專題03 難點(diǎn)探究專題：數(shù)軸上的動點(diǎn)問題之四大考點(diǎn)(原卷版)

專題03難點(diǎn)探究專題：數(shù)軸上的動點(diǎn)問題之四大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一數(shù)軸上的動點(diǎn)中求運(yùn)動的時間問題】 1【考點(diǎn)二數(shù)軸上的動點(diǎn)中求定值問題】 7【考點(diǎn)三數(shù)軸上的動點(diǎn)中找點(diǎn)的位置問題】 13【考點(diǎn)四數(shù)軸上的動點(diǎn)中幾何意義最值問題】 16【典型例題】【考點(diǎn)一數(shù)軸上的動點(diǎn)中求運(yùn)動的時間問題】例題：（2023秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上有、、三個點(diǎn)，分別表示有理數(shù)，，，動點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點(diǎn)移動，設(shè)移動時間為秒．(1)當(dāng)時，點(diǎn)到點(diǎn)的距離______；此時點(diǎn)所表示的數(shù)為______；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后也停止運(yùn)動，則點(diǎn)出發(fā)秒時與點(diǎn)之間的距離______；(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前，請求出點(diǎn)移動幾秒時恰好與點(diǎn)之間的距離為個單位？【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖：在數(shù)軸上，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是16，兩動點(diǎn)M、N同時從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸向點(diǎn)B運(yùn)動；點(diǎn)N以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后停留1秒，再從點(diǎn)A沿數(shù)軸向右到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)時，線段的長為________（直接填空）；當(dāng)時，線段的長為________（直接填空）；(2)在運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，求t的值；(3)當(dāng)線段的長為7時，直接寫出t的值．2．如圖1，、兩點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為和6．(1)直接寫出、兩點(diǎn)之間的距離___；(2)若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)表示的數(shù)；(3)如圖2，現(xiàn)有動點(diǎn)、，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)后立即以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運(yùn)動，求：當(dāng)時的運(yùn)動時間的值．3．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）知識準(zhǔn)備：數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離就是線段的長，且，AB的中點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為：．問題探究：在數(shù)軸上，已知點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是10．(1)求線段的長為___________；線段的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是___________．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離是___________；若該距離是8，則x=___________．(3)若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒6個單位長度的速度向右運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向左運(yùn)動．經(jīng)過多少秒，P、Q兩點(diǎn)相距6個單位長度？【考點(diǎn)二數(shù)軸上的動點(diǎn)中求定值問題】例題：點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長；(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使，若存在，求出點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由；(3)如圖，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，的中點(diǎn)為為靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動時，有兩個結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)論，并求出其值．【變式訓(xùn)練】1．閱讀下面的材料：如圖①，若線段在數(shù)軸上，A，B點(diǎn)表示的數(shù)分別為a，b，則線段的長（點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離）可表示為．請用上面材料中的知識解答下面的問題：如圖②，一個點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動1cm到達(dá)A點(diǎn)，再向左移動2cm到達(dá)B點(diǎn)，然后向右移動7cm到達(dá)C點(diǎn)，用1個單位長度表示1cm．(1)請你在數(shù)軸上表示出、、三點(diǎn)的位置，并直接寫出線段的長度；(2)若將點(diǎn)A向右移動cm，請用代數(shù)式表示移動后的點(diǎn)表示的數(shù)？(3)若點(diǎn)B以每秒2cm的速度向左移動至點(diǎn)，同時點(diǎn)A，點(diǎn)C分別以每秒1cm和4cm的速度向右移動至點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而變化？請說明理由．2．如圖，一個點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動到達(dá)A點(diǎn)，再向右移動到達(dá)B點(diǎn)，然后再向右移動到達(dá)C點(diǎn)，數(shù)軸上一個單位長度表示．(1)請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點(diǎn)的位置；(2)把點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離記為，則_______．(3)若點(diǎn)A沿數(shù)軸以每秒勻速向右運(yùn)動，經(jīng)過多少秒后點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為？(4)若點(diǎn)A以每秒的速度勻速向左移動，同時點(diǎn)B、點(diǎn)C分別以每秒、的速度勻速向右移動．設(shè)移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．3．如圖，記數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間線段長為，（單位長度），（單位長度），在數(shù)軸上，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．(1)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是_____，線段BC的長＝_____．(2)若線段以1個單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)B與C重合時，點(diǎn)B與點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？(3)若線段以1個單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)．①若數(shù)軸上兩個數(shù)為a、b，則它們的中點(diǎn)可表示為．則點(diǎn)M表示的數(shù)為_____，點(diǎn)N表示的數(shù)為______．（用代數(shù)式表示）②線段MN的長是否為定值，如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由．【考點(diǎn)三數(shù)軸上的動點(diǎn)中找點(diǎn)的位置問題】例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點(diǎn)與表示數(shù)﹣1的點(diǎn)重合，則此時表示數(shù)4的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)重合；(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點(diǎn)與表示數(shù)﹣2的點(diǎn)重合，回答下列問題：①表示數(shù)9的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)重合；②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)也重合，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為10（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），求A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是多少？③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x．當(dāng)PA+PB＝12時，直接寫出x的值．【變式訓(xùn)練】1．已知在數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為﹣2，6．(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B；(2)若同一時間點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運(yùn)動，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運(yùn)動，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運(yùn)動．①若點(diǎn)P向右運(yùn)動，幾秒后點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等？②若點(diǎn)P到A的距離是點(diǎn)P到B的距離的三倍，我們就稱點(diǎn)P是【A，B】的三倍點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P是【B，A】的三倍點(diǎn)時，求此時P對應(yīng)的數(shù)．2．如圖，已知為數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是20．(1)直接寫出線段的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；(2)若點(diǎn)在數(shù)軸上，且，直接寫出點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；(3)若熊大從點(diǎn)出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進(jìn)8個單位長度；同時熊二從點(diǎn)出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)12個單位長度它們在點(diǎn)處相遇，求點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；(4)若熊大從點(diǎn)出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)8個單位長度；同時熊二從點(diǎn)出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進(jìn)12個單位長度，當(dāng)它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求熊大所在位置點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)．【考點(diǎn)四數(shù)軸上的動點(diǎn)中幾何意義最值問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．因?yàn)?，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A，B，P分別表示數(shù)，2，x．

填空：因?yàn)榈膸缀我饬x是線段與的長度之和，而當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時，．所以的最小值是______；(2)解決問題：①直接寫出式子的最小值為_______；②直接寫出不等式的解集為_______；③當(dāng)a為_______時，代數(shù)式的最小值是2．（直接寫出結(jié)果）【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇·七年級期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離：因?yàn)椋缘膸缀我饬x就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與－1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．（?。┌l(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點(diǎn)A、B、P分別表示數(shù)－1、2、x，AB＝3∵的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時，PA＋PB＞3∴的最小值是3請你根據(jù)上述自學(xué)材料，探究解決下列問題：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)當(dāng)a為何值時，代數(shù)式的最小值是22．（2023·全國·七年級專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)問題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問題，借助數(shù)形結(jié)合的方法使復(fù)雜問題簡單化．材料一：我們知道|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點(diǎn)之間的距離；|a+b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，﹣b的兩點(diǎn)之間的距離；根據(jù)絕對值的幾何意義，我們可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由絕對值的幾何意義知：在數(shù)軸上x表示的點(diǎn)到3的距離等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其絕對值的幾何意義為：在數(shù)軸上x表示的點(diǎn)到﹣2的距離等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．由|x﹣1|+|x+2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)1和﹣2兩點(diǎn)的距離的和，要使和最小，則表示數(shù)x的這點(diǎn)必在﹣2和1之間（包括這兩個端點(diǎn)）取值．∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把數(shù)軸上表示x的點(diǎn)記為點(diǎn)P，由絕對值的幾何意義知：當(dāng)﹣2≤x≤1時，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，則點(diǎn)P必在﹣2的左邊或1的右邊，且到表示數(shù)﹣2或1的點(diǎn)的距