專題50 多線段的最值問(wèn)題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問(wèn)題專題訓(xùn)練

專題50多線段的最值問(wèn)題【規(guī)律總結(jié)】【典例分析】例1．（2020·樂(lè)山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，等腰的底邊，面積為120，點(diǎn)P在邊BC上，且，是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．17【答案】A【分析】根據(jù)題意連接交與，再依據(jù)垂直平分線性質(zhì)得出，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間線段最短求出AF的值即可得出周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：如圖，連接交與，因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以，的周長(zhǎng)，因?yàn)闉槎ㄖ担援?dāng)最小時(shí)，周長(zhǎng)最小因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以最小值為，過(guò)作于點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)槊娣e為，，所以，因?yàn)椋?，，在中，根?jù)勾股定理得，，所以，所以的周長(zhǎng)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形和垂直平分線性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線上到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2020·浙江嘉興市·八年級(jí)期末）如圖，內(nèi)有一定點(diǎn)P，且，在上有一動(dòng)點(diǎn)Q，上有一動(dòng)點(diǎn)R，若周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接與OA、OB分別相交于點(diǎn)Q、R，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，從而得到△PQR的周長(zhǎng)，并且此時(shí)有最小值，連接，再求出為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接與OA、OB分別相交于點(diǎn)Q、R，所以，，，所以，的周長(zhǎng)，由兩點(diǎn)之間線段最短得，此時(shí)周長(zhǎng)最小，連接，則所以，所以，為等腰直角三角，所以，，即最小周長(zhǎng)是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于作輔助線得到與周長(zhǎng)相等的線段．例3．（2020·浙江金華市·九年級(jí)期末）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸于點(diǎn)B，在x軸上有動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為，若，求m的值；（3）如圖2，當(dāng)，將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接，求的最小值．【答案】（1），；（2）m=；（3）．【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線解析式，得方程即可求出a，再根據(jù)AB兩點(diǎn)用待定系數(shù)法可以確定直線AB解析式；

（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解決問(wèn)題；（3）在y軸上取一點(diǎn)使得，構(gòu)造相似三角形，可以證明就是的最小值【詳解】解：（1）把點(diǎn)代入拋物線解析式得：16a+4(a+3)+3=0，

解得：，∴拋物線解析式為：，∴A（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線AB解析式為（2）如圖1，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，

∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，∵NE//OB，，∵A（4，0），B（0，3），∴，，∴，∴，∵拋物線解析式為，∴，∴，解得m=或4，

經(jīng)檢驗(yàn)m=4是分式方程的增根，

∴m=；（3）如圖2，在y軸上取一點(diǎn)使得連接，

∵，，∴，，∵，

∴，，∴，∴，∴當(dāng)B、、三點(diǎn)共線時(shí)，最?。▋牲c(diǎn)間線段最短），此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為，即最小值=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，列出關(guān)于m的方程是解題答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段就是．【好題演練】一、單選題1．（2020·廣西貴港市·中考真題）如圖，動(dòng)點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則線段的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE，交DC于點(diǎn)P，連接PE，由軸對(duì)稱的性質(zhì)及90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可知線段PE＋PM的最小值為OE的值減去以AB為直徑的圓的半徑OM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解答：解：作點(diǎn)E關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)E，設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OE，交DC于點(diǎn)P，連接PE，如圖：

∵動(dòng)點(diǎn)M在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)，且AM⊥BM，

∴點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，OM＝AB＝1，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，

∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴DE＝AD＝×2＝1，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)E關(guān)于DC對(duì)稱，

∴DE＝DE＝1，PE＝PE，

∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，

在Rt△AOE中，OE＝＝＝，

∴線段PE＋PM的最小值為：

PE＋PM

＝PE＋PM

＝ME

＝OE?OM

＝?1．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題、圓周角定理的推論、正方形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東肇慶市·八年級(jí)期末）如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP=AQ=2cm，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最?。钚≈礟E+PQ=PE+EQ′=PQ′，【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BC，

∵BD⊥AC，

∴AD=DC=3.5cm，

作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時(shí)PE+EQ的值最?。钚≈禐镻E+PQ=PE+EQ′=PQ′，

∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，

∴QD=DQ′=1.5（cm），

∴CQ′=BP=2（cm），

∴AP=AQ′=5（cm），

∵∠A=60°，

∴△APQ′是等邊三角形，

∴PQ′=PA=5（cm），

∴PE+QE的最小值為5cm．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題．二、填空題3．（2020·廣州白云廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為D，且與軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____【答案】【分析】先把拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，則有點(diǎn)D的坐標(biāo)為，假設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C，連接BD，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，根據(jù)題意易得BC=3，，由勾股定理可得BD=6，進(jìn)而可得∠CDB=30°，則，所以把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，最后由點(diǎn)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)取最小，即為AM的長(zhǎng)，則問(wèn)題可求解．【詳解】解：由拋物線可得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，假設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C，連接BD，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，如圖所示：∴AB=6，BC=3，，在Rt△DCB中，，∴∠BDC=30°，∠DBC=60°，∴，∴的最小值即為的最小值，∴當(dāng)點(diǎn)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，即為AM的長(zhǎng)，∴，∴的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的幾何綜合及三角函數(shù)，關(guān)鍵是由“胡不歸”法進(jìn)行求解最值，然后利用三角函數(shù)進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)．4．（2020·陜西渭南市·九年級(jí)期末）如圖，是⊙的一條弦，點(diǎn)是⊙上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，直線與⊙交于、兩點(diǎn)，若⊙的半徑為，則的最大值為_(kāi)______【答案】【分析】連接，，根據(jù)圓周角定理，求出，進(jìn)而判斷為等邊三角形，然后根據(jù)⊙的半徑為，可得，再根據(jù)三角形的中位線定理，求出的長(zhǎng)度，最后判斷出當(dāng)弦是圓的直徑時(shí)，弦長(zhǎng)度有最大值，進(jìn)而求出的最大值．【詳解】如圖，連接，．，，，為等邊三角形，⊙的半徑為，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，要求的最大值，即求的最大值，也就是弦長(zhǎng)度的最大值，當(dāng)弦是⊙的直徑時(shí)，弦的長(zhǎng)度有最大值，弦的長(zhǎng)度最大值為：，的最大值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握作輔助線解題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想．三、解答題5．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)八年級(jí)期末）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)D，E，且直線于點(diǎn)C．（1）如圖1，在y軸上有一長(zhǎng)為的線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），當(dāng)線段在y軸正半軸移動(dòng)時(shí)，求的最小值．（2）如圖2，將沿直線方向平移至點(diǎn)E恰好位于x軸上時(shí)，記作，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊所在的直線分別交直線于點(diǎn)K，H，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）或（，-）或（，）【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直得到直線，由此求出交點(diǎn)C（），連接OC，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F交y軸于R，連接OF，F(xiàn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OC于M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥OC于N，QH⊥PM于H，則四邊形QNMH是矩形，利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出，根據(jù)QN⊥OC，QH⊥PM，求得=，由PQ是定值即PH是定值，推出當(dāng)F、P、M三點(diǎn)共線且FM⊥OC時(shí)，的值最小，即有最小值，最小值為FM+PH，證明△COF是等邊三角形，OC=FC，求得FM=，即可計(jì)算FM+PH=，得到的最小值；（2）先求出E（0,1），D（，0），，DE=2，由平移及旋轉(zhuǎn)后得到OE1=，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)D2H=D2K時(shí)，②當(dāng)KH=KD2,時(shí)，③當(dāng)HK=HD2時(shí)，畫(huà)出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形求解．【詳解】（1）∵直線，直線，直線，∴，∴直線，解方程組，得，∴C（），連接OC，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F交y軸于R，連接OF，F(xiàn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OC于M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥OC于N，QH⊥PM于H，則四邊形QNMH是矩形，∵，∴，∴，∵QN⊥OC，QH⊥PM，∴=，∵PQ是定值即PH是定值，∴當(dāng)F、P、M三點(diǎn)共線且FM⊥OC時(shí)，的值最小，即有最小值，最小值為FM+PH，∵，∴，∵OC=OF，∴△COF是等邊三角形，OC=FC，∵，∴FM=，∴FM+PH=，即的最小值為；（2）∵直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)D，E，∴E（0,1），當(dāng)y=0時(shí)，得，解得x=，∴D（，0），∴OE=1，OD=，∵，∴,∴DE=2，將沿直線方向平移至點(diǎn)E恰好位于x軸上時(shí)，記作，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作，∴，，EE1∥AB，∴OE1=，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)D2H=D2K時(shí)，則∠D2HK=∠D2KH=，作D2Z⊥x軸，D2T∥x軸，O2T⊥x軸交x軸于W，則四邊形ZD2TW是矩形，∵∠OAB=，∴∠ZE1D2=∠HE1A=，∴D2Z=ZE1=，設(shè)O2W=a，則O2T=-a，E1W=，∵∠E1O2W+∠D2O2T=∠D2O2T+∠TD2O2=，∴∠E1O2W=∠TD2O2，∵∠T=∠E1WO2=，∴△D2O2T∽△O2E1W，∴，∴，解得a=，∴E1W=，∴OW=+，∴O2（，-）；②當(dāng)KH=KD2,時(shí)，∠D2HK=∠D2=，則D2H∥y軸，過(guò)點(diǎn)O2作O2S⊥x軸于S，∵∠SE1O2=，∴SO2=，E1S=，∴OS=，∴O2（，-）；③當(dāng)HK=HD2時(shí)，則∠HKD2=∠HD2K=，∵∠OAB=∠HKD2+∠HD2K=，∴點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，作O2V⊥x軸于V，∵∠E1O2V=，∴E1V=，O2V=，∴OV=∴O2（，），綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）或（，-）或（，）．．【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，勾股定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)及平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，這是一道圖形類的綜合題，較難．6．（2020·遼寧沈陽(yáng)市·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為16的菱形中，、為對(duì)角線，，點(diǎn)、分別是邊、邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接、、．（1）當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)分別是邊，邊的中點(diǎn)時(shí)．①求證：是等邊三角形；②若點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，則直接寫(xiě)出的最小值為_(kāi)_____；（2）若點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，則直接寫(xiě)出的最小值為_(kāi)_____；（3）若，交于點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)分別是線段、線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，則直接寫(xiě)出的最小值為_(kāi)_____．【答案】（1）①見(jiàn)解析；；②16；（2）；（3）【分析】（1）①證明證明△AED≌△BFD，推出DE=DF，∠BAD=∠EDF即可解決問(wèn)題．②作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接交AC于點(diǎn)G，此時(shí)最?。?）過(guò)點(diǎn)E作關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作F⊥BC，垂足為F，利用兩平行線間垂線段最短，結(jié)合解直角三角形求解即可；（3）如圖中，作點(diǎn)K關(guān)于DF的對(duì)稱點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M做DE的垂線，交DF為Q，交DE為P，此時(shí)，PQ+KQ最短，連接DM、作DG⊥EF于G，EH⊥AD于H．首先求出DE、DG的長(zhǎng)，再證明△DGK≌△MPD，推出MP=DG即可．【詳解】解：（1）①如圖，∵ABCD是菱形，∠DAC=60°，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=120°∴△ADB為等邊三角形∴∠ABD=∠CBD=60°∵點(diǎn)、點(diǎn)分別是邊，邊的中點(diǎn)∴AE=BF在△AED和△BFD中，∴△AED≌△BFD

∴DE=DF，∠ADE+∠BDE=∠FDB+∠BDE=60°，

∴∠EAF=60°，

∴△DEF為等邊三角形，②作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接交AC