平穩(wěn)時(shí)間序列的線性模型

第八章平穩(wěn)時(shí)間序列的線性模型使用班級(jí)：08050641，08050642第八章平穩(wěn)時(shí)間序列的線性模型

〔補(bǔ)充〕8.1時(shí)間序列及其實(shí)例〔3〕8.2平穩(wěn)隨機(jī)序列及其線性模型〔4〕8.3各類線性模型的性質(zhì)〔23〕8.4模型識(shí)別與參數(shù)估計(jì)〔31〕8.1時(shí)間序列及其實(shí)例時(shí)間序列是隨機(jī)序列，即參數(shù)離散的隨機(jī)過(guò)程某地區(qū)1950年元月開(kāi)始每月月降水量8.2平穩(wěn)隨機(jī)序列及其線性模型滿足，與時(shí)間t無(wú)關(guān)8.2.1平穩(wěn)隨機(jī)序列〔1〕定義〔2〕平穩(wěn)時(shí)間序列的數(shù)字特征協(xié)方差：自協(xié)方差函數(shù)：自相關(guān)系數(shù)函數(shù)〔標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)〕性質(zhì)：對(duì)稱性質(zhì)初值有界〔3〕白噪聲序列離散白噪聲互不相關(guān)的，均值為零且方差相同的隨機(jī)變量序列，表示隨機(jī)誤差8.2.2平穩(wěn)時(shí)間序列的線性模型

均值為零的有理譜密度的平穩(wěn)序列可表示成以下三種模型。自回歸模型滑動(dòng)平均模型自回歸滑動(dòng)平均模型〔混合模型〕對(duì)于序列Zt的期望μ，可得序列〔1〕自回歸模型AR(p)任意時(shí)刻t的數(shù)值Wt可以表示成過(guò)去p個(gè)時(shí)刻Wt-1，Wt-2，……，Wt-p上的數(shù)值的線性組合再加上t時(shí)刻的白噪聲at?；騊為階數(shù)，為參數(shù)，且〔2〕滑動(dòng)平均模型MA(q)Wt表示成白噪聲在t和t以前的q+1個(gè)時(shí)刻上的數(shù)值的加權(quán)和q為階數(shù)，為參數(shù)，且〔3〕自回歸滑動(dòng)平均模型〔混合模型〕

ARMA(p,q)，p與q為混合模型的階數(shù)和

為參數(shù)

自回歸模型和滑動(dòng)平均模型是混合模型的特例。〔4〕有理譜密度Φ(z)與Θ(z)沒(méi)有公共因子，且Φ(z)與Θ(z)的零點(diǎn)全部在單位圓|z|=1外部。平穩(wěn)解定義：滿足上述的Φ(z)與Θ(z)，如果均值為零的平穩(wěn)序列Wt滿足混合模型方程，且當(dāng)時(shí)s>t，，那么稱Wt是隨機(jī)差分方程的平穩(wěn)解。定理：具有有理譜密度的均值為零的平穩(wěn)序列Wt

，一定是隨機(jī)差分方程的一個(gè)平穩(wěn)解，反之，方程的平穩(wěn)解一定具有有理譜密度。〔5〕算子表達(dá)式ARMA(p,q)模型：AR(p)模型：MA(q)模型：

B為延遲算子

那么得混合模型ARMA(p,q)8.2.3平穩(wěn)域和可逆域

平穩(wěn)域：p維歐式空間中的子集那么稱為ARMA模型的平穩(wěn)域可逆域：q維歐式空間中的子集那么稱為ARMA模型的可逆域例8.1

求AR(1)或ARMA(1,q)模型的平穩(wěn)域8.2.4格林函數(shù)及逆函數(shù)

〔1〕格林函數(shù)利用平穩(wěn)域，可得Φ(B)在|B|<1內(nèi)是可逆的那么為ARMA模型的傳遞函數(shù)MA模型說(shuō)明平穩(wěn)序列可用白噪聲表示為ARMA模型的格林函數(shù)MA(q)模型的格林函數(shù)〔2〕逆函數(shù)利用可逆域，可得Θ(B)在|B|<1內(nèi)是可逆的那么為ARMA模型的逆轉(zhuǎn)函數(shù)AR模型說(shuō)明白噪聲可用平穩(wěn)序列表示為ARMA模型的逆函數(shù)AR(p)模型的逆函數(shù)例8.2

求AR(1)模型的格林函數(shù)和傳遞函數(shù)解：所以，格林函數(shù)為傳遞函數(shù)為例8.3

求ARMA(1,1)模型的逆函數(shù)逆函數(shù)為：例8.4

求AR(2)模型的格林函數(shù)和傳遞函數(shù)格林函數(shù)：傳遞函數(shù)：解：返回8.3各類線性模型的性質(zhì)8.3.1偏相關(guān)函數(shù)

在平穩(wěn)隨機(jī)序列中取出一個(gè)片斷共k+1個(gè)自協(xié)方差函數(shù)：自相關(guān)系數(shù)函數(shù)：現(xiàn)用前面k項(xiàng)的線性組合，去估計(jì)Wk+1其中是系數(shù)，采用最小方差法得到的系數(shù)，化簡(jiǎn)得：歸一化得：其中規(guī)定Ф00=1，Фkk即是偏相關(guān)函數(shù)上面的方程可以用托布里茲〔Toeplitz〕矩陣來(lái)表示，表示矩陣形式的方程為尤爾-沃克〔Yule-Walker〕方程Фkk與ρk區(qū)別：ρk：表示與的線性聯(lián)系密切程度Фkk：表示與在中間量固定的條件下的線性聯(lián)系密切程度8.3.2線性模型的性質(zhì)

自回歸模型AR(p)

ρk拖尾，Фkk在k=p處截尾ρk拖尾：指隨著k無(wú)限增大以負(fù)指數(shù)的速度趨向于零，即當(dāng)k相當(dāng)大時(shí)此時(shí)Фkk截尾：自回歸模型AR(p)

ρk拖尾，Фkk在k=p處截尾滑動(dòng)平均模型MA(q)

Фkk

拖尾，ρk在k=q處截尾混合模型ARMA(p,q)

ρk拖尾，Фkk拖尾返回8.4模型識(shí)別與參數(shù)估計(jì)

8.4.1樣本自相關(guān)函數(shù)與樣本偏相關(guān)函數(shù)〔1〕樣本自相關(guān)函數(shù)〔樣本自相關(guān)系數(shù)函數(shù)〕對(duì)于平穩(wěn)序列自協(xié)方差函數(shù)：樣本自協(xié)方差函數(shù)：樣本自相關(guān)函數(shù)：當(dāng)n-k充分大時(shí)，一般取，n>50,k≈n/10

〔2〕樣本偏相關(guān)函數(shù)8.4.2模型類別和階數(shù)確實(shí)定AR(p)模型:Фkk在k=p處截尾當(dāng)k>p時(shí)，平均20個(gè)

中至多有一個(gè)那么就認(rèn)為Фkk在k=p