專題5.4 一次函數的應用-最大利潤問題（壓軸題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題5.4一次函數的應用——最大利潤問題【典例1】天水市某商店準備購進A、B兩種商品，A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多20元，用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數量相同．商店將A種商品每件的售價定為80元，B種商品每件的售價定為45元．（1）A種商品每件的進價和B種商品每件的進價各是多少元？（2）商店計劃用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，其中A種商品的數量不低于B種商品數量的一半，該商店有幾種進貨方案？（3）“五一”期間，商店開展優(yōu)惠促銷活動，決定對每件A種商品售價優(yōu)惠m10<m<20元，B種商品售價不變，在（2）的條件下，請設計出m的不同取值范圍內，銷售這40【思路點撥】（1）設A種商品每件的進價為x元，B種商品每件的進價為x-20元，然后根據“用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數量相同”的等量關系列分式方程解答即可；（2）設購進A種商品a件，購進B種商品40-a件，再根據“商店計劃用不超過1560元的資金半”和“A種商品的數量不低于B種商品數量的一半”兩個等量關系，列不等式組確定出a的整數值即可；（3）設銷售A、B兩種商品總獲利y元，然后列出y與a和m的關系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三種情況分別解答，最后再進行比較即可．【解題過程】解：（1）設A種商品每件的進價為x元，B種商品每件的進價為x-20元．依題意得2000x=1200經檢驗x=50是原方程的解且符合題意當x=50時，x-20=30．答：A種商品每件的進價為50元，B種商品每件的進價為30元；（2）設購進A種商品a件，購進B種商品40-a件，依題意得50a+30(40-a)?1560解得403∵a為整數∴a=14,15,16,17,18．∴該商店有5種進貨方案；（3）設銷售A、B兩種商品總獲利y元，則y=80-50-m①當m=15時，15-m=0，y與a的取值無關，即（2）中的五種方案都獲利600元；②當10<m<15時，15-m>0，y隨a的增大而增大，∴當a=18時，獲利最大，即在（2）的條件下，購進A種商品18件，購進B種商品22件，獲利最大；③當15<m<20時，15-m<0，y隨a的增大而減小，∴當a=14時，獲利最大，∴在（2）的條件下，購進A種商品14件，購進B種商品26件，獲利最大．1．（2022秋·安徽合肥·八年級校聯考期中）某商業(yè)集團新進了40臺空調機，60臺電冰箱，計劃調配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店，30臺給乙連鎖店．兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤(單位：元)如下表：空調機電冰箱甲連鎖店200170乙連鎖店160150設集團調配給甲連鎖店x臺空調機，集團賣出這100臺電器的總利潤為y(元)．（1）求y關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；（2）為了促銷，集團決定僅對甲連鎖店的空調機每臺讓利a元銷售，其他的銷售利潤都不變，并且讓利后每臺空調機的利潤比甲連鎖店銷售每臺電冰箱的利潤至少高出10元，問該集團應該如何設計調配方案，能使總利潤達到最大．【思路點撥】（1）根據題意首先設調配給甲連鎖店電冰箱（70-x）臺，調配給乙連鎖店空調機（40-x）臺，電冰箱60-（70-x）=（x-10）臺，列出不等式組求解即可；（2）由（1）可得幾種不同的分配方案；依題意得出y與a的關系式，解出不等式方程后可得出使利潤達到最大的分配方案．【解題過程】解：（1）由題意可知，調配給甲連鎖店電冰箱

（70-x）調配給乙連鎖店空調機（40-x）臺，電冰箱為則y=200x+170（即y=20x+16800．∵x≥070-x≥0∴10≤x≤40．∴y=20x+16800（（2）由題意得：y=（即y=（∵200-a≥170+10，∴a≤20．當0＜a＜20時，20-a＞0，函數y隨x的增大而增大，故當x=40時，總利潤最大，即調配給甲連鎖店空調機40臺，電冰箱30臺，乙連鎖店空調0臺，電冰箱30臺；當a=20時，x的取值在10≤x≤40內的所有方案利潤相同.2．（2023春·福建泉州·八年級校考期中）2022年北京冬奧會和冬殘奧會點燃了全民健身熱情，冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜愛．某電商網店抓住了這次冬奧商機，從廠家選中了兩種吉祥物擺件進行網上銷售．已知“冰墩墩”擺件的銷售單價比“雪容融”擺件的銷售單價貴30元．據調查，該網店3600元銷售“冰墩墩”擺件的數量與2700元銷售“雪容融”擺件的數量是相同的．（1）求這兩種擺件的銷售單價．（2）已知“冰墩墩”擺件的進價是每個80元，“雪容融”擺件的進價是每個60元．第二次進貨時，廠家為了促銷“雪容融”擺件，規(guī)定“冰墩墩”擺件進貨數量不得超過“雪容融”擺件進貨數量的一半．該電商網店計劃購進兩種擺件90個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【思路點撥】（1）設“冰墩墩”擺件的銷售單價為x元，則“雪容融”擺件的銷售單價為（x-30）元，由題意：該網店3600元銷售“冰墩墩”擺件的數量與2700元銷售“雪容融”擺件的數量是相同的．列出分式方程，解方程即可；（2）設購進“冰墩墩”擺件m個，則購進“雪容融”擺件（90-m）個，由題意：規(guī)定“冰墩墩”擺件進貨數量不得超過“雪容融”擺件進貨數量的一半．列出一元一次不等式，解得m≤30，設銷售利潤為w元，再求出w=10m+2700，然后由一次函數的性質即可得出結論．【解題過程】（1）解：設“冰墩墩”擺件的銷售單價為x元，則“雪容融”擺件的銷售單價為（x-30）元，根據題意得：3600x解得：x=120，經檢驗，x=120是原方程的解，且符合題意，∴x-30=120-30=90，答：“冰墩墩”擺件的銷售單價是120元，“雪容融”擺件的銷售單價是90元；（2）（2）設購進“冰墩墩”擺件m個，則購進“雪容融”擺件（90-m）個，由題意得：m≤12（90-m解得：m≤30，設銷售利潤為w元，由題意得：w=（120-80）m+（90-60）×（90-m）=10m+2700，∵10＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=30時，w的值最大=10×30+2700=3000，此時，90-m=60，答：購進“冰墩墩”擺件30個，則購進“雪容融”擺件60個，才能獲得最大利潤，最大利潤是3000元．3．（2023春·北京海淀·八年級校考期中）某商店出售普通練習本和精裝練習本，150本普通練習本和100本精裝練習本銷售總額為1450元；200本普通練習本和50本精裝練習本銷售總額為1100元．（1）求普通練習本和精裝練習本的銷售單價分別是多少？（2）該商店計劃再次購進500本練習本，普通練習本的數量不低于精裝練習本數量的3倍，已知普通練習本的進價為2元/個，精裝練習本的進價為7元/個，設購買普通練習本x個，獲得的利潤為W元；①求W關于x的函數關系式②該商店應如何進貨才能使銷售總利潤最大？并求出最大利潤．【思路點撥】（1）設普通練習本的銷售單價為m元，精裝練習本的銷售單價為n元，根據等量關系式：150本普通練習本銷售總額＋100精裝練習本銷售額=1450元；200本普通練習本銷售額+50精裝練習本銷售額=1100（2）①購買普通練習本x個，則購買精裝練習本500-x個，根據總利潤=普通練習本獲得的利潤+精裝練習本獲得的利潤，列出關系式即可；②先求出x的取值范圍，根據一次函數的增減性，即可得出答案．【解題過程】（1）解：設普通練習本的銷售單價為m元，精裝練習本的銷售單價為n元，根據題意得：150m+100n=1450200m+50n=1100解得：m=3n=10答：普通練習本的銷售單價為3元，精裝練習本的銷售單價為10元．（2）解：①購買普通練習本x個，則購買精裝練習本500-x個，根據題意得：W=3-2②∵普通練習本的數量不低于精裝練習本數量的3倍，∴x≥3500-x解得：375≤x<500，∵W=-2x+1500中k=-2<0，∴W隨x的增大而減小，∴當x=375時，W取最大值，500-375=125（個），W最大答：當購買375個普通練習本，125個精裝練習，銷售總利潤最大，最大總利潤為750元．4．（2023春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期末）某水果店經銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如下表所示：進貨批次甲種水果質量（單位：千克）乙種水果質量（單位：千克）總費用（單位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙兩種水果的進價；（2）銷售完前兩次購進的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3360元．將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價格銷售．若第三次購進的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數m的最大值．【思路點撥】（1）設甲種水果的進價為每千克a元，乙種水果的進價為每千克b元，根據總費用列方程組即可；（2）設水果店第三次購進x千克甲種水果，根據題意先求出x的取值范圍，再表示出總利潤w與x的關系式，根據一次函數的性質判斷即可．【解題過程】（1）設甲種水果的進價為每千克a元，乙種水果的進價為每千克b元．根據題意，得60a+40b=1520,解方程組，得a=12,答：甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元．（2）設水果店第三次購進x千克甲種水果，則購進200-x千克乙種水果，根據題意，得12x+20200-x解這個不等式，得x≥80．設獲得的利潤為w元，根據題意，得w=17-12∵-5<0，∴w隨x的增大而減小．∴當x=80時，w的最大值為-35m+1600．根據題意，得-35m+1600≥800．解這個不等式，得m≤160∴正整數m的最大值為22．5．（2023春·全國·八年級假期作業(yè)）某市為創(chuàng)建“全國文明城市”，計劃購買甲、乙兩種樹苗綠化城區(qū)，購買50棵甲種樹苗和20棵乙種樹苗需要5000元，購買30棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗需要2800元．（1）求購買的甲、乙兩種樹苗每棵各需要多少元．（2）經市綠化部門研究，決定用不超過42000元的費用購買甲、乙兩種樹苗共500棵，其中乙種樹苗的數量不少于甲種樹苗數量的14（3）在（2）的條件下，如何購買樹苗才能使總費用最低？【思路點撥】（1）設甲種樹苗每棵x元，乙種樹苗每棵y元，根據：“購買50棵甲種樹苗和20棵乙種樹苗共需5000元，購買30棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗共需2800元”列方程組求解可得；（2）設購買的甲種樹苗a棵，則購買乙種樹苗500-a棵，由題意列出一元一次不等式組，則可得出答案；（3）設購買的甲種樹苗a棵，則購買乙種樹苗500-a棵，總費用為W，即可得出W關于a的函數關系，再根據一次函數的性質可解決最值問題．【解題過程】解：（1）設購買的甲種樹苗的單價為x元，乙種樹苗的單價為y元．依題意得：50x+20y=500030x+10y=2800解這個方程組得：x=60答：購買的甲種樹苗的單價是60元，乙種樹苗的單價是100元；（2）設購買的甲種樹苗a棵，則購買乙種樹苗500-a棵，由題意得，60a+100(500-a)≤42000500-a≥解得，200≤a≤400．∴甲種樹苗數量a的取值范圍是200≤a≤400．（3）設購買的甲種樹苗a棵，則購買乙種樹苗500-a棵，總費用為W，∴W=60∵-40<0，∴W值隨a值的增大而減小，∵200≤a≤400，∴當a=400時，W取最小值，最小值為50000-40×400=34000元．即購買的甲種樹苗400棵，購買乙種樹苗100棵，總費用最低．6．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期末）某商場準備購進甲乙兩種服裝進行銷售．甲種服裝每件進價160元，售價220元；乙種服裝每件進價120元，售價160元．現計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于60件．設購進甲種服裝x件，兩種服裝全部售完，商場獲利y元．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）若購進100件服裝的總費用不超過15000元，求最大利潤為多少元？（3）在（2）的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a0<a<20元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝每件進價減少b元，售價不變，且a-b=4，若最大利潤為4950元，請直接寫出a【思路點撥】（1）由總利潤等于兩種服裝的利潤之和可得函數關系式．（2）先求解自變量x的取值范圍，再根據一次函數增減性求最值．（3）先建立總利潤關于x的函數關系式，再結合一次函數的性質，建立關于a，b的方程組求值即可．【解題過程】（1）解：由題意得：y=（220-160）x+（160-120）×（100-x）=20x+4000，（2）由題意得：x≥60160x+120×(100-x)≤15000∴60≤x≤75，∵y=20x+4000中，20＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當x=75時，y最大=20×75+4000=5500（元）．（3）∵a-b=4，∴b=a-4，由題意得：y=（220-160-a）x+（160-120+b）（100-x）=（60-a）x+（40+b）×100-（40+b）x=（24-2a）x+100a+3600．∵60≤x≤75，0＜a＜20，∴當0＜a＜12時，24-2a＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當x=75時，y最大=（24-2a）×75+100a+3600=4950，∴a=9，符合題意．當a=12時，y=100×12+3600=4800≠4950，不合題意．當12＜a＜20時，24-2a＜0，y隨x的增大而減?。喈攛=60時，y最大=（24-2a）×60+100a+3600=4950，∴a=4.5，不合題意，舍去．綜上，a=9．7．（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？计谀┰诜酪咝鹿跔畈《酒陂g，市民對醫(yī)用口罩的需求越來越大．某藥店第一次用3000元購進醫(yī)用口罩若干個，第二次又用3000元購進該款口罩，但第二次每個口罩的進價是第一次進價的1.25倍，購進的數量比第一次少200個．（1）求第一次和第二次分別購進的醫(yī)用口罩數量為多少個？（2）藥店第一次購進口罩后，先以每個4元的價格出售，賣出了a個后購進第二批同款口罩，由于進價提高了，藥店將口罩的售價也提升至每個4.5元繼續(xù)銷售賣出了b個后，因當地醫(yī)院醫(yī)療物資緊缺，將其已獲得口罩銷售收入6400元和剩余全部的口罩捐贈給了醫(yī)院．求藥店捐贈口罩至少有多少個？【思路點撥】（1）設第一次購進醫(yī)用口罩的數量為x個，根據題意給出的等量關系即可求出答案．（2）由（1）可知兩次購進口罩共1800個，由題意可知：4a+4.5b=6400，所以a=1600-98b≤1000【解題過程】解：（1）設第一次購進口罩的數量為x個，則第二次購進(x-200)個根據題意得:1.25×得x=1000經檢驗1000是原方程的解并符合題意∴1000-200=800個答:第一次購進100個，第二次購進800個（2）由（1）知兩次購進口罩800個由題意得4a+5b=6400a=1600-得b≥533設捐贈口罩y個則y=1800-a-b=1800-1600+=∵k=∴y隨b的增大而增大又∵b為8的倍數∴當b=536時，y取最小值y=答：藥莊捐贈口罩267個8．（2023春·四川德陽·八年級四川省德陽市第二中學校?？计谥校┪錆h某文化公司向市場投放A型和B型商品共200件進行試銷．A型商品成本價140元/件，B型商品成本價120元/件，要求兩種商品的總成本價不超過26400元，已知A型商品的售價為200元/件，B型商品的售價為170元/件，全部售出且獲得的利潤不低于10800元．設該公司投放A型商品x件，銷售這批商品的利潤為y元．（1）求y與x之間的函數解析式．并求出x的取值范圍；（2）要使這批商品的利潤最大，該公司應該向市場投放多少件A型商品？最大利潤是多少？（3）該公司決定在試銷活動中每售出一件A型商品，就從一件A型商品的利潤中捐慈善資金aa>0元，當該公司售完這200件商品并捐獻資金后獲得的最大收益為10960元時．求a【思路點撥】（1）根據題意即可得出y與x之間的函數關系式，根據兩種商品的總成本價不超過26400元，全部售出且獲得的利潤不低于10800元，列不等式組可得x的范圍；（2）根據一次函數的性質解答即可；（3）根據題意得y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000，再根據一次函數的性質解答即可．【解題過程】（1）根據題意得，y=（200-140）x+（170-120）×（200-x），即y=10x+10000，∵兩種商品的總成本價不超過26400元，全部售出且獲得的利潤不低于10800元，∴140x+120(200-x)≤2640010x+10000≥10800解得80≤x≤120，答：y與x之間的函數解析式為y=10x+10000，x的取值范圍是80≤x≤120；（2）由（1）可知：y=10x+10000（80≤x≤120），∵10＞0，∴y隨x的增大而增大，當x=120時，y=10×120+10000=11200，答：該公司應該向市場投放120件A型商品，最大利潤為11200元；（3）根據題意可知一共捐出ax元，∴y=10x+10000-ax=（10-a）x+10000，當10-a＜0時，y=（10-a）x+10000的最大值小于10000，不符合最大收益為10960元，∴這種情況不存在；當10-a＞0時，x=120，y取最大值，∴120（10-a）+10000=10960，∴a=2，答：a的值為2．9．（2023春·全國·八年級專題練習）我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運完A、B、C三種臍橙共100噸到外地銷售．按計劃，20輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種臍橙．且必須裝滿，根據下表組織的信息，解答以下問題．臍橙品種ABC每輛汽車運載量（噸）654每噸臍橙獲利（元）120016001000（1）設轉運A種臍橙的車輛數為x，轉運B種臍橙的車輛數為y，求y與x的函數表達式；（2）如果轉運每種臍橙的車輛數都不少于4，那么車輛的安排方案有幾種？（3）若要使此次銷售獲利最大，應采用哪種安排方案？并求出此時最大利潤的值．【思路點撥】（1）根據題意列式：6x+5y+420-x-y=100，整理后即可得到（2）根據裝運每種水果的車輛數都不少于4輛，x≥4，-2x+20≥4，解不等式組即可；（3）設利潤為W元，則W=-4800x+1600004≤x≤8【解題過程】（1）根據題意，裝運A種水果的車輛數為x，裝運B種水果的車輛數為y，∴裝運C種水果的車輛數為20-x-y，∴6x+5y+420-x-y整理得y=-2x+20．（2）由（1）知，裝運A，B，C三種水果的車輛數分別為x，-2x+20，x，由題意得-2x+20≥4，解得x≤8，∵x≥4，∴4≤x≤8．∵x為整數，∴x的值為4，5，6，7，8，∴安排方案共有5種．（3）設利潤為W元，∴W=6x×1200+5=-4800x+160000，因為-4800<0，且x的值為4，5，6，7，8，∴W的值隨x的增大而減小，∴當x=4時，銷售利潤最大．當裝運A種水果4車，B種水果12車，C種水果4車，銷售獲利最大．最大利潤W=-4800×4+160000=140800（元）．10．（2023春·廣東茂名·八年級?？茧A段練習）某電商根據市場需求購進一批A，B兩種型號的電腦小音箱進行銷售，每臺B型音箱的進價比A型音箱的進價多10元，用6000元購進A型音箱與用8000元購進B型音箱的臺數相同．（1）求A，B兩種型號的電腦小音箱的單價；（2）該電商計劃購進A，B兩種型號的電腦小音箱共100臺進行銷售，其中A型音箱臺數不小于B型音箱臺數的3倍，A型音箱每臺售價35元，B型音箱每臺售價48元，怎樣安排進貨才能使售完這100臺電腦小音箱所獲利潤最大？最大利潤是多少元？（3）為滿足不同顧客的需要，該電商準備新增購進進價為每臺20元的C型音箱，A，B兩種型號音箱仍按需購進，進價不變，A型音箱的臺數是B型音箱臺數的5倍，共花費20000元，則該電商至少可以購進三種型號音箱共多少臺？【思路點撥】（1）設每臺A型音箱的進價為x元，每臺B型音箱的進價為x+10元，由題意得：6000x（2）設最大利潤是w元，購進a臺A型音箱，則購進100-a臺B型音箱，由題意得：w=35-30a+48-40100-a=-3a+800，由A型音箱臺數不小于B型音箱臺數的3（3）設購進b臺B型音箱，則購進5b臺A型音箱，購進三種音箱共n臺，則購進的C型音箱n-6b臺，由題意得：30×5b+40b+20n-6b=20000，解得n=1000-72b，由n>6b，可得1000-72b>6b，解得b<105519，由b為正整數且為【解題過程】（1）解：設每臺A型音箱的進價為x元，每臺B型音箱的進價為x+10元，由題意得：6000x解得x=30，經檢驗，x=30是原分式方程的解，且符合題意，∴x+10=40，答：每臺A型音箱的進價為30元，則每臺B型音箱的進價為40元；（2）解：設最大利潤是w元，購進a臺A型音箱，則購進100-a臺B型音箱，由題意得：w=35-30∵A型音箱臺數不小于B型音箱臺數的3倍，∴a≥3100-a，解得a≥75∵k=-3<0，∴w隨x的增大而減小，∴當a=75時，w取最大值，最大值為575；答：購進75臺A型音箱，購進25臺B型音箱所獲利潤最大，最大利潤是575元；（3）解：設購進b臺B型音箱，則購進5b臺A型音箱，購進三種音箱共n臺，則購進的C型音箱n-6b臺，由題意得：30×5b+40b+20n-6b解得n=1000-7∵n>6b，∴1000-72b>6b∵b為正整數且為2的倍數，∴b≤104，∵-7∴n隨b的增大而減小，當b=104時，n最小，n=1000-7答：該電商至少可以購進三種型號音箱共636臺．11．（2023春·八年級課時練習）“平遙古城三件寶，漆器牛肉長山藥．”平遙推光漆器因其歷史悠久和獨特的制作工藝，和福州脫胎漆器、揚州漆器、成都漆器并稱為中國四大漆器．某漆器廠清明前生產A、B兩種首飾盒，若生產10件A首飾盒和20件B首飾盒，共需投入成本3100元；若生產20件A首飾盒和10件B首飾盒，共需投入成本3800元．（1）每件A，B首飾盒的生產成本分別是多少元？（2）該廠準備用不超過12900元的資金生產這兩種首飾盒共100件，且要求生產A首飾盒數量不少于B首飾盒數量的2倍，問共有幾種生產方案？（3）將漆器供應給商場后，每件A首飾盒可獲利100元，每件B首飾盒可獲利40元，在（2）的前提下，請你設計出總獲利最大的生產方案，并求出最大總獲利．【思路點撥】（1）設每件A首飾盒的生產成本是x元，每件B首飾盒的生產成本是y元，根據“生產10件A首飾盒和20件B首飾盒，共需投入成本3100元；若生產20件A首飾盒和10件B首飾盒，共需投入成本3800元”列二元一次方程組，求解即可；（2）設該廠生產B首飾盒m件，根據用不超過12900元的資金生產這兩種首飾盒共100件，且要求生產A首飾盒數量不少于B首飾盒數量的2倍列一元一次不等式組，求解即可；（3）設該廠總獲利w元，表示出w與m的函數關系式，根據一次函數的性質即可確定獲利最大時的生產方案．【解題過程】（1）解：設每件A首飾盒的生產成本是x元，每件B首飾盒的生產成本是y元，根據題意，得10x+20y=310020x+10y=3800解得x=150y=80答：每件A首飾盒的生產成本是150元，每件B首飾盒的生產成本是80元．（2）設該廠生產B首飾盒m件，根據題意，得100-m≥2m150解得30≤m≤100∴m取正整數：30，31，32，33，∴共有4種生產方案．（3）設該廠總獲利w元，根據題意，得w=100100-m∵-60<0，∴w隨著m的增大而減小，∴當m=30時，w取最大值，最大利潤=-60×30+10000=8200元，100-30=70（件），∴生產A首飾盒70件，B首飾盒30件時總獲利最大，最大利潤為8200元．12．（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）“雙減”政策頒布后，各校重視了延時服務，并在延時服務中加大了體育活動的力度．某體育用品商店抓住商機，計劃購進300套乒乓球拍和羽毛球拍進行銷售，其中購進乒乓球拍的套數不超過150套，他們的進價和售價如下表：商品進價售價丘乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知購進2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費110元，購進4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費260元．（1）求出a，b的值；（2）該店面根據以往的銷售經驗，決定購進乒乓球拍套數不少于羽毛球拍套數的一半．設購進乒乓球拍x套，售完這批體育用品獲利y元．①求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；②該商品實際采購時，恰逢“618”購物節(jié)，乒乓球拍的進價每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的進價不變．已知商店的售價不變，這批體育用品能夠全部售完．則如何購貨才能獲利最大？【思路點撥】（1）根據購進2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費110元，購進4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費260元，列出方程組，解方程組即可；（2）①根據總利潤=乒乓球拍的利潤+羽毛球拍的利潤列出函數解析式，再根據購進乒乓球拍的套數不超過150套，購進乒乓球拍套數不少于羽毛球拍套數的一半求出自變量的取值范圍；②根據總利潤=乒乓球拍的利潤+羽毛球拍的利潤列出函數解析式，再根據函數的性質求最值．【解題過程】（1）根據題意：2a+b=1104a+3b=260解得a=35b=40答：a的值為35，b的值為40；（2）①由題意得：y=(45-35)x+(52-40)(300-x)=-2x+3600，∵購進乒乓球拍的套數不超過150套，∴x≤150，∵購進乒乓球拍套數不少于羽毛球拍套數的一半，∴x≥1解得：x≥100，則x的取值范圍為：100≤x≤150，∴y與x的函數關系式為y=-2x+3600，x的取值范圍為：100≤x≤150；②由題意得：y=45-35+n∵0<n<10，∴當0<n<2即n-2<0時，y隨x的增大而減小，∴當x=100時，y有最大值100n-2∴乒乓球拍購進100套，羽毛球拍購進200套能獲利最大；當2<n<10時，即n-2>0時，y隨x的增大而增大，∴當x=150時，y有最大值150n-2乒乓球拍購進150套，羽毛球拍購進150套能獲利最大；當n=2時，無論購多少套，只要滿足100≤x≤150，利潤都是3600．13．（2023春·八年級課時練習）我校八年級組織“義賣活動”，某班計劃從批發(fā)店購進甲、乙兩種盲盒，已知甲盲盒每件進價比乙盲盒少5元，若購進甲盲盒30件，乙盲盒20件，則費用為600元．方案評價表方案等級評價標準評分合格方案僅滿足購進費用不超額1分良好方案盲盒全部售出所得利潤最大，且購進費用不超額3分優(yōu)秀方案盲盒全部售出所得利潤最大，且購進費用相對最少4分（1）求甲、乙兩種盲盒的每件進價分別是多少元？（2）該班計劃購進盲盒總費用不超過2200元，且甲、乙盲盒每件售價分別為18元和25元．①若準備購進甲、乙兩種盲盒共200件，且全部售出，則甲盲盒為多少件時，所獲得總利潤最大？最大利潤為多少元？②因批發(fā)店庫存有限（如下表），商家推薦進價為12元的丙盲盒可供選擇．經討論，該班決定購進三種盲盒，其中庫存的甲盲盒全部購進，并將丙盲盒的每件售價定為22元．請你結合方案評價表給出一種乙、丙盲盒購進數量方案．盲盒類型甲乙丙批發(fā)店的庫存量（件）1007892進貨量（件）100______________________【思路點撥】（1）設甲盲盒的每件進價是x元，則乙盲盒的每件進價是（x+5）元，根據題意可得30x（2）①設購進甲盲盒m件（m≤200），則購進乙盲盒（200-m）件，售出所得利潤為w元，根據購進盲盒總費用不超過2200元，列不等式并求解可得160≤m≤200，則盲盒售出后總利潤w=-2m+2000，由一次函數的性質即可獲得答案；②設購進乙盲盒a件(a≤78)，購進丙盲盒b件(b≤92)【解題過程】（1）解：設甲盲盒的每件進價是x元，則乙盲盒的每件進價是（x+5）元，根據題意，可得30x解得x=10元，則x所以，甲盲盒的每件進價是10元，乙盲盒的每件進價是15元；（2）解：①設購進甲盲盒m件（m≤200），則購進乙盲盒（200-m）件，售出所得利潤為w根據題意，購進盲盒總費用不超過2200元，可得10m解得m≥160∴160≤m∵甲、乙盲盒每件售價分別為18元和25元，∴w=(18-10)m+(25-15)(200-∵k=-2<0∴w隨m的增大而減小，∴當m=160時，有w答：當甲盲盒為160件時，所獲得總利潤最大，最大利潤,1680元；②設購進乙盲盒a件(a≤78)，購進丙盲盒b件根據題意，購進盲盒總費用不超過2200元，∴10×100+15a∴5a設全部售出所獲得利潤為w'則w'∴w'∴當b=92時，w'可取最大值，此時，5a∴a≤6.4∵a為正整數，∴a=6∴購進乙盲盒6件，購進丙盲盒92件時，盲盒全部售出所得利潤最大，且購進費用相對最少．故答案為：6，92．14．（2023春·河北保定·八年級?？计谥校┠壳叭蚨荚卺槍π鹿谝咔樽鞣e極防控，大型公共場所經常用到消毒產品消毒．某工廠計劃生產A、B兩種消毒產品共80箱，需購買甲、乙兩種材料．已知生產一箱A產品需甲種材料3千克，乙種材料1千克；生產一箱B產品需甲、乙兩種材料各2千克．經測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金60元；購買甲種材料3千克和乙種材料2千克共需資金140元．（1）甲、乙兩種材料的單價分別為每千克多少元？（2）現工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過8800元，且生產B產品不少于38箱，問符合生產條件的生產方案有哪幾種？（3）在（2）的條件下，若生產一箱A產品需加工費40元，若生產一箱B產品需加工費50元，應選擇哪種生產方案，使生產這80箱產品的成本最低？(成本=材料費+加工費)【思路點撥】（1）設甲種材料每千克x元，乙種材料每千克y元，根據“購買價格=甲材料單價×數量+乙材料單價×數量”列出關于x、（2）設生產A產品a箱，生產B產品(80-a)箱，根據“購買材料錢=生產A產品的箱數×A產品所需材料錢+生產B產品的箱數×B產品所需材料錢”結合購買資金不能超過8800元且生產B產品不少于38箱，得出關于a的一元一次不等式組，解不等式即可得出結論；（3）設生產成本為W元，根據數量關系尋找出W關于a的函數關系式，由一次函數的性質即可得出結論．【解題過程】（1）設甲種材料每千克x元，乙種材料每千克y元，依題意得：x+y=603x+2y=140解得x=20y=40答：甲種材料每千克20元，乙種材料每千克40元；（2）設生產A產品a箱，生產B產品(80-a)箱，依題意得

3×20a+40a+2×20×80-a解得40≤a≤42，∵a的值為非負整數∴a=40、41、42；答：共有如下三種方案：方案1.A產品40箱，B產品40箱，方案2.A產品41箱，B產品39箱，方案3.A產品42箱，B產品38箱；（3）生產A產品42箱，B產品38箱，成本最低．理由如下：設生產成本為W元，則W與a的關系式為：W=(20×3+40×1+40)a+(20×2+40×2+50)(80-a)=-30a+13600，即W是a的一次函數，∵k=-30<0∴W隨a增大而減少，∴當a=42時，總成本最低；所以選擇方案3：生產A產品42箱，B產品38箱，成本最低，為12340元．15．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學校聯考期末）本學期初二年級舉辦了籃球比賽，為了讓參賽的運動員更好地訓練，體育組計劃購買甲，乙兩種品牌的籃球，已知甲品牌籃球的單價比乙品牌籃球的單價低40元，且用4800元購買甲品牌籃球的數量是用4000元購買乙品牌籃球數量的32（1）求甲、乙兩種品牌籃球的單價．（2）若學校計劃購買甲、乙兩種品牌的籃球共90個，且乙品牌籃球的數量不小于甲品牌籃球數量的2倍，購買兩種品牌籃球的總費用不超過17200元．則該校共有幾種購買方案？（3）在（2）條件下，專賣店準備對乙種品牌的籃球進行優(yōu)惠，每個乙種籃球優(yōu)惠a元30<a<50，甲種籃球價格不變，那么學校采用哪一種購買方案可使總費用最低？【思路點撥】（1）設甲品牌籃球的單價為x元，則乙品牌籃球的單價為x+40元，根據用4800元購買甲品牌籃球的數量是用4000元購買乙品牌籃球的數量的32（2）根據總費用不超過17200元及乙品牌籃球的數量不小于甲品牌籃球數量的2倍列不等式組求解即可得到答案；（3）設總利潤為W，根據總利潤等于兩種籃球的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性分情況討論求解即可．【解題過程】（1）解：設甲品牌籃球的單價為x元，則乙品牌籃球的單價為x+40元，由題意可得，4800x解得：x=160，經檢驗x=160是原方程的解，則x+40=160+40=200，答：甲、乙兩種品牌籃球的單價分別為：160元，200元；（2）解：設購買甲品牌籃球m個，則購買乙品牌籃球90-m個，由題意可得，90-m≥2m160m+20090-m≤17200解得：20≤m≤30，且m為整數，∴該校共有11種購買方案；（3）解：設總利潤為W，則W=160m+200-a①當40<a<50時，a-40>0，W隨m的增大而增大，所以，當m=20時，W有最小值，W最小即此時應購進甲品牌籃球20個，購進乙品牌籃球70個；②當a=40時，a-40=0，W=18000-90a，（2）中所有方案獲利都一樣；W最?、郛?0<a<40時，a-40<0，W隨m的增大而減小，所以，當m=30時，W有最小值，W最小即此時應購進甲品牌籃球30個，購進乙品牌籃球60個．16．（2022春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一三四中學?？茧A段練習）商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為40000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元．（1）求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．①求y關于x的函數關系式：②該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？（3）實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調m(0<m<100)元，且限定商店最多購進A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據以上信息及（2）中條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．【思路點撥】（1）設每臺A型加濕器和B型加濕器的銷售利潤分別為a元，b元，然后根據題意列出二元一次方程組解答即可；（2）①據題意得即可確定y關于x的函數關系式，利用A型利潤與B型利潤即可求出總利潤y與x的關系，并確定x的范圍即可；②根據一次函數的增減性，解答即可；（3）根據題意列出函數數關系式，分以下三種情況①0<m<50，②m=50，③50<m<100時，m-50>0結合函數的性質，進行求解即可．【解題過程】（1）設每臺A型電腦的銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元，根據題意得：{解得{答：每臺A型電腦的銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元；（2）①設購進A型電腦x臺，每臺A型電腦的銷售利潤為100元，A型電腦銷售利潤為100x元,每臺B型電腦的銷售利潤為150元，B型電腦銷售利潤為150(100-x)元y=100x+150(100-x)，即這100臺電腦的銷售總利潤為:y=-50x+15000；100-x≤2x，解得x≥3313．且y=-50x+15000，(x≥331②∵y=-50x+15000中，k=-50<0，∴y隨x的增大而減?。選為正整數，x≥33∴當x=34時，y取得最大值，此時100-x=66．答：商店購進A型電腦34臺，B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大；（3）根據題意得y=(100+m)x+150(100-x)，即y=(m-50)x+15000，其中3313≤x≤70①當0<m<50時，k=m-50<0，∴y隨x的增大而減小，∴當x=34時，y取得最大值，即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦才能獲得最大利潤；②當m=50時，k=m-50=0，∴y=15000，即商店購進A型電腦數量滿足331③當50<m<100時，k=m-50>0，∴y隨x的增大而增大．∴當x=70時，y取得最大值．即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤．17．（2022春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？奸_學考試）“紅纈退風花著子，綠針浮水稻抽秧”這是宋朝詩人姚孝錫所作．詩中詠誦的“水稻”是我國種植的重要經濟作物．某村在政府的扶持下建起了水稻種植基地，準備種植甲，乙兩種水稻，若種植20畝甲種水稻和30畝乙種水稻，共需投入22萬元；若種植30畝甲種水稻和20畝乙種水稻，共需投入23萬元．（1）種植甲，乙兩種水稻，每畝各需投入多少萬元？（2）經測算，種植甲種水稻每畝可獲利a（a>0且a為常數）萬元，種植乙種水稻每畝可獲利0.8萬元，村里投入50萬元用來種植這兩種水稻，若要求甲種水稻的種植面積不能少于乙種水稻種植面積的65倍，且不能多于乙種水稻種植面積的165倍．設種植乙種水稻m畝，該村種植兩種水稻共獲利W萬元，請求出W關于m的函數表達式，并求出最大獲利（用含【思路點撥】（1）設種植甲種水稻每畝需投入x萬元，種植乙種水稻每畝需投入y萬元,根據等量關系：種植20畝甲種水稻和30畝乙種水稻，共需投入22萬元；若種植30畝甲種水稻和20畝乙種水稻，共需投入23萬元．列方程組，解方程組即可；（2）根據乙種m畝，求出甲種100-45m畝，根據不等關系列出不等式組100-45m≤165【解題過程】（1）解：設種植甲種水稻每畝需投入x萬元，種植乙種水稻每畝需投入y萬元，根據題意，得：20x+30y=2230x+20y=23解得x=0.5y=0.4，答種植甲種水稻每畝需投入0.5萬元，種植乙種水稻每畝需投入0.4萬元；（2）解：設種植乙種水稻m畝，∴乙種水稻投入0.4m，∴甲種水稻投入(50-0.4m)萬元，∴甲種水稻種植50-0.4m÷0.5=根據題意得65即100-4解不等式①得m≥25，解不等式②得m≤50，∴25≤m≤50，W=a?100-45m當0.8-45a＜0，即a∴m=25時，W最大=100a+0.8-當0.8-45a=0，W當0.8-45a＞0，即a∴當m=50時，W最大=100a+0.8-綜合最大利潤為（80a+20）萬元．18．（2022春·重慶·八年級重慶市第十一中學校?？计谥校┣迕鞴?jié)，除了掃墓踏青之外，傳統(tǒng)時令小吃——青團也深受大家歡迎，知味觀推出一款鮮花牛奶青團和一款芒果青團，鮮花牛奶青團每個售價是芒果青團的54倍，4月份鮮花牛奶青團和芒果青團總計銷售60000個，且鮮花牛奶青團和芒果青團銷售量之比為5:7，鮮花牛奶青團銷售額為250000（1）求鮮花牛奶青團和芒果青團的售價？（2）5月份正值知味觀店慶，決定再生產12000個青團回饋新老顧客，但考慮到芒果青團較受歡迎，同時也考慮受機器設備限制，因此芒果青團的個數不少于鮮花牛奶青團個數的32，且不多于鮮花牛奶青團的2倍，其中，鮮花牛奶青團每個讓利a元銷售，芒果青團售價不變，并且讓利后的鮮花牛奶青團售價不得低于芒果青團售價的7【思路點撥】（1）由鮮花牛奶青團和芒果青團銷售量之比為5:7可設鮮花牛奶青團有5x個，芒果青團銷售7x個，根據鮮花牛奶青團和芒果青團總計銷售60000個列方程可求出鮮花牛奶青團和芒果青團銷售量，再根據鮮花牛奶青團銷售額為250000元可得出結論；（2）設生產芒果青團m個，則生產鮮花牛奶青團（12000-m）個，根據“芒果青團的個數不少于鮮花牛奶青團個數的32；不多于鮮花牛奶青團的2倍”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，由讓利后的鮮花牛奶青團售價不得低于芒果青團售價的78，可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，設總銷售額w元，根據總銷售額=銷售單價×銷售數量，即可得出w關于【解題過程】（1）∵鮮花牛奶青團和芒果青團銷售量之比為5:7，∴設鮮花牛奶青團有5x個，芒果青團銷售7x個，根據題意得，5x+7x=60000解得，x=5000∴5x=25000,7所以，鮮花牛奶青團有25000個，芒果青團銷售35000個，設芒果青團的單價為y元/個，則鮮花牛奶青團的單價為54y元25000×5解得，y=8∴54∴鮮花牛奶青團和芒果青團的售價分別為10元和8元；（2）設生產芒果青團m個，則生產鮮花牛奶青團（12000-m）個，依題意，得：m≥3解得：7200≤m≤8000．∵讓利后的鮮花牛奶青團售價不得低于芒果青團售價的78∴10-a≥78×8∴a≤3．設總銷售額w元，則w=（10-a）（1200-m）+8m=（a-2）m+1200（10-a）．當0＜a＜2時，a-2＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m=7200時，w取得最大值；當a=2時，a-2=0，w為定值；當2＜a≤3時，a-2＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=8000時，w取得最大值．答：當0＜a＜2時，生產芒果青團7200個、鮮花牛奶青團4800個，使總銷售額最大；當a=2時，生產芒果青團不少于7200個、不超過8000個，總銷售額不變；當2<a≤3時，生產芒果青團8000個、鮮花牛奶青團4000個，使總銷售額最大．19．（2023春·湖南長沙·八年級期中）某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多400元，商場用80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等．（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？（2）現在商場準備一次購進這兩種家電共100臺，設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤y元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，且購進電冰箱不多于40臺，請確定獲利最大的方案以及最大利潤．（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調k(0<k<100)元，若商店保持這兩種家電的售價不變，請你根據以上信息及（2）中條件，設計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案．【思路點撥】（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為(x+400)元，根據商城用“80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等”（2）設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，則y=(2100-2000)x+(1750-1600)(100-x)=-50x+15000，由題意：購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，且購進電冰箱不多于40臺，列出不等式組，解得3313≤x≤40，再由x為正整數，的x=34，35，36，37，38，39，40（3）當電冰箱出廠價下調k(0<k<100)元時，則利潤y=(k-50)x+15000，分三種情況討論：當k-50>0；當k=50時；當【解題過程】解：（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為(x+400)元，根據題意得：80000x+400解得：x=1600，經檢驗，x=1600是原方程的解，且符合題意，x+400=1600+400=2000，答：每臺空調的進價為1600元，則每臺電冰箱的進價為2000元．（2）設購進電冰箱x臺，這1