2024屆福建省福州三中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆福建省福州三中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，則的面積為（）A． B． C． D．2．P是直線x+y+2=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓x-22+yA．2 B．4-2 C．4+23．某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)1，2，……，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若66號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（）A．16 B．226 C．616 D．8564．已知，且，則（）A． B． C． D．5．已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則的斜率為（）A． B． C． D．6．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的3倍，則（）A． B． C． D．77．若，，且與夾角為，則（）A．3 B． C．2 D．8．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150，120，180，150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷(xiāo)售情況，需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本．記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷(xiāo)售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷(xiāo)售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法9．下列各命題中，假命題的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出（）A．13 B．15 C．40 D．46二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，，，則，，從小到大排列為_(kāi)_____12．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________13．設(shè)，且，則的取值范圍是______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．若直線上存在一點(diǎn)，使過(guò)所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．15．過(guò)點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的一般式方程是________.16．三棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，，平面，，，球的表面積為，則的表面積為_(kāi)______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的值.18．小明同學(xué)在寒假社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，對(duì)白天平均氣溫與某家奶茶店的品牌飲料銷(xiāo)量之間的關(guān)系進(jìn)行了分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天氣溫（）與該奶茶店的品牌飲料銷(xiāo)量（杯），得到如表數(shù)據(jù)：日期1月11號(hào)1月12號(hào)1月13號(hào)1月14號(hào)1月15號(hào)平均氣溫（）91012118銷(xiāo)量（杯）2325302621（1）若先從這五組數(shù)據(jù)中抽出2組，求抽出的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；（2）請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程式；（3）根據(jù)（2）所得的線性回歸方程，若天氣預(yù)報(bào)1月16號(hào)的白天平均氣溫為，請(qǐng)預(yù)測(cè)該奶茶店這種飲料的銷(xiāo)量.（參考公式：，）19．如圖，在三棱錐中，底面ABC，D是PC的中點(diǎn)，已知，，，，求：（1）三棱錐的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小.20．已知.（1）解關(guān)于的不等式；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值.21．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）證明：⊥平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】設(shè)拋物線過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，將點(diǎn)代入可得，同理都滿(mǎn)足方程，即為直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，可得，點(diǎn)到直線的距離，則的面積為，故選B.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線距離公式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.2、D【解題分析】

首先求出圓心到直線的距離與半徑比較大小，得到直線與圓是相離的，根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值等于圓心到直線的距離減半徑，求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閳A心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=2+0+2所以直線x+y+2=0與圓(x-2)2所以PQ的最小值等于圓心到直線的距離減去半徑，即PQmin故選D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)直線與圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題目.3、B【解題分析】

抽樣間隔為，由第三組中的第6個(gè)數(shù)被抽取到，結(jié)合226是第12組中的第6個(gè)數(shù)，從而可得結(jié)果．【題目詳解】從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取50名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn),抽樣間隔為，號(hào)學(xué)生被抽到，第四組中的第6個(gè)數(shù)被抽取到，226是第12組中的第6個(gè)數(shù)，被抽到,故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)，確定抽樣間隔是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

首先根據(jù)，求得，結(jié)合角的范圍，利用平方關(guān)系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進(jìn)行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦函數(shù)的和角公式，在解題的過(guò)程中，注意時(shí)刻關(guān)注角的范圍.5、A【解題分析】

直接代入兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得出答案?！绢}目詳解】故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解題分析】由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以，解得，故選A。7、B【解題分析】

由題意利用兩個(gè)向量數(shù)量積的定義，求得的值，再根據(jù)，計(jì)算求得結(jié)果．【題目詳解】由題意若，，且與夾角為，可得，.故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積的定義、向量的模的方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意不要錯(cuò)選成A答案.8、B【解題分析】

此題為抽樣方法的選取問(wèn)題．當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)，宜采用系統(tǒng)抽樣．【題目詳解】依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查中，總體中的個(gè)體差異較大，應(yīng)采用分層抽樣法；第②項(xiàng)調(diào)查總體中個(gè)體較少，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．

故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)抽樣知識(shí)，屬基本題型、基本概念的考查．9、D【解題分析】

根據(jù)弧度制的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，正確；B選項(xiàng)，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正確；C選項(xiàng)，根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，正確；D選項(xiàng)，用角度制度量角，與圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，故D錯(cuò).故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查弧度制的相關(guān)判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解題分析】

模擬程序運(yùn)行即可．【題目詳解】程序運(yùn)行循環(huán)時(shí)，變量值為，不滿(mǎn)足；，不滿(mǎn)足；，滿(mǎn)足，結(jié)束循環(huán)，輸出．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，判斷是否符合循環(huán)條件即可．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

首先利用輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式分別求出，，的值，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性對(duì)，，排序即可.【題目詳解】由題知，，，因?yàn)檎液瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.12、1【解題分析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1(1-2點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.13、【解題分析】

通過(guò)可求得x的取值范圍，接著利用反正弦函數(shù)的定義可得的取值范圍.【題目詳解】，，即.由反正弦函數(shù)的定義可得，即的取值范圍為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，反正弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】試題分析：記兩個(gè)切點(diǎn)為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，于是圓心直線的距離不大于，，解得.考點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系.15、或【解題分析】

討論直線過(guò)原點(diǎn)和直線不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線方程，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.16、【解題分析】

根據(jù)題意可證得，而，所以球心為的中點(diǎn)．由球的表面積為，即可求出，繼而得出的值，求出三棱錐的表面積．【題目詳解】如圖所示：∵，平面，∴，又，故球心為的中點(diǎn)．∵球的表面積為，∴，即有．∴，．∴，，，．故的表面積為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）的最小值為，此時(shí).【解題分析】

通過(guò)倍角公式，把化成標(biāo)準(zhǔn)形式，研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)(周期性，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱(chēng)性，最值及最值相對(duì)于的變量)，從而本題能順利完成【題目詳解】（1）因?yàn)?所以函數(shù)的最小正周期為.（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，，所以的最小值為，此時(shí).【題目點(diǎn)撥】該類(lèi)型考題關(guān)鍵是將化成性質(zhì)，只有這樣，我們才能很好的去研究他的性質(zhì).18、(1)；(2)；(3)19杯.【解題分析】試題分析：（1）由“選取的組數(shù)據(jù)恰好是相鄰天的數(shù)據(jù)”為事件，得出基本事件的總數(shù)，利用古典概型，即可求解事件的概率；（2）由數(shù)據(jù)求解，求由公式，求得，即可求得回歸直線方程；（3）當(dāng)，代入回歸直線方程，即可作出預(yù)測(cè)的結(jié)論．試題解析：（Ⅰ）設(shè)“選取的組數(shù)據(jù)恰好是相鄰天的數(shù)據(jù)”為事件，所有基本事件（其中，為月份的日期數(shù)）有種，事件包括的基本事件有，，，共種．所以．（Ⅱ）由數(shù)據(jù)，求得，．由公式，求得，，所以關(guān)于的線性回歸方程為．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．所以該奶茶店這種飲料的銷(xiāo)量大約為杯．19、（1），（2）【解題分析】

（1）先求出，然后由底面ABC得，即可算出答案（2）取的中點(diǎn)，可得是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角），然后在中，用余弦定理即可算出【題目詳解】（1）因?yàn)?，，所以因?yàn)榈酌鍭BC，所以（2）如圖，取的中點(diǎn),連接，則所以是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角）在中，所以由余弦定理得所以異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小為【題目點(diǎn)撥】求異面直線所成的角是將直線平移轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，要注意異面直線所成角的范圍是.20、（1）；（2）或．【解題分析】

（1），再解一元二次不等式即可；（2）由題意得，，代入即可求出實(shí)數(shù)，的值．【題目詳解】（1）∵，∴，∴，解得，∴原不等式的解集為；（2）由題意得，，即，解得或，∴或．【題目點(diǎn)撥】本題主