.a,/垂直于同一平面

/7

3.已知水平放置的AA3C是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B'O'=C'O'=1,A'O'=—,那么原AABC

2

的面積是（）

A.乖＞B.20

CD.B

24

4.馬林?梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道土，也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)

馬等人研究的基礎(chǔ)上對作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2「-1

（其中P是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

5.已知集合M=｛（x,y)\x+y<4,x>yeN*),則集合M的非空子集個數(shù)是（）

A.2B.3C.7D.8

6.已知則下列不等式正確的是（)

A.—a]B.-0〉^y/b-

a

c.HD.\e-Z?|>p-

7.一物體作變速直線運(yùn)動，其丫-/曲線如圖所示，則該物體在?6s間的運(yùn)動路程為（）

2

y/(m-s-1)

0136r/s

8.若（l—2x）”的二項展開式中/的系數(shù)是40,則正整數(shù)”的值為（）

A.4B.5C.6D.7

9,已知。=（1,2）,B=（九"+3）,c=,若Z//B，則（）

A.-7-3C.3D.7

10.設(shè)集合A={x|x>0},B={x|log2(3x-1)<2},則().

A.AnB=(0,g]B.AnB=1o±

C.AuB=|—,+ooD.AUB=(0,+oo)

(3

11.在AABC中，內(nèi)角A的平分線交BC邊于點(diǎn)。，AB=4,AC=8,BD=2,則的面積是()

A.1672B.V15C.3D.8百

i9

12.已知正項等比數(shù)歹U也}滿足%=2a$+3?s,若存在兩項am,an,使得am-a?=9a：，則一+一的最小值為().

mn

28

A.16B.一C.5D.4

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

\x2+5x+4|,x<0..

13.已知函數(shù)/(無)={1,1，若函數(shù)y=/(x)—ax恰有4個零點(diǎn)，則實數(shù)。的取值范圍是________.

2|x-2|,x>0

14.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13,則輸入的x的值是.

Readx

IfThen

Else

尸JT+5

EndIf

Printy

4e2

15.已知/(x)=Inx,g(x)=----,如果函數(shù)久x)=/(x)-g(x)有三個零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是_____________

(x—a)7-

16.已知向量萬=(m,4),6=(3,—2),且G〃B，貝!16=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

7T

17.(12分)如圖，四棱錐七一ABCD中，平面ABC。，平面BCE,若NBCE=—,四邊形ABCD是平行四邊形,

2

且

(I)求證：AB=AD

(H)若點(diǎn)尸在線段AE上，且EC//平面BOE,NBCD=60°,BC=CE,求二面角A—BE—。的余弦值.

18.(12分)已知圓。：。一2)2+0；-3)2=4外有一點(diǎn)(4,—1),過點(diǎn)P作直線/.

(1)當(dāng)直線/與圓。相切時，求直線/的方程;

(2)當(dāng)直線/的傾斜角為135。時，求直線/被圓C所截得的弦長.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-ax+2(a,

bwR),且對任意%>0,都有/(x)+/=0.

(I)用含。的表達(dá)式表示。；

C2\

(II)若存在兩個極值點(diǎn)再，%2,且玉<x),求出。的取值范圍，并證明了+>0；

I2J

(皿)在(II)的條件下，判斷y=/(x)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/。)="-初2

(1)已知直線/：x-y-l=o,ll：2%-丁-2=0.若直線/2與/1關(guān)于/對稱，又函數(shù)在X=1處的切線與垂直,

求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)g(x)=(e-2)x+l,則當(dāng)x>(),a=l時,求證：

①/(x)Ng(x)；

@ex-ex-1>x(lnx-l).

x=1+cos(p

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為,(9為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

y=s1n(p

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為夕sin￡)=2V2.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若射線6=a(0<a<g］與曲線C交于點(diǎn)A(不同于極點(diǎn)。)，與直線/交于點(diǎn)B,求器的最大值.

k2JI1

x=3+2cosa

22.(10分)已知曲線C的參數(shù)方程為<,c,(a為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸并

y=l+2sina

取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說明其表示什么軌跡；

(2)若直線1的極坐標(biāo)方程為sin6-2cos8=’,求曲線。上的點(diǎn)到直線/的最大距離.

P

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

1]17

直三棱柱的體積為一x2x2x2=4,消去的三棱錐的體積為—x—x2xlx2=—,

2323

210

二幾何體的體積V=4——,故選B.

33

點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)

鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何

體的體積.

2.B

【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)

定理即可作出判斷.

【詳解】

由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是a//〃的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若a//月，

則a內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與P平行是a//月的必要條件，故選B.

【點(diǎn)睛】

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若

aua,bu0,al1b,則a//Q”此類的錯誤.

3.A

【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為40=百，再求原AABC的面積.

【詳解】

由題圖可知原AABC的高為AO=V3,

SAABC=—xBCxOA='x2xG=G，故答案為A

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.

4.C

【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.

【詳解】

解：模擬程序的運(yùn)行，可得：

P=l，

S=l,輸出S的值為1,

滿足條件0S7,執(zhí)行循環(huán)體，p=3,S=7,輸出S的值為7,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=5,S=31,輸出S的值為31,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=7,S=127,輸出S的值為127,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=9,5=511,輸出S的值為511,

此時，不滿足條件作7,退出循環(huán)，結(jié)束，

故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

先確定集合“中元素，可得非空子集個數(shù).

【詳解】

由題意“={(1,1),(1,2),(2,1)},共3個元素，其子集個數(shù)為23=8,非空子集有7個.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有"個元素的集合其子集個數(shù)為2"，非空子集有2"-1個.

6.D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項.

【詳解】

已知。>6>0,賦值法討論a>匕>0的情況：

(1)當(dāng)時，令a=2,b-\,貝！||\/^一0<|新一《，|e"-。卜,"一排除B、C選項；

(2)當(dāng)0</?<aVl時，令a=；,b=；,貝“右一^>|逐一力，排除A選項.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值代入法，排除不符合條

件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題.

7.C

【解析】

1.6

由圖像用分段函數(shù)表示V。)，該物體在；S?6s間的運(yùn)動路程可用定積分s=}V?)dr表示，計算即得解

【詳解】

由題中圖像可得，

2/,0</<1

v(t)--2,1W

§/+l,3<fW6

由變速直線運(yùn)動的路程公式，可得

-6

s=J；丫(')”=J；2/力+12dr+-r+

3

22,

北+23伊+(649

=—(m).

34

149

所以物體在一s?6s間的運(yùn)動路程是Jm

24

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了定積分的實際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

8.B

【解析】

先化簡（1-2力”的二項展開式中第尸+1項&2歲，然后直接求解即可

【詳解】

（l-2x）"的二項展開式中第r+1項*=￡>1"，（一20,令r=2,則7；=-（—2x）2,，4C：=40,〃=T

（舍）或〃=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項展開式問題，屬于基礎(chǔ)題

9.B

【解析】

由平行求出參數(shù)〃?，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計算.

【詳解】

由￡/區(qū)，得2加一（，〃+3）=。，則m=3,

1=（3,6）,c=（l,-l）,所以\"=3—6=—3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

10.D

【解析】

根據(jù)題意，求出集合A,進(jìn)而求出集合AU8和AflB,分析選項即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意，3={x|log2（3x-l）<2}=（尤

則AuB=（O,+8）,AcB=（；,g）

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡單題目，

11.B

【解析】

利用正弦定理求出C。，可得出8C,然后利用余弦定理求出cos3,進(jìn)而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計算出的面積.

【詳解】

?.?A。為N&4C的角平分線，則N84O=NC4Z>.

-,-ZADB+ZADC=^,則ZADC=4_ZAr）8,

.'.sinZADC=sin（萬一ZADB）=sinZADB,

,,,ABBD42

在AABD中，由正弦定理得---------=----------,即an----------=----------，①

sinZADBsinABADsinZADBsinZBAD

Aro2CD

在AACD中，由正弦定理得-----：—=-------------，即----------=----------,②

sinZADCsinZADCsinZADCsinZC4D

21

①+②得——=—,解得cr>=4,.?.BC=3O+CZ）=6,

CD2

?A?A8~+8C?—AC?1.r?J15

由余弦定理得cos5=----------------------=——，z.sinB-vl-cos2B-----,

2ABBC44

因此，AABD的面積為SMsougAB-BDsinBuJK.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.

12.D

【解析】

由%=24+3%,可得4=3,由a,”乜L%（；,可得加+咒=4,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.

【詳解】

22

設(shè)等比數(shù)列公比為次4>0）,由已知，a5q=2a5q+3a5,BPq=2q+3,

解得4=3或g=—1（舍），又%々，=9。；，所以％3"i"3"T=9。；，

191191n9m

即3〃計”-2=32,故根+幾=4,所以一+―二—（一+一）（加+〃）=—（10+-+—）

mn4mn4mn

>-（10+279）=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=1,〃=3時，等號成立.

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識，是一道中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(1,3)

【解析】

函數(shù)y=/(x)—4X恰有4個零點(diǎn)，等價于函數(shù)f(x)與函數(shù),y=“N的圖象有四個不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

函數(shù))，=/(幻-4%|恰有4個零點(diǎn)，等價于函數(shù)/(x)與函數(shù)y=4X的圖象有四個不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下圖

故答案為：(1,3)

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.

14.8

【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.

【詳解】

13

輸入y=13,若y=6x,則》=與＞2,不合題意

若y=x+5,則％=13-5=8,滿足題意

本題正確結(jié)果：8

【點(diǎn)睛】

本題考查算法中的“語言，屬于基礎(chǔ)題.

15.(3e,+co)

【解析】

4c之2e2e

首先把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，等價于=——五有三個零點(diǎn)，兩側(cè)開方，可得即a=x土-

(x-a)-vlnxyjmx

有三個零點(diǎn)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】

4e2.4/

若函數(shù)力(幻=/(%)—<?(?有三個零點(diǎn)，即也尤=------r零點(diǎn)有，顯然則有m-工)2=土，可得

(x-aYInx

x=a±J—,即〃=尢土?有三個零點(diǎn),不妨令g(x)二x±-^=,對于g(x)=%—/==,函數(shù)單調(diào)遞增,

Vlnxyjlnxy/lnxvlnx

g(五)=&-2&e<0,g(e2)^e2-e>0,所以函數(shù)在區(qū)間(1,+8)上只有一解，對于函數(shù)g(x)=x+忑、，

3

g1(x)=lc°nx)2=o,解得x=e,g'(x)<0,解得l<x<e,g(x)>0,解得x>e,所以函數(shù)在區(qū)間(l,e)

上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+oo)上單調(diào)遞增，g(e)=e+2e=3e,當(dāng)x->l時，gG)一內(nèi)，當(dāng)X—時，g(x)r+oo,

此時函數(shù)若有兩個零點(diǎn)，則有a>3e,綜上可知，若函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)有三個零點(diǎn)，則實數(shù)。的取值范圍是

(3e,+co).

故答案為：(3e,+s)

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)拈_方，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題，注意恰有三個零點(diǎn)條件的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的最值

求解參數(shù)的范圍，屬于難題.

16.-6

【解析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出-2帆-4x3=0,求解即可得出答案.

【詳解】

因為2〃5，所以-2〃?-4x3=0,解得加=—6.

故答案為：-6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)見解析(II)

7

【解析】

(I)推導(dǎo)出8CJ_CE,從而ECJ_平面ABC。,進(jìn)而EC1.BD,再由BD1.AE,得8OJ_平面

AEC,從而8OJ_AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

(II)設(shè)AC與50的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC〃戶G,取8c的中點(diǎn)為O,連結(jié)。僅則0Z)_L3C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O

且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，0。為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【詳解】

7C

(I)證明：NBCE=—,即BCLCE,

2

因為平面ABCD±平面BCE,

所以EC_L平面ABCD,

所以七CL8D,

因為8D_LAE，

所以平面A￡C，

所以BOLAC,

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以四邊形ABCO是菱形，

故AB=AD;

解法一：(II)設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為G,

因為EC//平面8DE,

平面AECI平面BZ小于EG,

所以EC//FG,

因為G是AC中點(diǎn)，

所以b是AE的中點(diǎn)，

因為NBC￡>=60°,

取BC的中點(diǎn)為0,連接O￡）,

則8八BC,

因為平面ABCD±平面BCE,

所以0。，面BEC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)。且與CE平行的直線為x軸，以8C所在直線為V軸，以O(shè)D所在直線為二軸建立空間直角

坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則磯0,TO）,A（0,-2,5/3）,0（0,0詞,F1,--,^-,BF=1,-,^-,

麗=（0,—1,6）,麗=（0,1,現(xiàn)

設(shè)平面A5尸的法向量）=（w，y,zj,

.16_n

則—+于4+彳4一,?。?卜&,百」），

-y+任|=0

同理可得平面DBF的法向量區(qū)=（0,6,-1）,

設(shè)平面ABF與平面DBF的夾角為。，

/------\2幣

因為cos打,〃）=麗=訪=7，

所以二面角A—3尸一。的余弦值為立.

解法二：（II）設(shè)AC與BO的交點(diǎn)為G,

因為EC//平面BDF,平面AECI平面BDF于FG,

所以EC//FG,

因為G是AC中點(diǎn)，

所以尸是4E的中點(diǎn)，

因為ACLBD,AC1FG,

所以AC,平面BD尸，

所以AC3尸,

取BF中點(diǎn)，，連接G"、AH,

因為FG=BG,

所以

故BF_L平面4”G,

所以AHJ_BE,即NA〃G是二面角A—的平面角,

不妨設(shè)45=2,

石

因為AG=G，GH=—

2

在心AAG”中，tanZAHG=V6.

所以cos/A"G=立，所以二面角A—防一。的余弦值為立.

77

【點(diǎn)睛】

本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.

18.(1)x=4或3x+4y-8=0(2)272.

【解析】

(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結(jié)果；

(2)先求出直線方程，然后求得圓心C與直線/的距離，由弦長公式即可得出答案.

【詳解】

解：(1)由題意可得C(2,3),直線/與圓。相切

當(dāng)斜率不存在時，直線/的方程為x=4,滿足題意

當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線/的方程為三

%,即辰_,_4攵_1=0

|2Z-3-4Z-13

=2,解得口

直線的方程為3x+4y-8=0

.?.直線/的方程為x=4或3x+4y-8=0

(2)當(dāng)直線/的傾斜角為135°時，直線/的方程為x+y-3=0

|2+3-

圓心C(2,3)到直線/的距離為

弦長為2舊-(同=272

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的

能力.

19.(1)b=a(2)見解析(3)見解析

【解析】

試題分析：利用賦值法求出。力關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需/'a)=0在(。,+8)內(nèi)

有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出。的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù).

試題解析：(I)根據(jù)題意：令x=l,可得=

所以/(1)=一。+方=0,

經(jīng)驗證，可得當(dāng)a=b時，對任意x>0,都有〃小哈=。，

所以b=a.

(II)由(I)可知/(x)=lnx-ax+@,且x>0,

2

所以尸(x)=，—a-W=-ax+x-a>

?XXJC

令g(x)=-G；2+x-a,要使/(x)存在兩個極值點(diǎn)再，x2,則須有>=g(x)有兩個不相等的正數(shù)根，所以

a>0,a<0,

—>0,—>0,

2a或｛2。

△=1—4/>0,△=1—4a2>0,

g(0)=-a<0g⑼=-Q〉0

解得0＜。＜,或無解，所以"的取值范圍0＜。＜,，可得0＜±＜1,

2228

（2\In《，+22/

由題意知f=21na+-------m2,

72）22aa2

2比,3223元2-3/+4x-4

令〃(x)=21nx4-----In2,則=4——漢

2一x/22x2

而當(dāng)xe0,g

時，-3x4+4x-4=-3x4—4(1—x)<0,即〃'(x)<0,

所以〃（x）在（0,（）上單調(diào)遞減,

所以

1XQ

>h-21n2+4-----ln2>--31ne>0

I1615

即0<a<g1時，/>0.

2

(m)因為r(x)=，-a-OX-9+X—Q

-),g(X)=_c￡+X_Q.

XXx~

l-Vl-4a21+Jl-4a2

令/'（力=0得西

2a2a

由（II）知0＜“＜（時，＞=8（力的對稱軸》=（€（1,+8）,△=1-4a2＞o，g⑼=-a＜0,所以“＞1.

又玉々=1，可得當(dāng)＜1，此時，/（x）在（O，xJ上單調(diào)遞減，（%,％2）上單調(diào)遞增，（工2,位）上單調(diào)遞減，所以＞=/（x）

最多只有三個不同的零點(diǎn).

又因為/（1）=0,所以（%,1）在“X）上遞增，即xw[2,l）時,〃力＜0恒成立.

2/2\

根據(jù)（2）可知/三|〉0且0＜￡＜-,所以《史（西，1）,即±e（O,xJ,所以B期,使得/(x°)=0.

22822

11、

由0</<工1<1,得一>1,又/—=一/(與)=0,/(1)=0,

7

所以/（x）恰有三個不同的零點(diǎn)：%,1,—.

綜上所述，y=/（x）恰有三個不同的零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】利用賦值法求出。為關(guān)系，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，只需/'(x)=0在

(0,+8)內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出”的取值范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,

再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點(diǎn).

20.(1)a=\+-(2)①證明見解析②證明見解析

2

【解析】

(1)首先根據(jù)直線關(guān)于直線對稱的直線的求法，求得4的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)f(x)在x=l處的切線與4垂直列方

程，解方程求得。的值.

(2)

①構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(%)—g(x),利用〃(x)的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)x〉0時，A(x)>0,由此證得/(x)2g(x).

②由①知e'---(e-2)x-120成立，整理得ev-(e-2)x-l>%2成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得］nx+\<x,由此得到

x(lnx+l)<x1,即e*-(e-2)x-l2x(lnx+l),化簡后得到e*-ex-12x(lnx-l).

【詳解】

x-^-1=0,x=l,

(1)由<解得<

2x-y-2=0,y=0.

4必過4與/的交點(diǎn)A。，。).

在4上取點(diǎn)8(0,-2),易得點(diǎn)8(0,-2)關(guān)于/對稱的點(diǎn)為B'(—1,—1),

v—0x—11

4即為直線A8',所以4的方程為?*=—「，即x—2y—1=0,其斜率為7.

又因為〃力=4-爾,所以為(x)=e*-2ax,f'(l)=e-2a,

1e

由題意(e—2a)x-=—1,解得。=1+—.

22

(2)因為a=l,所以/(x)=e*-x2.

①令h(x)=/(x)一g(x),貝||//(x)=e'-x2-(e-2)x-l,

則Z?'(x)-e(-2x-(e-2)=ev-e-2(x-l),

且/(1)=0,/?〃(x)=e「2,

xe(8o/n2)時，h\x)<Q,"(x)單調(diào)遞減;

xe(In2,+8)時，h"(x)>0,〃'(x)單調(diào)遞增.

因為〃'⑴=0,所以"(x)mm=〃'(ln2)=4-e-21n2<0,因為〃'(0)=3—e>0,

所以存在€(0,1),使xe(O,』)時，h'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

xe(xo，l)時，〃'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減；xe(l,+8)時，〃(幻>0,〃(x)單調(diào)遞增.

又力(0)=力(1)=0,所以x>0時，h(x)>0,即e'-x2-(e-2)x—120,

所以/(x)-g(x)20,即f(x)Ng(x)成立.

②由①知e'—x~—(e—2)x—120成立，即有e'—(e—2)x—12x2成立.

11—Y

令夕(x)=lnx—x,即e'(x)=——1=----.所以xw(0,l)時，0(x)〉O,Q(X)

xx

單調(diào)遞增；

XG(l,+8)時，o’(x)<0,e(x)單調(diào)遞減，所以。(x)=,即lnx+14x,

因為x>0,所以xQnx+DvY,所以x>()時，eA-(e-2)x-l>x(lnx+l),

即x>()時，er-ex-l>x(lnx-l).

【點(diǎn)睛】

本小題考查函數(shù)圖象的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識；考查學(xué)生分析問題，解決

問題的能力，推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識.

21.(1)G：Q=2COS8,直線/：x+y=4；(2)一隹.