滬科版八年級(jí)下第19章 四邊形19.1 多邊形內(nèi)角和（市一等獎(jiǎng)）

由平面內(nèi)不在同一直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的封閉圖形叫做三角形三角形的定義：邊數(shù)若多于三條，那么將是什么圖形?怎樣定義？……多邊形：

類比推理，得出概念:四四邊五五邊若干多邊頂點(diǎn)內(nèi)角邊對(duì)角線（連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段）外角

一個(gè)多邊形，如果把它任何一邊雙向延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形．圖2比一比圖1

我們所研究的多邊形都指凸多邊形看一看四邊形五邊形六邊形八邊形……ABDCBADCFEDCBAEAHGFEDCB記作：四邊形ABCD記作：五邊形ABCDE記作：六邊形ABCDEF記作：八邊形ABCDEFGH想一想：觀察下面多邊形，它們的邊，角有什么特點(diǎn)？在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等，邊也都相等的多邊形叫做正多邊形．（1）我們知道三角形內(nèi)角和是多少？直角三角形90°+45°+45°=180°

正三角形與形狀有關(guān)嗎？

動(dòng)手操作，探索新知:（2）長(zhǎng)方形、正方形的內(nèi)角和是多少？4×90°=360°能猜想任意凸四邊形內(nèi)角和嗎？ABCD你有沒(méi)有什么方法證明你的猜想？任意凸四邊形內(nèi)角和①過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)角線1條，得到2個(gè)三角形，內(nèi)角和為2×180°=3600任意凸四邊形內(nèi)角和②畫2條對(duì)角線，在四邊形內(nèi)部交于一點(diǎn)，得到4個(gè)三角形，內(nèi)角和為4×180°-360°任意凸四邊形內(nèi)角和③若在四邊形內(nèi)部任取一點(diǎn)，如圖，也可以得到相應(yīng)的結(jié)論

任意凸四邊形內(nèi)角和④這個(gè)點(diǎn)還可以取在邊上（若此點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)化為第一種情況——連接對(duì)角線）內(nèi)角和為3×180°-180°對(duì)比以上方法，你認(rèn)為哪一種更容易操作？

ABCDE想一想這個(gè)五邊形的內(nèi)角和呢？1800×3=5400你能動(dòng)手做一做嗎?你能仿照五邊形分割成三角形的方法，選出你認(rèn)為最簡(jiǎn)單的一種分割六邊形并求其內(nèi)角和嗎？

ABCDEF．1800×4=7200按照第一種分割的做法來(lái)看：歸納總結(jié)多邊形邊數(shù)從一個(gè)頂點(diǎn)引出對(duì)角線數(shù)圖形分割成的三角形個(gè)數(shù)多邊形的內(nèi)角和456．．．……………………n22×180033×180044×1800n-2（n-2）×1800123n-3定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n一2）?180°（n為不小于3的整數(shù)）例1：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800度，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．

解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n-

2）

×180°=

1800°（n-

2）

=

10n=

12答:這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．練一練

1．十二邊形的內(nèi)角和等于_________________________．

2．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1080°，那么它是______邊形．（12-2）

?180°=1800°

3．小明想：2008年奧運(yùn)會(huì)在北京召開，設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)角和為2008?的多邊形圖案多有意義，小明的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？八練習(xí)：如圖，求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG

+∠G

的度數(shù)．

解：∵∠ABC+∠C+∠D+∠2=360°且∠E+∠EFG+∠1+∠3=360°∠1=∠A+∠G∠2+∠3=180°∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G=360°

+

360°

-180°=540°想一想：一個(gè)同學(xué)在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得的內(nèi)角和為1125度，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少加了一個(gè)內(nèi)角．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算回答這個(gè)多邊形是幾邊形？我們知道，三角形具有穩(wěn)定性．但是四邊形就不具有穩(wěn)定性（即邊長(zhǎng)確定后，但圖形形狀不能確定）如圖．在日常生活中四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛的應(yīng)用，例如活動(dòng)的鐵柵欄門，正是由于四邊形可以變動(dòng)，所以它可以拉開．也可以收攏．你能舉出應(yīng)用四邊形的不穩(wěn)定性的其他應(yīng)用嗎？問(wèn)題

大家清晨跑步嗎？小明就有每天堅(jiān)持跑步的好習(xí)慣，他怎樣跑步呢？右圖就是小明清晨沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周圍的小跑，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿降男Ч麍D．

請(qǐng)你觀察并思考如下幾個(gè)問(wèn)題:（1）小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角？在圖中標(biāo)出它們．ABCDE12345（2）他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？（3）在上圖中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小嗎？你是怎樣得到的？探索

（1）什么是三角形的外角？外角有什么性質(zhì)？

（2）類似地，在多邊形中找出外角多邊形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線的夾角，叫做多邊形的外角．DEABCF

多邊形外角與相鄰內(nèi)角之間有什么關(guān)系？各內(nèi)角與相鄰?fù)饨腔猷徰a(bǔ)角

例

如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？AFEDBC

n邊形外角和是多少度?探究發(fā)現(xiàn)

外角和=n個(gè)平角-內(nèi)角和

結(jié)論：n邊形的外角和等于360°=n×180°-（n-2）×180°=360°例2：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設(shè)它是n邊形，則（n-2）·180=3×360解得：n=8答：它是8邊形（1）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是600，這個(gè)多邊形是幾邊形？它的內(nèi)角和等于多少度?（2）有沒(méi)有這樣的多邊形，它的內(nèi)角和是外角和的3倍？

（3）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角都比外角大900，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

強(qiáng)化訓(xùn)練

1．三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（x+y）o，

（x-y）o，xo，且x>y>0，則該三角形有一個(gè)內(nèi)角為（）

A．30O B．45O

C．60O D．90O

2．一個(gè)正多邊形每一個(gè)內(nèi)角都是120o，這個(gè)多邊形是（）

A．正四邊形 B．正五邊形

C．正六邊形 D．正七邊形CC

3．一個(gè)多邊形木板，截去一個(gè)三角形后（截線不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)），得到新多邊形內(nèi)角和為2160o，則原多邊形的邊數(shù)為（ ）

A．13條 B．14條 C．15條 D．16條

4．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）

A．一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不大于60O；

B．有一個(gè)外角是銳角的三角形是鈍角三角形；

C．三角形的外角中必有兩個(gè)角是鈍角；

D．銳角三角形中兩銳角的和必然小于60O；AD

5．小明繞五邊形各邊走一圈，他共轉(zhuǎn)了___度．

6．下列正多邊形（1）正三角形（2）正方形（3）正五邊形（4）正六邊形，其中用一種正多邊形能鑲嵌成平面圖案的是

；360（1）、（2）、（4）

7．如下圖，AD是BC邊上的高，BE是△

ABD的角平分線，∠1=40°，∠2=30°，則∠C=_____，∠BED=____．65°60°ABCD12E

8．兩個(gè)多邊形的邊數(shù)比是1：2，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440度，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)．9．（1）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是14400，那么這是______邊形．解：由多邊形的內(nèi)角和公式可得（n-2）·1800=14400

（n-2）=8

n=10∴這是十邊形．十（2）若n邊形的內(nèi)角和是144n0，那么n=

．10解：由多邊形的內(nèi)角和公式可得：（n-2）·1800=144n0n=10（3）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是156°，則它的邊數(shù)為＿＿．15解：由多邊形的內(nèi)角和公式可得（n-2）·1800=156n0

n=15

10．在四邊形ABCD中，∠A=1200，∠B：∠C：∠D=3：4：5，求∠B，∠C，∠D的度數(shù)．解：設(shè)∠B，∠C，∠D的度數(shù)分別是3x，4x，5x

度，由四邊形的內(nèi)角和等于3600可得：120+3x+4x+5x=360

12x=240

x=20∴3x=604x=805x=100答：∠B，∠C，∠D分別為600，800，1000．課堂小結(jié)（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？（2）你認(rèn)為這節(jié)課中最大的收獲是什么？

（3）你還有哪些疑惑或不足？知識(shí)：多邊形的有關(guān)概念；多邊形內(nèi)角和公式；方法：類比，轉(zhuǎn)化，