高中數(shù)學題型全面歸納（學生版）：第四節(jié)解三角形

第四節(jié)解三角形

考綱解讀

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關

的實際問題.

命題趨勢探究

1.本節(jié)為高考的必考和重點考查內容，在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn),

并越來越成為三角函數(shù)部分的核心考點.

2.題型有三：一是解三角形出現(xiàn)邊角互化求角、求邊；二是三角形形狀判定；

三是最值問題.

題型和分值較穩(wěn)定，且有逐漸上升趨勢，屬中等難度.

知識點精講

在AABC中，角A3,C所對邊依次為a/,c.

1?角的關系

A+8+C=180",sinA=sin（5+C）cosA=-cos（B+C）,tanA=-tan（B+C）,

.AB+CA,B+C

sin—=cos-------,cos—=sin-------.

2222

2.正弦定理

nhc

「===一^=2R（2R為AABC的外接圓的直徑）.

smAsinBsinC

正弦定理的應用：

①已知兩角及一邊求解三角形.

②已知兩邊及其中一邊的對角，求另一對角：

>1,無解

TT

若a〈b,已知角A求角B.sin8=?=l,8=5；

<1,兩解（一銳角、一鈍角）

若a〉b,已知角A求角B,一解（銳角）.

3.余弦定理

c2=a2+b~-2a6cosc（已知兩邊a,b及夾角C求第三邊c）

2>2_2

=（已知三邊求角）.

余弦定理的應用：

①已知兩邊及夾角求解第三邊；

②已知三邊求角；

③已知兩邊及一邊對角不熟第三邊.

4.三角形面積公式

=—ah=—abs\x\C=—/?csinA=LesinB.

2222

題型歸納及思路提示

題型67正弦定理的應用

思路提不

(1)已知兩角及一邊求解三角形；

(2)已知兩邊一對角；.

,大角求小角一解(銳)

‘兩解一sinA<1(一銳角、一鈍角)

小角求大角一，一解一sinA=l(直角)

無解一sinA>1

(3)兩邊一對角，求第三邊.

一、利用正弦定理解三角形

53

例4.39已知AABC中，34=吉網113=14=1求85(7及邊長。

評注本題已知兩角及一邊，用正弦定理：在AABC中,

A>B<=>a>bsinA>sinB.

變式1在AABC中，角ARC所對邊依次為a/,c,a=0"=2,

sinB+cosB=J5,則角A的大小為.

例4.40在ZVLBC中，角A,8,C所對邊依次為4也0,/8=30。,「=6,記。=/（初

若函數(shù)g（a）=/（。）-左伏是常數(shù)）只有一個零點，則實數(shù)%的取值范圍是（）.

A伙|0<左43或左=6}8伙|34人46}C伙|A26}D.{k\k>6^k=3}

評注三角形問題一般先根據(jù)題意作出圖形，抓住已知量，充分想到三角形

的邊角關系及正弦定理，并盡可能轉化和構造直角三角形.

變式1(1)在AABC中，已知角A&C所對的邊分別為a,b,c,且b=30,a=2,

如果三角形有解，則角A的取值范圍是;

(2)在AABC中，已知角AB,。所對的邊分別為。也3且人=La=2,如果三角形

有解，則角B的取值范圍是;

(3)在AABC中，已知角A,5,C所對的邊分別為“/,c,且。=26,c=3,如果三

角形有解，則角C的取值范圍是

變式2在A48C中，內角A,8,C的對邊分別是a,b,c,若c=2a,

bsinB-asinA=—asinC.則sinB為（）

,V7B.2D.1

A.----c旦

4433

二、利用正弦定理進行邊角轉化

例4.41在AABC中，若A=2B,則1?的取值范圍為（）.

b

A.（1,2）8.（1,百）C.（V2,2）D.（血,百）

評注在—BC中，利用正弦定理一進行邊與角的轉化,

sinAsinBsmC

在條件中有邊也有角時，一般考慮統(tǒng)一成邊或角的形式，再由兩角和與差的公

式來求解.

變式1（1）若在銳角AABC中，若A=2B,則；的取值范圍為

（2）若在直角4WC中，若A=2B,則?的取值集合為

（3）若在鈍角AABC中，若A=2B,則*的取值集合為_________

b

變式2在AABC中，B=60,AC=^3,則AB+2BC的最大值為

變式3已知a,b,c，分別為AABC三個內角A,B,C的對邊，

acosC+43asinc-b-c=0,

(1)求A；(2)若a=2,AABC的面積為百，求。,c.

TT

變式4在AABC中，角ARC的對邊分別為a,8,c,已知A=：,

4

TTTT

/7sin(—4-C)-csin(—+B)=a,

44

JT

(1)求證：B-C=-;(2)若a=Z，求AABC的面積.

題型68余弦定理的應用

思路提不

(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊.

(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值,

>0,則AABC為銳角三角形

若余弦值<=0,則△ABC為直角三角形.

<0,則△ABC為鈍角三角形

一、利用余弦定理解三角形

例4.42在AABC中，b=l,c=?NC=g,則①a=.

②NB=.

變式1在AABC中，a=3,b=2y/6,ZB=2ZA,,

⑴求cosA的值；（2）求c的值.

變式2在AABC中，若。=21+c=7,cosB=—!，貝！JZ?=

變式3已知AABC的三邊長成公比為0的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值

為

例4.43在AABC中，角A,3,C所對邊的長分別為a,b,c,若/+/=2。2,則

cosC的最小值為（）.

A.2B.旦

22《叫

變式1在A4BC中,角式aC所對邊分別為。也c,若a+c=LNB=30。,求。的

取值范圍.

變式2在AABC中，角所對邊分別為a,4c,若8=4.NB=60,,求5必比的

最大值.

二、利用余弦定理進行邊角轉化

例4.44在AABC中，角A,B,C所對邊分別為?,b,c,若(a2+c2-/?2)tanB=百ac,則

角B的值為（）.

冗*或笄

A4.—

64

變式1在AABC中,角所對邊分別為a,b,c,且

2asinA=(2b+c)sin3+(2c+b)sinC.

(1)求A的值；(2)求sinB+sinC的最大值.

變式2在銳角三角形中，角所對邊分別為兄4c,若2+：=6COSC,則

ab

tanCtanC

------+-------=.

tanAtanB

變式3在AABC中，角ABC所對邊分別為a,》,c,且

a2-c2=2b,sinAcosC=3cosAsinC，求Zz

題型69判斷三角形的形狀

思路提示

(1)求最大角的余弦，判斷AABC是銳角、直角還是鈍角三角形.

(2)用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等

邊還是直角三角形.

例4.45在AABC中，若sinC=2cosAsin6,則此三角形必為().

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

變式1設AABC的內角為A,8,C所對邊分別為a,b,c,若。cosC+c、cos8=asinA,

則AABC的形狀為（）.

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

變式2在AABC中，若sir?A+sin?3<sin?C,則AABC的形狀為（).

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

變式3已知AABC中，cos24=宇，則AABC的形狀為().

22c

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角

形

變式4(1)已知函數(shù)/(x)MCOSNx+26sinxcosx-sin?尤.

求的最小正周期和值域；

A

⑵在AABC中，角A,B,C所對邊分別為a,仇c,若/(亍)=2且/=兒，試判斷

AABC的形狀.

題型70正、余弦定理與的綜合

思路提示

先利用平面向量的有關知識如向量數(shù)量積將向量問題轉化為三角函數(shù)形

式，再利用三角函數(shù)轉化求解.

例4.46在A46C中，角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且通.而=麗.比=1.

(1)求證：A=8;(2)求邊長c的值；

(3)若|通+恁卜逐，求AABC的面積.

評注①+②得平行四邊形公式：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四邊的平

方和，即在CJABCO中，AD-+BC2=2AB-+2AC2.

變式1在A4BC中，AB=2,AC=3,福?比=1,則BC=().

A乖B.yflC.2夜D.y/23

變式2在AABC中，角A,8,C所對邊分別為a,"c,A=^,（l+百）c=28.

6

⑴求c；(2)若屈0=1+6,求仇C.

變式3在AABC中，角A,B,C所對邊分別為a,仇c,且cos4=±^，而/=3.

25

(1)求AABC的面積；(2)"c=6,求。的值.

變式4在AA8C中，角A,8,C所對邊分別為a,"c,且Z?cosC=3acos8-ccos8

(1)求cosB的值；(2)若赤灰=2,且b=2正，求"和c的值.

題型71解三角形的實際應用

思路提示

根據(jù)題意畫出圖形，將題設已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關

系，利用三角知識求解.

例4.47如圖4-36所示，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.

一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直

線步行到C,現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行,速度為50m/min,

在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B,在B處停留Imin后，再從B處勻速步行

到C.假設纜車勻速直線運動的速度為了130m/min,山路AC長為1260m,經測量,

cosA=——,cosC=二.

135

(1)求索道AB的長；

(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離

最短？

(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3

分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

評注解三角形應用題問題，關鍵是能根據(jù)實際問題的背景建立三角形的模型，

再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特別注意結果要符合題意，并帶上

單位.

最有效訓練題20(限時45分鐘)

1.在AABC中，角A,8,c所對邊分別為“/C若角AB,C依次成等差數(shù)列，且

a=l,b=百,則SAABC=().

A.y/2B.%C.y/3D2

2.AABC的三個內角A民。所對邊分別為a,"c,qsinAsinB+Ocos?4=缶，則

/()?

A2GB.2V2C.V3D.V2

122

3.已知AABC的三邊長分別為a,b,c,且面積SMBC+c-a),則

44=().

A15°8.30°C.450DI20°

4.在A48c中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且2ccosB=2a+h,若AA3C

百

的面積S=Ylc,則必的最小值為()

12

111

A.—B.—C.-D.3

236

5..在AABC中，sin2A<sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是().

兀7C式TC

A(0,-lC.(0,-]D.[-,7T)

oo3