9.2.3 總體集中趨勢的估計 課件

9.2.3總體集中趨勢的估計1.能利用頻率分布直方圖估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)2.能用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，并結合實際對問題作出合理判斷問題：以下是一支足球隊運動員的身高：183cm182cm178cm182cm183cm177cm185cm170cm174cm176cm183cm運動員身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是什么？這些統(tǒng)計量刻畫了數(shù)據的什么特點？

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應用最為廣泛.知識點：用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)表示數(shù)據的集中趨勢

有時候，我們可能不太關心總體的分布規(guī)律，而更關注總體取值在某一方面的特征，便需要選擇恰當?shù)臉颖緮?shù)字特征估計總體的集中趨勢.例1：利用100戶居民用戶的月均用水量的調查數(shù)據，計算樣本數(shù)據的平均數(shù)和中位數(shù)，并據此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6解：由樣本平均數(shù)的定義，可得即100戶居民的月均用水量的平均數(shù)為8.79t.因為數(shù)據是抽自全市居民戶的簡單隨機樣本，據此估計全市居民的月均用水量約為8.79t，其中位數(shù)約為6.8t.由中位數(shù)的定義，可得即100戶居民的月均用水量的中位數(shù)為6.8t.平均數(shù)由8.79t變?yōu)?.481t，中位數(shù)沒有變化，還是6.8t思考：用統(tǒng)計軟件計算了100戶居民月用水量的平均數(shù)和中位數(shù)，但錄入數(shù)據時把一個數(shù)據7.7錄成了77.其產生的平均數(shù)和中位數(shù)有何變化？原因是什么？樣本平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據有關，樣本中的任何一個數(shù)據的改變都會引起平均數(shù)的改變；中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據中間位置的一個或兩個值，所以不是任何一個樣本數(shù)據的改變都會引起中位數(shù)的改變.歸納總結

與中位數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據中的更多信息，對樣本中的極端值更加敏感.問題：平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據的集中趨勢，它們的大小關系和數(shù)據分布的形態(tài)有關.在下圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關系？（1）直方圖的形狀是對稱的，平均數(shù)和中位數(shù)應該大體上差不多和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.（2）直方圖在右邊“拖尾”，平均數(shù)大于中位數(shù)（3）直方圖在左邊“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù)如果一組數(shù)據的平均數(shù)和中位數(shù)相差較大，那么可以推斷這組數(shù)據一定是不對稱的.如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據中存在較大的極端值；反之，說明數(shù)據中不存在較大的極端值.例2：某學校要定制高一年級的校服，學生根據廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.據統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和眾數(shù)中，哪個量比較合適？校服規(guī)格155160165170175合計頻數(shù)39641679026386試討論用上表中的數(shù)據估計全國高一年級女生校服規(guī)格的合理性.解:為了更直觀地觀察數(shù)據的特征，用條形圖表示表中的數(shù)據.由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數(shù)據估計全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女生校服的規(guī)格比較合適.歸納總結

眾數(shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值的信息.對極端值也不敏感.對數(shù)值型數(shù)據（如用水量、身高、收入、產量等）集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；對分類型數(shù)據（如校服規(guī)格、性別、產品質量等級等）集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).思考：如何由頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？在頻率分布直方圖中，我們無法知道每個組內的數(shù)據是如何分布的.此時，通常假設它們在組內均勻分布.

樣本平均數(shù)可以表示為數(shù)據與它的頻率的乘積之和.所以樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替.與根據原始數(shù)據計算的樣本平均數(shù)8.79相差不大.

根據中位數(shù)的意義，在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù).與根據原始數(shù)據求得的中位數(shù)6.6相差不大.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內設中位數(shù)是x，則

在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點5.7作為眾數(shù)的估計值.眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據中，眾數(shù)5.7讓我們知道月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)的居民用戶最多.即歸納總結

由頻率分布直方圖估計總體的集中趨勢眾數(shù)：最高矩形的中點中位數(shù)：中