行列式主要知識點網(wǎng)絡(luò)圖

線性代數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、行列式主要知識點網(wǎng)絡(luò)圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列.一般項是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和.●D=DT.●互換行列式的兩行(列)，行列式變號.●某行有公因子可以提到行列式的外面.●假設(shè)行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和.那么該行列式可拆成兩個行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變.行列式知識點性質(zhì)1第1章展開計算●行展開●列展開●定義法●遞推法●加邊法●數(shù)學(xué)歸納法●公式法●拆項法●乘積法●析因子法●齊次線性方程組有非零解的充要條件●克拉默法那么應(yīng)用2第1章二、主要定理1、行列式的展開定理.=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n).=

a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj(j=1,2,…,n).2、行列式展開定理的推論.ai1

Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j).a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0(j≠k).3第1章3、非齊次線性方程組克拉默法那么.其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組的常數(shù)項替換后得到的n階行列式.4第1章4、齊次線性方程組的克拉默法那么.假設(shè)齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式必為零.5第1章三、重要公式6第1章72、上、下三角行列式.第1章8四、典型例題1、3～5階的行列式例1設(shè)f(x)=那么含x4的項的系數(shù)為_______；那么含x3的項的系數(shù)為_______；常數(shù)項為_______．解因為f(x)是4次多項式,含x4的項只有一項a11a22a33a44=2x4，含x3的項有兩項－a14a22a33a41=－6x3和－a11a22a34a43=－4x3，常數(shù)項就是不含x的項，即

f(0)＝12．92-1012例2設(shè)四階行列式那么其第1列元素的代數(shù)余子式之和A11+A21+A31+A41=_____.解因為當(dāng)p＝0時，有A11=0,A21=0,A31=0,A41=0.因而A11+A21+A31+A41=0．p≠0時，由pA11+pA21+pA31+pA41=0,即p〔A11+A21+A31+A41〕=0，得A11+A21+A31+A41=0．100例3計算4階行列式〔加邊法〕解顯然當(dāng)x=0或y=0時，D＝0，當(dāng)x≠0和y≠

0時，利用展開定理，11這種計算方法叫做加邊法，此方法適用于主對角線兩側(cè)元素都相同的行列式．在第二步計算的行列式是個字行列式，其計算方法如上．12例4設(shè)abcd=1，計算解〔分拆法〕將D拆成兩個行列式之和，即13利用分拆變換計算行列式稱為分拆法，此法比較適合分拆后所得行列式易于計算或可以抵消，分拆法往往需要一定的技巧．14

例5設(shè)a>b>c>0，試證證由于又因a>b>c>0，所以D<0.15例6設(shè)α、β、γ是方程x3+px+q=0的根，計算解由于由根與系數(shù)的關(guān)系可知，α+β+γ＝0，故D=0.162、簡單的n階行列式的計算

例7計算n階行列式解〔析因子法〕因為當(dāng)x＝1時，Dn的前兩行相同，從而Dn＝0，所以x－1為Dn的因子．同理x－2，x－3，…，x－〔n－1〕均為Dn的因子，且各公因子互素(無公因子),所以Dn能被(x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1)整除，又注意到Dn的展開式中最高次項xn-1的系數(shù)為1，從而Dn＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－n+1).17例8計算n階行列式解〔遞推法〕將Dn按第一行展開，得到Dn－1．Dn－2表示Dn的式子．18即Dn＝〔α+β)Dn－1－αβDn－2＝αDn－1+βDn－1－αβDn－2所以Dn－αDn－1＝β(Dn－1－αDn－2)

＝βn-2(D2－αD1)又因為D2＝(α+β)2－αβ，D1＝α+β．所以，Dn－αDn－1＝βn再由對稱性，Dn－βDn－1＝αn當(dāng)α≠β時,將上兩式的兩邊分別乘以β、α

,然后相減得

當(dāng)α＝

β時，對Dn－αDn－1＝αn使用遞推法Dn＝αn+

αDn－1＝αn+α［αn－1+

αDn－2］＝2αn+

α2Dn－2＝…＝(n－2)αn+αn－2D2＝(n－2)αn+αn－23α2＝(n+1)αn．193、用公式計算行列式例9計算行列式解由公式20

例10計算行列式解〔公式法〕作輔助函數(shù)將上式按最后一列展開，那么f(y)為y的一個4次多項式，且一次項y的系數(shù)為－D,于是可以通過考察多項式f(y)來求D.21從上式易知，多項式f(y)的一次項系數(shù)為22

例11設(shè)線性方程組其中ai≠aj〔i≠j,i,j=1,2,…,n)，求線性方程組的解．解由于系數(shù)行列式D,