高等代數(shù)試題2(附答案)

科目名稱:《高等代數(shù)》姓名:班級:考試時(shí)間:120分鐘考試形式:閉卷≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空題(每小題5分,共25分)在中,向量關(guān)于基得坐標(biāo)為。向量組得秩為,一個(gè)最大無關(guān)組為、。(維數(shù)公式)如果就是線性空間得兩個(gè)子空間,那么。假設(shè)得特征根就是,特征向量分別為。5、實(shí)二次型得秩為二、就是非題(每小題2分,共20分)1、如果線性無關(guān),那么其中每一個(gè)向量都不就是其余向量得線性組合。()2、在中,定義變換,其中,就是一固定得數(shù),那么變換就是線性變換。()3、設(shè)就是向量空間得兩個(gè)子空間,那么它們得并也就是得一個(gè)子空間。()4、兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)得充分且必要條件就是它們有相同得維數(shù)。()令就是得任意向量,那么就是到自身得線性變換。其中。()矩陣得特征向量得線性組合仍就是得特征向量。()若矩陣與相似,那么與等價(jià)。()階實(shí)對稱矩陣有個(gè)線性無關(guān)得特征向量。()在中,若由所有滿足跡等于零得矩陣組成,那么就是得子空間。()10、齊次線性方程組得非零解向量就是得屬于得特征向量。()三、明證題(每小題××分,共31分)1、設(shè)就是線性空間得一組基,就是上得線性變換,證明:可逆當(dāng)且僅當(dāng)線性無關(guān)。(10)2、設(shè)就是維歐氏空間得一個(gè)線性變幻,證明:如果就是對稱變幻,=就是單位變幻,那么就是正交變換。(11)3、設(shè)就是一個(gè)維歐氏空間,證明:如果都就是得子空間,那么。(10)四、計(jì)算題(每小題8分,共24分)求矩陣得特征根與特征向量,并求滿秩矩陣使得為對角形矩陣。求一個(gè)正交矩陣,使得使對角形式,其中?；涡蜑槠椒脚c,并求所用得滿秩線性變換?？颇棵Q:《高等代數(shù)》姓名:班級:考試時(shí)間:120分鐘考試形式:閉卷≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空題(每小題5分,共25分)(3,4,1)秩為2,一個(gè)最大無關(guān)組為維()+維()=維()+維()特征根就是1,1,2,特征向量分別為5、秩為3二、就是非題(每小題2分,共20分)1、(就是)2、(就是)3、(就是)4、(否)(否)(否)(就是)(就是)(就是)10、(就是)三、明證題(每小題××分,共31分)1、證明設(shè)可逆,則存在,且也就是得線性變換,(1)若線性相關(guān),則,(2)即也線性相關(guān),這與假設(shè)就是基矛盾,故線性無關(guān)。(5)反之,若線性無關(guān),因就是維線性空間,故它也就是得一組基,(7)故對中任意向量有,即存在,使,故為到上得變換。(8)若又有,使,即,因?yàn)榫褪腔?,即,從而又就是一一得變換,故為可逆變換。(10)2、證:,(4)=,(8)=,(10)=0,(11)3、證:(1),(5)同理,(8)則。(10)四、計(jì)算題(每小題8分,共24分)1、解:=,則得特征根為,,(3),它們對應(yīng)得特征向量分別為,(6)易知線性無關(guān),取,那么就得。(8)2、解:,則特征根為,(3)對應(yīng)它們得線性無關(guān)得特征向量分別為,(6)她們單位化后分別為,取正交矩陣,(7)則,。(8)3、解,,得