專題01 側(cè)M型（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題01側(cè)M型【規(guī)律總結(jié)】模型一“豬蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】例1．（2020·遼寧大連市·七年級期末）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【分析】過點(diǎn)C作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明是解決本題的關(guān)鍵.例2．（2020·湖北武漢市·七年級期末）如圖，，平分，，，則__________．【答案】【分析】過E點(diǎn)作EM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結(jié)合∠B-∠D=28°即可求解．【詳解】解：過E點(diǎn)作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關(guān)鍵．例3．（2020·洛陽市第五中學(xué)九年級期中）已知：如圖1，，．（1）判斷圖中平行的直線，并給予證明；（2）如圖2，，，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，證明見解析；（2）∠P=3∠Q，證明解析．【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根據(jù)平行線的判定推出AB∥CD即可；延長EF交CD于F1，根據(jù)平行線性質(zhì)和已知求出∠AEF=∠EF1L，根據(jù)平行線的判定推出即可；

（2）作QR∥AB，PL∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．【詳解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，

證明如下：∵∠1=∠AMN，

∴∠1+∠2=180°，

∴∠AMN+∠2=180°，

∴AB∥CD；

延長EF交CD于F1，

∵AB∥CD，

∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，

∴EF∥HL；

（2）∠P=3∠Q，

證明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，

∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，

∴∠RQN=∠QND，

∴∠MQN=∠QMB+∠QND，

∵AB∥CD，PL∥AB，

∴AB∥CD∥PL，

∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，

∴∠MPN=∠PMB+∠PND，

∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，

∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，

∴∠MPN=3∠MQN，

即∠P=3∠Q；【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，平行線公理的推論．能正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【好題演練】1．（2020·廣西柳州市·七年級期末）如圖所示，如果AB∥CD，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】過E作EF∥AB，由平行線的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠α+∠AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠FED=∠EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∵∠β=∠AEF+∠FED，

又∵∠γ=∠EDC，

∴∠α+∠β-∠γ=180°，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．2．（2020·河南鄭州市·七年級期末）如圖，直線a//b，一塊含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如圖所示放置．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為（）

A．101° B．103° C．105° D．107°【答案】B【分析】如圖，首先證明∠AMO=∠2；然后運(yùn)用對頂角的性質(zhì)求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性質(zhì)求出∠AMO即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵直線a∥b，

∴∠AMO=∠2；

∵∠ANM=∠1，∠1=43°，

∴∠ANM=43°，

∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，

∴∠2=∠AMO=103°．

故選：B．【點(diǎn)睛】該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)．二、填空題3．（2020·浙江紹興市·七年級期末）如圖，已知AB//CD，，，，則____度．【答案】90【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EH∥AB，過點(diǎn)F作FG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，∴，，，，又∵，，∴，，∴，，∴，即：，∴．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角是解題的關(guān)鍵．4．（2015·山西九年級專題練習(xí)）如圖，l∥m，等邊△ABC的頂點(diǎn)A在直線m上，則∠=_________.【答案】20°【解析】試題分析：延長CB交直線m于D，根據(jù)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等解答即可，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠α．試題解析：如圖，延長CB交直線m于D，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵l∥m，∴∠1=40°．∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°．考點(diǎn)：1．平行線的性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)．三、解答題5．（2020·遼寧遼陽市·七年級期末）請你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（注：以上各問，只寫出探究結(jié)果，不用說明理由）【答案】（1）∠B+∠C=180o；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A+∠B+∠C=360o；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C=∠B【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”即可解答；（2）過點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可得出結(jié)論；（3）同樣過點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可得出結(jié)論；（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論；（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖（1）∵與平行，∴∠B+∠C=180o；（2）如圖（2），過點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；（3）如圖（3），過點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，即∠B+∠A+∠C=360o；（4）如圖（4），設(shè)BE與AC相交于D，∵與平行，∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；（5）如圖（5），設(shè)CF與AB相交于D，∵與平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解答的關(guān)鍵．6．（2020·云南昆明市·七年級期末）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)分別向上平移個(gè)單位長度，再向右平移個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，連接問題提出:（1）請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，，及四邊形的面積﹔拓展延伸:（2）如圖①，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.遷移應(yīng)用:（3）如圖②，點(diǎn)是線段上的個(gè)動點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上移動時(shí)(不與重合）給出下列結(jié)論：①的值不變，②的值不變，其中有且只有一個(gè)是正確的，請你找出這個(gè)結(jié)論并求其值.【答案】（1）；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）結(jié)論①正確，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律易得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，可證四邊形ABDC是平行四邊形，由平行四邊形的面積公式可求解；

（2）先計(jì)算出S△MAC=2，然后分M在x軸或y軸上兩種情況，根據(jù)三角形面積公式列方程求解，從而確定M的坐標(biāo)；

（3）作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得CD∥PE∥AB，則∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO．【詳解】解：（1）由題意可知：C點(diǎn)坐標(biāo)