向量基本定理及坐標(biāo)表示平面

9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示9.3.1平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意義；在一個平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過力的分解引出平面向量基本定理，體會平面向量基本定理的應(yīng)用，重點提升數(shù)學(xué)抽象及直觀想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個____________結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝________________基底________的向量e1，e2叫作這個平面的一組基底不共線向量λ1e1＋λ2e2不共線點睛平面向量基本定理包括兩個方面：(1)一是存在性，即存在實數(shù)λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)二是唯一性，即對任意向量a，存在唯一實數(shù)對λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任一向量a可以用一組基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式.我們稱λ1e1＋λ2e2為______________.當(dāng)e1，e2所在直線__________時，這種分解也稱為向量a的正交分解.2.向量的分解向量a的分解互相垂直1.思考辨析，判斷正誤(1)平面向量基本定理中基底的選取是唯一的.(

)提示基底的選取不是唯一的，不共線的兩個向量都可以作為基底.(2)零向量可以作為基底中的一個向量.(

)提示由于0和任意的向量共線，故不能作為基底中的一個向量.(3)若a，b不共線，則a＋b與a－b可以作為基底.()提示由于a＋b和a－b不共線，故可作基底. (4)若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2為實數(shù))可以表示該平面內(nèi)的所有向量.(

)××√√2.設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則以下各組向量中不能作為基底的是(

)A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2解析B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，∴e1＋e2，3e1＋3e2不可作為基底；A，C，D中各組向量均可作為基底.BBA.BD＝2CD B.BD＝CDC.BD＝3CD D.CD＝2BD因為D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點，課堂互動題型剖析2題型一平面向量基本定理的理解【例1】

(多選題)如果e1，e2是平面α內(nèi)的一組基底，λ，μ是實數(shù)，下列說法正確的是(

)A.若λ，μ滿足λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0B.對于平面α內(nèi)任意一個向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的實數(shù)λ，μ有無數(shù)對C.線性組合λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量D.當(dāng)λ，μ取不同的值時，向量λe1＋μe2可能表示同一向量ACB不正確.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一確定；C正確.平面α內(nèi)的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；D不正確.結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，當(dāng)λe1和μe2確定后，其和向量λe1＋μe2便唯一確定.(1)對于平面內(nèi)任一向量都可以用兩個不共線的向量來表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解成兩個不共線的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面內(nèi)不共線的兩個向量，事實上若e1，e2是基底，則必有e1≠0，e2≠0且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1＋e2與2(e1＋e2)等，均不能構(gòu)成基底.思維升華【訓(xùn)練1】

設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是(

) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2

解析選項B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2與3e1－4e2共線， ∴不能作為基底，選項A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基底.故選B.B題型二用基底表示向量解法一由題意知，用基底表示向量的方法一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.思維升華連接MB，MC，題型三平面向量基本定理的綜合應(yīng)用角度1利用平面向量基本定理求參數(shù)C思維升華C解析

如圖所示，角度2用平面向量基本定理求解平面幾何問題【例4】如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分別共線，故由平面向量基本定理，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.思維升華若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得.又∵B，P，F(xiàn)三點共線，課堂小結(jié)一、牢記3個知識點1.平面向量基本定理.2.用基底表示向量.3.平面向量基本定理的應(yīng)用.二、掌握2種方法1.已知e1，e2不共線，作λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的方法——數(shù)形結(jié)合法，利用三角形法則或平行四邊形法則進行轉(zhuǎn)化.2.已知基底a，b，用a，b表示向量c的方法①線性運算法，②待定系數(shù)法.三、注意1個易錯點基底中的向量必須是不共線的向量.

分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.(多選題)設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則下列說法不正確的是(

)A.e1，e2平行B.e1，e2的模相等C.對同一個平面內(nèi)的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ1，μ∈R)D.若e1，e2不共線，則對于同一平面內(nèi)的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)解析

由題意只有D正確.ABCA.2 B.3 C.－2 D.－3D則λ＝－3.3.BAD二、填空題6.已知向量e1，e2不共線，實數(shù)x，y滿足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，則x＝________，y＝________.－15－12解析∵向量e1，e2不共線，8.已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實數(shù)λ的取值范圍為_____________________.

(－∞，4)∪(4，＋∞)解析若a，b能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.三、解答題解析連接CD，OD，圖略，D∴CD∥AB.∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO，∴四邊形ACDO為平行四邊形，12.(多選題)如圖所示，設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)的基底的是(

)AC13.設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底；證明若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共線得，所以λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底.(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；解設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.由于e1與e2是不共線的非零向量，所以c＝2a＋b.(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值