2024屆吉林省普通高中聯(lián)合體數學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆吉林省普通高中聯(lián)合體數學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若向量滿足：與的夾角為，且，則的最小值是（）A．1 B． C． D．22．函數圖像的一個對稱中心是（）A． B． C． D．3．在中，已知、、分別是角、、的對邊，若，則的形狀為A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．已知函數f(x)=5sinωx-π3(ω>0)，若A．0,16 B．0,165．已知，，，若點是所在平面內一點，且，則的最大值等于（）.A． B． C． D．6．為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度7．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．88．如圖，在矩形中，，，點滿足，記，，，則的大小關系為()A． B．C． D．9．某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6，則該三棱柱的體積為A． B． C． D．10．在等差數列中，，則等于()A．2 B．18 C．4 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若一個圓柱的側面展開圖是邊長為2的正方形，則此圓柱的體積為.12．用數學歸納法證明不等式“（且）”的過程中，第一步：當時，不等式左邊應等于__________。13．P是棱長為4的正方體的棱的中點，沿正方體表面從點A到點P的最短路程是_______.14．已知正三棱柱木塊，其中，，一只螞蟻自點出發(fā)經過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為______.15．如圖，在直角梯形中，//是線段上一動點，是線段上一動點，則的最大值為________．16．若為冪函數，則滿足的的值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．己知，，且函數的圖像上的任意兩條對稱軸之間的距離的最小值是.（1）求的值：（2）將函數的圖像向右平移單位后，得到函數的圖像，求函數在上的最值，并求取得最值時的的值.18．已知角終邊上一點，且，求的值．19．的內角，，的對邊分別為，，，設.（1）求；（2）若，求.20．2019年是中華人民共和國成立70周年，某校黨支部舉辦了一場“我和我的祖國”知識競賽，滿分100分，回收40份答卷，成績均落在區(qū)間內，將成績繪制成如下的頻率分布直方圖.（1）估計知識競賽成績的中位數和平均數；（2）從，分數段中，按分層抽樣隨機抽取5份答卷，再從對應的黨員中選出3位黨員參加縣級交流會，求選出的3位黨員中有2位成績來自于分數段的概率.21．已知函數.(1)求函數f(x)的最小值及f(x)取到最小值時自變量x的集合；(2)指出函數y＝f(x)的圖象可以由函數y＝sinx的圖象經過哪些變換得到；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

設作圖，由可知點在以線段為直徑的圓上，由圖可知，，代入所求不等式利用圓的特征化簡即可.【題目詳解】如圖，設，取線段的中點為，連接OE交圓于點D，因為即，所以點在以線段為直徑的圓上(E為圓心)，且，于是.故選：D【題目點撥】本題考查向量的線性運算，垂直向量的數量積表示，幾何圖形在向量運算中的應用，屬于中檔題.2、B【解題分析】

由題得,解出x的值即得函數圖像的一個對稱中心.【題目詳解】由題得,所以，所以圖像的對稱中心是．當k=1時，函數的對稱中心為.故選B【題目點撥】本題主要考查三角函數圖像的對稱中心的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、D【解題分析】

由，利用正弦定理可得，進而可得sin2A=sin2B，由此可得結論．【題目詳解】∵，∴由正弦定理可得∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形故選D．【題目點撥】判斷三角形形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.4、B【解題分析】

由題得ωπ-π3<ωx-【題目詳解】因為π<x≤2π，ω>0，所以ωπ-π因為fx在區(qū)間(π,2π]所以ωπ-π3≥kπ解得k+13≤ω<因為k+1所以-4因為k∈Z，所以k=-1或k=0．當k=-1時，0<ω<16；當k=0時，故選：B【題目點撥】本題主要考查三角函數的零點問題和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于中檔題.5、A【解題分析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因為，所以的最大值等于，當，即時取等號．考點：1、平面向量數量積；2、基本不等式．6、A【解題分析】

先將轉化為,再判斷的符號即可得出結論.【題目詳解】解：因為,所以只需把向右平移個單位.故選：A【題目點撥】函數左右平移變換時,一是要注意平移方向：按“左加右減",如由的圖象變?yōu)榈膱D象,是由變?yōu)?所以是向左平移個單位；二是要注意前面的系數是不是,如果不是,左右平移時,要先提系數,再來計算.7、D【解題分析】

由已知向量的坐標求出的坐標，再由向量垂直的坐標運算得答案．【題目詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【題目點撥】本題考查平面向量的坐標運算，考查向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．8、C【解題分析】

可建立合適坐標系，表示出a,b,c的大小，運用作差法比較大小.【題目詳解】以為圓心，以所在直線為軸、軸建立坐標系，則，，，設，則，，，，，，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查學生的建模能力，意在考查學生的理解能力及分析能力，難度中等.9、C【解題分析】

計算結果.【題目詳解】因為底面是邊長為2的正三角形，所以底面的面積為，則該三棱柱的體積為．【題目點撥】本題考查了棱柱的體積公式，屬于簡單題型.10、D【解題分析】

利用等差數列性質得到，，計算得到答案.【題目詳解】等差數列中，故選：D【題目點撥】本題考查了等差數列的計算，利用性質可以簡化運算，是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】試題分析：設圓柱的底面半徑為r，高為h，底面積為S，體積為V，則有2πr=2?r=1π，故底面面積S=πr考點：圓柱的體積12、【解題分析】

用數學歸納法證明不等式（且），第一步，即時，分母從3到6，列出式子，得到答案.【題目詳解】用數學歸納法證明不等式（且），第一步，時，左邊式子中每項的分母從3開始增大至6，所以應是.即為答案.【題目點撥】本題考查數學歸納法的基本步驟，屬于簡單題.13、【解題分析】

從圖形可以看出圖形的展開方式有二，一是以底棱BC，CD為軸，可以看到此兩種方式是對稱的，所得結果一樣，另外一種是以側棱為軸展開，即以BB1，DD1為軸展開，此兩種方式對稱，求得結果一樣，故解題時選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗證即可【題目詳解】由題意，若以BC為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為4，6，故兩點之間的距離是若以BB1為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2，8，故兩點之間的距離是故沿正方體表面從點A到點P的最短路程是cm故答案為【題目點撥】本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，求解的關鍵是能夠根據題意把求幾何體表面上兩點距離問題轉移到平面中來求14、【解題分析】

將正三棱柱的側面沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點，可知點為棱的中點，即可計算出沿著螞蟻走過的路徑截開木塊時兩幾何體的體積之比.【題目詳解】將正三棱柱沿棱展開成平面，連接與的交點即為滿足最小時的點.由于，，再結合棱柱的性質，可得，一只螞蟻自點出發(fā)經過線段上的一點到達點，當沿螞蟻走過的最短路徑，為的中點，因為三棱柱是正三棱柱，所以當沿螞蟻走過的最短路徑，截開木塊時，兩部分幾何體的體積比為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查棱柱側面最短路徑問題，涉及棱柱側面展開圖的應用以及幾何體體積的計算，考查分析問題解決問題能力，是中檔題．15、2【解題分析】

建立平面直角坐標系，得到相應點的坐標及向量的坐標，把，利用向量的數量積轉化為的函數，即可求解．【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，因為，，所以,因為，，所以,因為，所以當時，取得最大值，最大值為．故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的線性運算，以及向量的數量積的運算的應用，其中解答中建立平面直角坐標系，結合向量的線性運算和數量積的運算，得到的函數關系式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．16、【解題分析】

根據冪函數定義知，又，由二倍角公式即可求解.【題目詳解】因為為冪函數，所以，即,因為,所以，即，因為，所以，.故填.【題目點撥】本題主要考查了冪函數的定義，正弦的二倍角公式，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（1）此時，此時【解題分析】

（1）由條件利用兩角和差的正弦公式化簡f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（2）＝2求出的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（）的值．（1）由條件利用函數y＝Asin（ωx+）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據正弦函數的定義域和值域求得g（x）在x∈[]上的最值．【題目詳解】（1）f（x）＝sin（ωx+）+cos（ωx+）＝，故，求得ω＝1．再根據，可得＝﹣，故．（1）將函數y＝f（x）的圖象向右平移個單位后，得到函數y＝g（x）＝的圖象.∵x∈[]，∴，當時，即時，g（x）取得最大值為；當時，即時，g（x）取得最小值為2．【題目點撥】本題主要考查兩角和差的正弦公式，由函數y＝Asin（ωx+）的部分圖象求解析式，函數y＝Asin（ωx+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．18、見解析【解題分析】

根據三角函數定義列方程解得，再根據三角函數定義求的值．【題目詳解】，(1)當時，．(2)當時，，解得．當時，；當時，．綜上當時，；當時，；當時，．【題目點撥】本題考查三角函數定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.19、(1)(2)【解題分析】

（1）由正弦定理得，再利用余弦定理的到.（2）將代入等式，化簡得到答案.【題目詳解】解：（1）由結合正弦定理得；∴又，∴.（2）由,∴∴,∴∴又∴解得：，.【題目點撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查學生的計算能力.20、（1）中位數為80.平均數為（2）【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖可知，利用中位數和平均數的計算公式，即可求解.（2）由頻率分布直方圖可知，分別求得，分數段中答卷數，利用列舉法求得基本事件的總數，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，前3個小矩形的面積和為，后2個小矩形的面積和為，所以估計中位數為80.估計平均數為.（2）由頻率分布直方圖可知，分數段中答卷數分別為12，8，抽取比例為，所以，分數段中抽取的答卷數分別為3，2.記中對應的3為黨員為，，，中對應的2為黨員為，.則從中選出對應的3位黨員，共有不同的選法總數10種：，，，，，，，，，.易知有2位來自于分數段的有3種，故所求概率為.【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，以及古典概型及其概率的計算，其中解答中熟記頻率直方圖中中位數和平均數的計算方法，以及準確利用列舉法求得基本