2024屆廣東省廣州市實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題含解析

2024屆廣東省廣州市實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．過點且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．2．已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α?β)＝?，則tanβ＝()A． B．3 C． D．3．設(shè)，則有()A． B． C． D．4．以圓形摩天輪的軸心為原點，水平方向為軸，在摩天輪所在的平面建立直角坐標(biāo)系.設(shè)摩天輪的半徑為米，把摩天輪上的一個吊籃看作一個點，起始時點在的終邊上，繞按逆時針方向作勻速旋轉(zhuǎn)運動，其角速度為（弧度/分），經(jīng)過分鐘后，到達(dá)，記點的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于時間的函數(shù)圖象為（）A． B．C． D．5．“”是“”成立的（）A．充分非必要條件. B．必要非充分條件.C．充要條件. D．既非充分又非必要條件.6．已知，，且，則在方向上的投影為()A． B． C． D．7．若，，則等于()A． B． C． D．8．在中，若°，°，．則=A． B． C． D．9．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角10．某型號汽車使用年限與年維修費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，由最小二乘法求得回歸方程．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，推測該數(shù)據(jù)的值為（）使用年限維修費A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，曲線上的點與軸的正半軸上的點及原點構(gòu)成一系列正三角形，，，設(shè)正三角形的邊長為（記為），.數(shù)列的通項公式=______.12．各項均為實數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列,則數(shù)列的公比為________.13．在矩形中，，現(xiàn)將矩形沿對角線折起，則所得三棱錐外接球的體積是________.14．已知，，則________（用反三角函數(shù)表示）15．英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.現(xiàn)把一杯溫水放在空氣中冷卻，假設(shè)這杯水從開始冷卻，x分鐘后物體的溫度滿足：（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)）.則從開始冷卻，經(jīng)過5分鐘時間這杯水的溫度是________（單位：℃）.16．已知函數(shù)，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點，且.（1）求直線l的方程；（2）若點E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個交點，點D滿足，點M是圓O上任意一點，點N在線段上，且存在常數(shù)使得，求點N到直線l距離的最小值.18．已知函數(shù)f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為.（Ⅰ）求f(x)的表達(dá)式；（Ⅱ）將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間.19．某校團委會組織某班以小組為單位利用周末時間進行一次社會實踐活動，每個小組有5名同學(xué)，在活動結(jié)束后，學(xué)校團委會對該班的所有同學(xué)進行了測試，該班的A，B兩個小組所有同學(xué)得分（百分制）的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，但知道B組學(xué)生的平均分比A組同學(xué)的平均分高一分．（1）若在B組學(xué)生中隨機挑選1人，求其得分超過86分的概率；（2）現(xiàn)從A、B兩組學(xué)生中分別隨機抽取1名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m、n，求的概率．20．已知為等差數(shù)列，且，．求的通項公式；若等比數(shù)列滿足，，求的前n項和公式．21．在中，，且邊上的中線長為，(1)求角的大?。?2)求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

先求出直線的斜率，再求出所求直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解.【題目詳解】由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，所以所求的直線方程為即.故選：C【題目點撥】本題主要考查互相垂直直線的性質(zhì)，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

利用角的關(guān)系，再利用兩角差的正切公式即可求出的值.【題目詳解】因為，且為銳角，則，所以，因為，所以故選B.【題目點撥】主要考查了兩角差的正切公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，屬于中檔題.對于給值求值問題，關(guān)鍵是尋找已知角（條件中的角）與未知角（問題中的角）的關(guān)系，用已知角表示未知角，從而將問題轉(zhuǎn)化為求已知角的三角函數(shù)值，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求出.3、A【解題分析】

根據(jù)題意，利用輔助角公式得，對于，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式對進行處理，即可得到；對于，利用二倍角公式對變形處理可以得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【題目詳解】由題意得因為正弦函數(shù)在上為增函數(shù)，所以,選A.【題目點撥】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)值大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)公式；二倍角公式、輔助角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等．屬于中等題．4、B【解題分析】

根據(jù)題意，點的橫坐標(biāo)，由此通過特殊點的坐標(biāo)，判斷所給的圖象是否滿足條件，從而得出結(jié)論.【題目詳解】根據(jù)題意可得，振幅，角速度，初相，點的橫坐標(biāo)，故當(dāng)時，，當(dāng)時，為的最大值，故選：B.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)圖象的實際應(yīng)用以及余弦型函數(shù)圖象的特征，其中，求出函數(shù)模型的解析式是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.5、A【解題分析】

依次分析充分性與必要性是否成立.【題目詳解】時，而時不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要條件，選A.【題目點撥】本題考查充要關(guān)系判定，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題6、C【解題分析】

通過數(shù)量積計算出夾角，然后可得到投影.【題目詳解】，，即，，在方向上的投影為，故選C.【題目點撥】本題主要考查向量的幾何背景，建立數(shù)量積方程是解題的關(guān)鍵，難度不大.7、C【解題分析】

直接用向量的坐標(biāo)運算即可得到答案.【題目詳解】由，.故選：C【題目點撥】本題考查向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】∵在△ABC中,A=45°,B=60°，a=2，∴由正弦定理得：.本題選擇A選項.9、C【解題分析】

本題首先要明確平面直角坐標(biāo)系中每一象限所對應(yīng)的角的范圍，然后即可判斷出在哪一象限中．【題目詳解】第一象限所對應(yīng)的角為；第二象限所對應(yīng)的角為；第三象限所對應(yīng)的角為；第四象限所對應(yīng)的角為；因為，所以位于第三象限，故選C．【題目點撥】本題考查如何判斷角所在象限，能否明確每一象限所對應(yīng)的角的范圍是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題．10、C【解題分析】

設(shè)所求數(shù)據(jù)為，計算出和，然后將點代入回歸直線方程可求出的值.【題目詳解】設(shè)所求數(shù)據(jù)為，則，，由于回歸直線過樣本的中心點，則有，解得，故選：C.【題目點撥】本題考查利用回歸直線計算原始數(shù)據(jù)，解題時要充分利用“回歸直線過樣本中心點”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先得出直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立得出的坐標(biāo)，可得出，并設(shè)，根據(jù)題中條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合遞推關(guān)系式選擇作差法求出數(shù)列的通項公式，即利用求出數(shù)列的通項公式。【題目詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，則點的坐標(biāo)為，易知直線的方程為，與曲線的方程聯(lián)立，解得，；當(dāng)時，點、，所以，點，直線的斜率為，則，即，等式兩邊平方并整理得，可得，以上兩式相減得，即，易知，所以，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差也為，因此，.故答案為：?！绢}目點撥】本題考查數(shù)列通項的求解，根據(jù)已知條件找出數(shù)列的遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在求通項公式時需結(jié)合遞推公式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解數(shù)列的通項公式，考查分析問題的能力，屬于難題。12、【解題分析】

根據(jù)成等差數(shù)列得到，計算得到答案.【題目詳解】成等差數(shù)列，則故答案為：【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式的靈活運用.13、【解題分析】

取的中點，連接，三棱錐外接球的半徑再計算體積.【題目詳解】如圖，取的中點，連接.由題意可得，則所得三棱錐外接球的半徑，其體積為.故答案為【題目點撥】本題考查了三棱錐的外切球體積，計算是解題的關(guān)鍵.14、【解題分析】∵，，∴.故答案為15、45【解題分析】

直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可,【題目詳解】.故答案為：45.【題目點撥】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【題目詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因為所以，所以，所以，，所以，故填：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）等價于圓心O到直線l的距離，再由點到直線的距離公式求解即可；（2）先設(shè)點，再結(jié)合題意可得點N在以為圓心，半徑為的圓R上，再結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.【題目詳解】解：（1）∵圓O：，圓心，半徑，∵直線l：（）與圓O相交于A，B兩點，且，∴圓心O到直線l的距離，又，，解得，∴直線l的方程為；（2）∵點E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個交點，，∴，，設(shè)，，則，，，，，即.又∵點N在線段上，即，共線，，，∵點M是圓O上任意一點，，∴將m，n代入上式，可得，即.則點N在以為圓心，半徑為的圓R上.圓心R到直線l：的距離，又，故點N到直線l：距離的最小值為1.【題目點撥】本題考查了點到直線的距離公式，重點考查了點的軌跡方程的求法，屬中檔題.18、（1）f(x)＝sin.（2）【解題分析】試題分析：（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡，再利用周期公式即可求得正解；（2）根據(jù)圖像變換求出的表達(dá)式，再利用符合函數(shù)法求得遞減區(qū)間.試題解析：(1)f(x)＝sin2ωx＋×－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，由題意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝sin的圖象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的單調(diào)減區(qū)間為19、（1）（2）【解題分析】

（1）求出A組學(xué)生的平均分可得B組學(xué)生的平均分，設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為X，列方程得X，從而得到B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)，其中有3人分?jǐn)?shù)超過86分，由此能求出B組學(xué)生中隨機挑選1人，其得分超過86分概率．（2）利用列舉法寫出在A、B兩組學(xué)生中隨機抽取1名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【題目詳解】（1）A組學(xué)生的平均分為，所以B組學(xué)生的平均分為86分設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為，則，解得所以B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，其中有3人分?jǐn)?shù)超過86分在B組學(xué)生中隨機挑選1人，其得分超過86分概率為.（2）A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94、80、86、88、77,B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)為91、93、83、88、75，在A、B兩組學(xué)生中隨機抽取1名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25個隨機各抽取1名同學(xué)的分?jǐn)?shù)滿足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10個∴的概率為.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、莖葉圖等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）.【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知列關(guān)于首項與公差的方程組，求得首項與公差，則的通項公式可求；求出，進一步得到公比，再由等比數(shù)列的前n項和公式求解．【題目詳解】為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由已知可得，解得，．；由，，等比數(shù)列的公比，的前n項和公式．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ