電磁場與電磁波第四版課后答案

第一章習題解答

1.1給定三個矢量A、B和C如下：

求：（1）%;（2）\A-B\＞（3）46：（4）“B；（5）A在5上的分量；（6）AxC-

（7）A.（BxC）ai（AxB）.C;（8）（Ax5）xC和Ax（5xC）。

A_e+e2-e3123

間-J、r2y；+(—:3)2-0赤+4布―%而

⑵|A-B|=|(eA.+ey2-ez3)-(-ey4+e,)|=|ev+ey6-%4卜\/53

⑶A.B=(e*+ev2-e23)?(-ev4+ez)=—11

,—111111

(4)由COS0,=IYI=I——7==1---?得0=cos"(—>----)=135.5

ARB|A||B|714x717V238AliV238

A.B11

(5)A在B上的分量A=\A\cos%=

B同

eyez

⑹AxC=12-3=-el4-ev13-eJ0

50-2

e)生

（7）由于5xC=0-41=ev8+ev5+e.2O

50-2

所以4?(BxC)=(%+ey2-ez3)?(ex8+ey5+e：20)=-42

%%生

(8)(AxB)xC=-10-1-4=%2-e、,4()+e：5

50-2

1.2三角形的三個頂點為［(0,1,-2)、￡(4,1,-3)和呂(6,2,5)。

(1)判斷△［《A是否為一直角三角形；

(2)求三角形后面積。

解(1)三個頂點4(0,1,-2)、6(4,1,—3)和《(6,2,5)的位置矢量分別為

q=e,-e",r2=ex4+ey-e:3,r,=er6+ev2+er5

rreerr

則Ro~i~\-.A~：,&3~3~2=ev2+ev+e.8,

由此可見

故AqgA為一直角三角形。

(2)三角形的面積S=g國2X&|=g國2岡43|=3a*廂=17.13

1.3求p(—3,1,4)點到P(2,-2,3)點的距離矢量R及R的方向。

解=-e*3+e,,+e=4,rp=ex2-ey2+ez3,

則Rp.p-rp-rp.=ex5-ey3-e.

且Rp.p與x、y、z軸的夾角分別為

1.4給定兩矢量A=%2+e,3—e：4和B=%4—e、.5+e：6,求它們之間的夾角和A在3上

的分量。

A.B-3]

解A與3之間的夾角為〃8=cos-'()=cosT(L=)=131

閡回V29xV77

B-31

A在8上的分量為4,=4同=后=-3.532

1.5給定兩矢量A=紇2+6,3-外4和B=一%6-e,.4+e=，求4*3在。=e.<-e>,+e;上

的分量。

解4x8=23一4=—e/3+e,.22+e10

-6-41

所以AxB在C上的分量為(Ax5)c=C=一竿=_]4.43

lCl

1.6證明：如果A.5=A.。和Ax3=AxC，則8=C；

解由Ax5=A*則有Ax(Ax3)=Ax(AxC),即

由于A.5=A?C，于是得到(A?A)5=(A?A)C

故B=C

1.7如果給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)

4為一己知矢量，p=A?X而尸=AxX，，和P已知，試求X。

解由P=AxX'有

故得X=-

A.A

1.8在圓柱坐標中，一點的位置由(4,女,3)定出，求該點在：(1)直角坐標中的坐標；(2)

球坐標中的坐標。

解(1)在直角坐標系中尤=4cos(2;r/3)=—2、y=4sin(2^/3)=2-73'z=3

故該點的直角坐標為(-2,26,3)°

(2)在球坐標系中r=J42+3?=5、6=tanT(4/3)=53.1、。=2萬/3=120

故該點的球坐標為(5,53.1,120)

1.9用球坐標表示的場E=e，W，

(1)求在直角坐標中點(-3,4,-5)處的國和Ex;

(2)求在直角坐標中點(一3,4,—5)處￡；與矢量5=%2—6、.2+6構(gòu)成的夾角。

解(1)在直角坐標中點(-3,4,-5)處，r2=(-3)2+42+(-5)2=50>故

(2)在直角坐標中點(-3,4,-5)處，r=-ex3+ey4-e:5,所以

故￡與5構(gòu)成的夾角為%B=COS-I(佇”y)=COS-1(—19/。°揚)=153.6

hB|E|.|B|3/2

i.io球坐標中兩個點儲,q,A)和(弓迅也)定出兩個位置矢量R｝和R2o證明&和&間

夾角的余弦為

解由R]=exrxsin4cos。1+44sin耳sin。1+ezr}cos^

得到吟=髓=

1.11一球面s的半徑為5,球心在原點上，計算：J(e「3sin8).dS的值。

27r7T

解J(e13sin6)?dS=j(e,.3sin。)?4dS=Jd^13sin^x52sin6d0=75/

ss00

1.12在由〃=5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量A=e,/+e二2z驗證散度定理。

解在圓柱坐標系中▽.A=LZ(7y2)+￡_(2z)=3r+2

rdrdz

42點5

所以Jv.Adr=JdzJd°j(3r+2)rdr=1200萬

T000

又J4dS=J(e,/+ez2z).(erdSr+e^dS^+e2dSz)=

ss

故有jv?Adz=12004=JA?dS

TS

1.13求(1)矢量A=e?；2+4，x2y2+e_24x2y2z3的散度；(2)求V.A對中心在原點的一

個單位立方體的積分；(3)是A對‘此立方體,表面的積分，驗證散度定理。

板/1、D4d(x2)d(x2y2)5(24x2y2z3)____

解(1)▽?4=-^^+—'-?+二----—-=2x+2x22y+72x22y22z22

dxdydz

(2)V.A對中心在原點的一個單位立方體的積分為

(3)A對此立方體表面的積分

故有JV?Ad7=(=JA?dS

1.14計算矢量r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求▽“對球體積的積分。

Inn

解jr.dS=jr?e『dS=jd^^aa2sin6(16=4〃/

SS00

又在球坐標系中，V.r=4—(r2r)=3.所以

r2dr

1.15求矢量A=e/+e/2+e)2z沿孫平面上的一個邊長為2的正方形回路的線積分，

此正方形的兩邊分別與1軸向y軸相重合。再求VxA對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托

克斯定理。

2222

解jA-dZ=jxdx-jxdx+j22dy-Jody=8

C0000

J

dddc

又VxA——=e2yz+e_2x

dxdySzxJ2

xYy2z

22

所以JVxA.dS=JJ(e,2yz+e,2x).e,dxdy=8

soo

故有JA?dl=S=|VxA?dS

cs

1.16求矢量A=e/+evAy2沿圓周12+,2=。2的線積分，再計算A對此圓面積的積

分。

--2K4

解JA.dZ=Jxdx+孫-dy=f(-a2cos°sin°+a4cos?Osin?0)d°=

cco4

1.17證明：(1)\7.R=3；(2)VxR=0；(3)V(A./?)=Ao其中/?=e.H+evy+e：z,

A為一常矢量。

解⑴v.R旦@+包=3

dx8ydz

0e.

ddd

(2)VxR==0

dx8y&

xyy

(3)設(shè)A=QA+e、.A),+e/z，則A?R=4尤+A、.y+A),故

1.18一徑向矢量場尸=e,./(r)表示，如果▽.尸=0，那么函數(shù)/(?會有什么特點呢？

解在圓柱坐標系中，由▽?尸=，/_[//(「)]=()

rdr

可得到

-=2C為任意常數(shù)。

r

在球坐標系中，由▽.尸=!」![，/&)]=0

r-dr

可得到了⑺=￡

r

1.19給定矢量函數(shù)E=e/+eyx,試求從點6(2,1,-1)到點P2(8,2,-1)的線積分JE?d/：

(1)沿拋物線(2)沿連接該兩點的直線。這個E是保守場嗎？

解(1)=]紇dx+紇.dy=Jydx+xdy=

ccc

(2)連接點6(2,1,—1)到點P2(8,2,-1)直線方程為

x—2x—8

----=-----即x-6y+4=0

y-\y-2

22

故jE?d/=J紇dx+Eydy=Jyd(6y_4)+(6y_4)dy=,2y_4)dy=14

ccI|

由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。

1.20求標量函數(shù)/=/塔的梯度及y在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量

e；―+e—(=+e；—定出；求(2,3,1)點的方向?qū)?shù)值。

V503750V50

解▽/=外§(/工)+與g(fyz)+e,§(x2yz)=

dxdydz

345

故沿方向6=ex—j=+e—j=+e.—；=的方向?qū)?shù)為

ix750，病“病

點(2,3,1)處沿與的方向?qū)?shù)值為

1.21試采用與推導直角坐標中口4=弘+”+菖

dxdydz

相似的方法推導圓柱坐標下的公式

V741"八叫SA.

V.A=-----(%)*!------+--?

rdrrd(/>dz

解在圓柱坐標中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場A

沿e,方向穿出該六面體的表面的通量為

同城

因此，矢量場A穿出該六面體的表面的通量為

故得到圓柱坐標下的散度表達式V-A=lim三=±三竺且+'越+竺七

Ar->°Arrdrrd(/)dz

229

1.22方程〃=三+二+三給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。

a2b2c2

解由于▽〃=e、.與+ey—與

故橢球表面上任意點備單位法向矢量%

1.23現(xiàn)有三個矢量A、B、C為

(1)哪些矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表

示？

(2)求出這些矢量的源分布。

解(1)在球坐標系中

故矢量A既可以由一個標量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示；

在面柱坐標系中

故矢量B可以由一個標量函數(shù)的梯度表示；

直角在坐標系中

故矢量C可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示。

(2)這些矢量的源分布為

V.A=0-VxA=0；

▽?B=2rsin。，VxB=0：

▽.C=0，VxC=e;(2x-6>-)

1.24利用直角坐標，證明

解在直角坐標中

1.25證明

解根據(jù)▽算子的微分運算性質(zhì)，有

式中VA表示只對矢量A作微分運算，表示只對矢量H作微分運算。

由a.(bxc)=c.(axb)，可得

同理VW.(AxH)=-A.(yHxH)=-A.(VxH)

故有V.(AxH)=HA7xA—ANxH

1.26利用直角坐標，證明

解在直角坐標中

所以

1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明Vx(y〃)=O及

V.(VxA)=O.試證明之。

解(1)對于任意閉合曲線C為邊界的任意曲面S，由斯托克斯定理有

由于曲面s是任意的，故有

(2)對于任意閉合曲面S為邊界的體積T,由散度定理有

其中5和$2如題1.27圖所示。由斯托克斯定理，有

J(VxA).d5=i[A.dZ,J(VxA).dS=JA-dZ

AGs?c2

由題1.27圖可知G和是方向相反的同一回路，則有J=—JA.dl

所以得到j*V?(▽*")dr=JA.dZ+JA?dI=—JA*d/+JA*dZ—0

TC|C*2C?Cj

由于體積：■是任意的，故有V.(VxA)=O

二章習題解答

2.1一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為

4/32/

p=-i￡[}U(}d-x-^式中陰極板位于％=0,陽極板位于

x=d,極間電壓為U。。如果Uo=4OV、"=1cm、橫截

面S=10cm2,求：(1)%=0和x=[區(qū)域內(nèi)的總電荷量。；

(2)%=42和％區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q'。

dA.

解(1)e=J/?dr=j)Sdx==-4.72x1O-"C

ro93d

(2)0=J2d7=j(--s.U^x-^SdX=-—(1-4=)^o^o^=-0.97X1011C

rd/293d爽

2.2一個體密度為「=2.32x10-7c/n?的質(zhì)子束，通過i()(x)V的電壓加速后形成等速的質(zhì)子

束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2mm，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。

解質(zhì)子的質(zhì)量加=1.7x10-27kg、電量q=1.6xl()T9c。由

得y=yjlmqU=1.37x106m/s

故J=pu=0.318A/m?

2.3一個半徑為。的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為。的電荷，球體以勻角速度。繞一個直徑旋

轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。

解以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為Z軸。設(shè)球內(nèi)任一點P的位置矢量為r，且r與z

軸的夾角為夕，則p點的線速度為

球內(nèi)的電荷體密度為

,,Q.八3Qco.八

故Jr=B----7—<yrsin0=e,---7rsm0

"4萬。3/3

2.4一個半徑為。的導體球帶總電荷量為Q,同樣以勻角速度。繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面

的面電流密度。

解以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為Z軸?設(shè)球面上任一點P的位置矢量為r，且r與

z軸的夾角為，，則尸點的線速度為

球面的上電荷面密度為

故J..=or=〃----sin6=e,---sin0

s"4萬〃'4兀a

2.5兩點電荷％=8C位于z軸上z=4處，%=-4C位于y軸上y=4處，求(4,0,0)處的

電場強度。

解電荷?在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為

電荷私在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為

故(4,0,0)處的電場為

2.6一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷求垂直于圓平面的軸線上z=a處的電場強度

￡(0,0,a),設(shè)半圓環(huán)的半徑也為“，如題2.6圖所示。

解半圓環(huán)上的電荷元0d/'=qad”在軸線上z=a處的電場強度為

電二且上口蜒―

4f(蟲4

在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上z=a處的電場強度為

2.7三根長度均為L，均勻帶電荷密度分別為p“、外和Pu地

線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)P“=2%=2P,3,計算三角形中心處的

電場強度。

解建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為

,巧

d=—tan30=—L

26

則

故等邊三角形中心處的電場強度為

2.8一點電荷+q位于(-a,0,0)處，另一點電荷-2q位于

(a,0,0)處，空間有沒有電場強度E=0的點？

解電荷+4在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為

電荷-2q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為

(乂乂2)處的電場則為后=耳+￡：2。令E=0，則有

由上式兩端對應分量相等，可得到一

題2.7圖

(x+a)l(x-a)2+y2+z2]3/2=2(x-a)[(x+a)2+y2+z2]3/2

①

y[(x-a)2+y2+z2]3/2=2y[(x+a)2+y2+z2]3/2②

z[(x-a)2+y2+z2]3/2=2z[(x+a)2+丁+z?產(chǎn)③

當y#0或zrO時，將式②或式③代入式①，得a=0。所以，當y#0或ZHO時無解；

當y=0且z=0時，由式①，有

解得

但x=-3。+2缶不合題意，故僅在(-3a—2缶,(),0)處電場強度E=。。

2.9一個很薄的無限大導電帶電面，電荷面密度為證明：垂直于平面的z軸上z=z0處

的電場強度E中，有一半是有平面上半徑為后z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。

解半徑為r、電荷線密度為q=bdr的帶電細圓環(huán)在z軸上z=z0處的電場強度為

故整個導電帶電面在z軸上z=z0處的電場強度為

n而半徑為后z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z=z0處的電場強度為

2.10一個半徑為。的導體球帶電荷量為Q,當球體以均勻角速度①繞

?一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應強度Bo

解球面上的電荷面密度為

當球體以均勻角速度3繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r=e,.a點處的

電流面密度為

將球面劃分為無數(shù)個寬度為d/=ad8的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度

為d/=ad。細圓環(huán)的電流為d/=Jsd/=@2sined9

題2.10圖4萬一.

細圓環(huán)的半徑為人=〃sin8，圓環(huán)平面到球心的距離[=QCOS6，利用電

流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為

故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為5=么「幺必旦包匚2(16=e.巴?

'J。8?a-671a

2.11兩個半徑為匕、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為4，如題2.11圖所示。

電流/以相同的方向流過這兩個線圈。

(1)求這兩個線圈中心點處的磁感應強度B=exBx；

(2)證明：在中點處d4/dx等于零；

(3)求出/，與。之間的關(guān)系，使中點處d25jdx2也等于零。

解(1)由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應強度5=e—個"

z2(a+z)'

得到兩個線圈中心點處的磁感應強度為B=e--

,(/+//4嚴

(2)兩線圈的電流在其軸線上x(0<x<")處的磁感應強

度為

B-e1氏Nib?f_迺_1

X(2(b2+x2)3/22斤+(d—X)2]3/2

所以竺￡=3N°N*3〃戶加3-幻

dx―2s2+f)5/22[—+(d-幻2產(chǎn)

題2.11圖

故在中點x=d/2處，有

2

(a)dBt_15HoNI護f3仆NW

M=2(/+/2產(chǎn)—2s2+/)5/2+

有5/4

令也2=0,=0

dxIj/2[b2+//4]7/2［從+笛/4嚴

即5d2/4=從2

+J/4

故解得d=h

2.12一條扁平的直導體帶，寬為2a，中心線與z軸重合，通過的電流為/。證明在第一象

限內(nèi)的磁感應強度為5=_旦0，紇=生也殳式中a、八和r,如題2.12圖所示。

’4乃。乙12

解將導體帶劃分為無數(shù)個寬度為dx'的細條帶，每一細

條帶的電流d/=1-dx'。由安培環(huán)路定理，可得位于v處的

2a

細條帶的電流d/在點P（x,y）處的磁場為

則dB\=-dBsine=

47ra[(x-x')2+j2]

所以

2.13如題2.13圖所示，有一個電矩為小的電偶極子，位

于坐標原點上，另一個電矩為P?的電偶極子，位于矢徑為r的

題212圖某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為

式中4=<r,P］〉，q=<r，P2>，。是兩個平面（r，Pj和（r，P2）間的夾角。并問兩個偶極子在怎

樣的相對取向下這個力值最大？

解電偶極子Pi在矢徑為r的點上產(chǎn)生的電場為

所以R與P2之間的相互作用能為

因為4=<r,P|〉，02=<r,p2>,則

又因為。是兩個平面（r,pj和（r,pj間的夾角，所以有

另一方面，利用矢量恒等式可得

因此

（Pi?P,）=3［（rxP|）?（rxp,）+（r?化）（r.p,）］=

r

Pip2sin巧sin02cos/+p}p2cos3］cos02

PM

于是得到M二7(sin3]sin02cos0-2coscos02)

故兩偶極子之間的相互作用力為

四p,d1

-_-(sinsin0cos^-2cos^cos^)一(―)=

4?！?2drr

3Plp2

(sinqsin0cos2cos耳cos0)

47品產(chǎn)22

由上式可見，當4=%=0時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。

2.14兩平行無限長直線電流人和12,相距為4,求每根導線單位長度受到的安培力Fm。

解無限長直線電流（產(chǎn)生的磁場為g二心心

17ir

j-gdzi給

直線電流人每單位長度受到的安培力為月出2

式中?是由電流人指向電流人的單位矢量。

AoA12

同理可得，直線電流（每單位長度受到的安培力為月出=一月"12=勺2

271d

2.15一根通電流1的無限長直導線和一個通電流乙的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導線的距

離為d,如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為

這里a是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。

解無限長直線電流（產(chǎn)生的磁場為

圓環(huán)上的電流元/2d12受到的安培力為

由題2.15圖可知d/?=（-ersin+e,cos0）ad0

2兀

所以工,=J〃0叫‘2

（-e.sin。一excos0）d0=

2萬（d+acos（9）

0

2.16證明在不均勻的電場中，某一電偶極子P繞坐標原點所

受到的力矩為rx（p.V）E+pxE。

解如題2.16圖所示，設(shè)p=qd/（d/?l）,則電偶極子P繞

坐標原點所受到的力矩為

當d/?l時，有

故得到

三章習題解答

3.1真空中半徑為。的一個球面，球的兩極點處分別設(shè)置

點電荷夕和一4,試計算球赤道平面上電通密度的通量。（如

題3.1圖所示）。

解由點電荷4和一4共同

產(chǎn)生的電通密度為

赤道平面則球赤道平面上電通密度的題2.16圖

通量

3.21911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為％的球體原子模

型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為一Ze的電子云，在球心有一

正電荷Ze（Z是原子序數(shù)，e是質(zhì)子電荷量），通過實驗得到球

Ze（1Ir'

體內(nèi)的電通量密度表達式為4-----：,試證明之。

4萬（,廣己

解位于球心的正電荷Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為

題3.1圖

nZe

Q=e-~r

4〃尸

Ze3Ze

原子內(nèi)電子云的電荷體密度為夕=一獲3百=一而7

,p4兀，BZer

電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為O,=e,匕~~片---?

4〃廣4%ra

Ze（1r\

故原子內(nèi)總的電通量密度為。=9+。，=4^——

4武產(chǎn)司

題3.3圖（a）

3.3電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為00C/n?,兩圓柱面

半徑分別為a和8，軸線相距為c（c<b-。），如題3.3圖（a）所示。求空間各部分的電場。

解由于兩圓柱面間的電荷不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為。的小

圓柱面內(nèi)看作同時具有體密度分別為±。0的兩種電荷分布，這樣在半徑為b的整個圓柱體內(nèi)具有

體密度為％的均勻電荷分布，而在半徑為。的整個圓柱體內(nèi)則具有體密度為一4的均勻電荷分

布，如題3.3圖（份所示?？臻g任一點的電場是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。

在r>b區(qū)域中，由高斯定律J??dS=",可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點P產(chǎn)生

Js4

22f

的電場分別為居“篝=察,_,—7iuPo_Po0，

色I_erT~一｝72

2%廠220r

題3.3圖3)

點P處總的電場為E=E]+E；=（—j------^-）

2%rr

在r<b且r'>a區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點P產(chǎn)生的電場分別為

點P處總的電場為E=%+耳=魯（r一7）

2%r

在，<。的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負電荷在點P產(chǎn)生的電場分別為

點P處總的電場為E=E,+E；=f（r-r'）=

242%

3.4半徑為。的球中充滿密度。（廣）的體電荷，己知電位移分布為

r3+Ar2（r<a）

Dr=\a5+Aa4其中A為常數(shù)，試求電荷密度。（力。

——s—（r>d）

Ir~

解：由V.O=夕，有0（/）=▽.￡>=]

廠dr

1

故在r＜a區(qū)域p(r)=4]且+Ar)]-%(5/+4Ar)

廠dr

2

在，〉a區(qū)域p(r)=￡0-^-―[r("，，")]=0

廠drr~

3.5一個半徑為。薄導體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為。為的體電

荷，球殼上又另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為E=e,(r/a)4,設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算:

(1)球內(nèi)的電荷分布；(2)球殼外表面的電荷面密度。

解(1)由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為

a3

(2)球體內(nèi)的總電量。為Q=Jpdr=J644/dr=4%%"

r0a

球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應電荷-Q,而且在球殼外表面上還要感應電荷。，所以

球殼外表面上的總電荷為2Q,故球殼外表面上的電荷面密度為b==24

^7la

3.6兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為r=。和r=b3＞a),圓柱表面分別帶有密度為2

和%的面電荷。(1)計算各處的電位移僅)；(2)欲使廠＞人區(qū)域內(nèi)。o=O,則%和％應具有

什么關(guān)系？

解(1)由高斯定理J&o,dS=4,當r＜a時，有Ooi=0

S

當。＜廠＜。時，有2%江＞0,=2萬,則。(ruer"1

r

當匕＜r＜oo時，有2萬“)03=2萬町+2成s,則D-e"5+

03rr

(2)令003=e,但土生1=0,則得到之=一2

-r/a

3.7計算在電場強度E=ej+e,x的電場中把帶電量為-2〃C的點電荷從點^(2,1,-1)移

到點6(8,2,-1)時電場所做的功：(1)沿曲線》=2/；(2)沿連接該兩點的直線。

解(1)W=jF?dZ=^jE^dl-q^Evdx4-Evd^=

ccc

(2)連接點到點(8,2,-1)直線方程為

x-2x—8

----=-----即x-6y+4=0

y-ly-2

_22

故W="ydx+xdy=4yd(6y-4)+(6y-4)dy=^J(12^-4)dy=14^=-28xl0-6(J)

c11

3.8長度為L的細導線帶有均勻電荷，其電荷線密度為夕,0。(1)計算線電荷平分面上任意

點的電位。；(2)利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場E，并用E=-V。核對。

解(1)建立如題3.8圖所示坐標系。根據(jù)電位的積分表達式，線電荷平分面上任意點P的

電位為

9(r,0)=j—筑，-,2=

-L/24兀r"+z'"

(2)根據(jù)對稱性，可得兩個對稱線電荷元0odz'在點P

的電場為

故長為L的線電荷在點尸的電場為

由E=-▽。求E，有

3.9已知無限長均勻線電荷q的電場￡=?不也，試

2九

題3.8圖rp

用定義式9”)=j￡?d/求其電位函數(shù)。其中7為電位參考點。

解3⑺=[E?dl=f———dr=Inr[p=In—

r

?.?2萬/r2TT￡02兀％

由于是無限長的線電荷，不能將》選為無窮遠點。

3.10一點電荷+4位于(),0),另一點電荷一2g位于(a,0,0),求空間的零電位面。

解兩個點電荷+4和-2q在空間產(chǎn)生的電位

12

令叭x,y,z)=Q,則有/不一~不~0n

yj(x+a)-+y-+zyj(x-a)-+y+z

即4Kx+a)2++z2]=(x-a)2+y2+z2

故得(x+gay+V+z?=(ga)2

54

由此可見，零電位面是一個以點(一]a,0,0)為球心、為半徑的球面.

Ze1r23

3.11證明習題3.2的電位表達式為°(r)=-----(-----1-------------)

4%r1ra2ra

Ze

解位于球心的正電荷Ze在原子外產(chǎn)生的電通量密度為〃=e,.「丁

電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為。2=e,=-e,；

所以原子外的電場為零。故原子內(nèi)電位為

3.12電場中有一半徑為。的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為

(1)求圓柱內(nèi)、外的電場強度；

(2)這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。

解(1)由￡=77。，可得到時，E=-\7(p-0

32a,2

r>a時，E=7。=-er-^[A(r--)cos(/)]-[A(r——)cos=

drrrd^)r

(2)該圓柱體為等位體，所以是由導體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為

3.13驗證下列標量函數(shù)在它們各自的坐標系中滿足VV=0

(1)sin(H)sin(僅)e-辰其中=公+廣；

(2)r”[cos(〃。)+Asin(沏)]圓柱坐標；

(3)廣"cos(〃。)圓柱坐標；

(4)rcos。球坐標；

(5)廠2cos。球坐標。

解(1)在直角坐標系中駕+駕+號

dxdydz

而一v=-7[sin(Ax)sin(ly)e~hz]=-k2sin(fcc)sin(ly)e"hz

SrSr

故二(一公一/+02)sin(")sin(ly)e-hz=0

(2)在圓柱坐標系中力^二,^^竺升半7+空

rdrdr丫時dz

而7而"~^=~r~dr^^/'[cos(〃0)+Asin(〃。)]}=n2rn_2[cos(n^)+Asin(H^)]

故^^夕二。

/_、1d,d(p、\d5/人】]2—n—2Z/、

(3)---(r—)=----{(r—[rrcos(/2^)|}=rrrcos(n^)

rdrdrrdrdr

故vZeuO

(4)在球坐標系中VV=3e?(/竺)+—1-----(sin^―)+212—T

r2drdrr2sin0dOdOr2sin20d(/)~

(r2—)=-^—[r2—(rcos^)]=—cos^

rdrdrrdrdrr

故v2e=o

(5)4■梟戶學)=4■梟/梟尸2cos6>)]=4-COS6?

rdrdr廣dr