分類匯編理答案

參考答案

第一章集合與常用邏輯用語

1.C解析由已知集合、=(一2,2),8={—1,0,1,2,3},所以AI8={-1,0,1}.故選C.

2.D解析由5=??3或％?2},T={x|x>0},得SIT={x[O<x京！]2或％3}.故選D.

3.C解析因為3={R(X+1)(X-2)<。’xeZj=|x|-l<x<2,xeZ},

所以3={0,1},所以AU8={0,1,2,3}.故選C.

4.{-1,2}解析由交集的運算法則可得AIB={-1,2}.

5.C解析由題意，A=(0,+co),B=(-l,l),所以AU8=(—1,+8).故選c.

6.(2,4)解析由題意-I<x—3<1,即2<x<4,則解集為(2,4).

7.解析由題意，AIZ={-2,-l,0』,2}.故其中的元素個數(shù)為5.故選c.

8.D解析由題意可得3={1,4,7,10},則AI8={1,4卜故選D.

(31(3、

9.D解析由題意可得A=(l,3),B=-,+oo,所以AIB=-,3.故選D.

10.B解析因為Q={xeRR…4卜所以40={x|為<4}=(—2,2)，所以

(4。)U尸=(一2,2)U[l,3]=(-2,3].故選B.

H.A解析由直線。和直線b相交，可知平面制.有公共點，所以平面a和平面少相交.反過來，如果平面a和

平面P相交，直線a和直線b不一定相交，可能與兩平面的交線都平行.故選A.

12.A解析由題意“2>io“>i或。<一1,因此〃>1=>/>1，/

故選A.

13.A解析畫出可行域(如圖所示)，可知命題“中不等式組表示的平面區(qū)域△ABC在命

題p中不等式表示的圓盤內(nèi)所以g(j故選A.

_22

14.D解析命題的否定，先否定量詞，在否定結(jié)論.D的否定是m的否定是D,n...x的否定是.

故原命題的否定形式為mxeR，V〃eN*,使得〃.故選D.

第二章函數(shù)

1.log2(x-l)解析由題意/+i=9.故a=2,從而/(%)=1+2”，

-l

所以x=log2(yT)儆/(x)=log2(x-l).

2.[-3,1]解析由題意得3-2x-f…o,解得—3瓠X1,因此定義域為[一3,1].

3.2；解析設(shè)函數(shù)y=d-3x(xeR),得y=3(%+lX%T),

所以函數(shù)y在(H°，-1),(L+C0)上均是增函數(shù)，在(T,l)上是減函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時，y極大值=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時加卜值=_2-

從而可作出函數(shù)y=￡-3x(xe2及y=-2x(xeR)的圖像如圖所示.

由圖可知：

⑴若a=O,1rax=〃-1)=2；

(2)當(dāng)〃...一1時，/(X)有最大值/(一1)=2；當(dāng)a<-l時，-2%在時無最大值，

且-2a>(3-3x)mu，所以"一1，即。的取值范圍是(—8,T).

4.解析(1)由”...3,所以當(dāng)兒，1時，(x?—2ox+4a—2)—2|x—=J+2(a—1)(2—x)>0,

所以此時產(chǎn)(1)=2,一1|；

當(dāng)x>l時，(尤2一2奴+4a-2)—2|x—l|=(x-2)(x-2a)①.要使①式小于等于O,即2WxW2a,

所以此時F(x)=-2以+4。-2.

由上所述使得等式F(%)=V-2G+4。-2成立的工的取值范圍為[2,2a].

(2)(i)設(shè)函數(shù)/(%)=2,一1],g(x)=x2-2ax+4a-2,

則〃%=〃1)=°，g(%=g(。)=一,+4”-2,

所以由尸(%)的定義知機(a)=min{/(l),g⑷},當(dāng)/(l)wg(a)時，解得3WaW2+收；

，小/、、|0,3領(lǐng)I。2+V2

當(dāng)/(l)>g?時,解得a>2+，2.即加(。)={

—ci~+4a—2,a>2+>/2

(ii)當(dāng)2時，F(xiàn)(x)=/(x)=2|x-l|,所以F(x)在x=O或x=2時取得最大值為

F(0)=F(2)=2;

當(dāng)2翁氏6時，F(xiàn)(x)=g(%)=x2-2ax+4a-2=(x-a)--a2+4a-2,

所以尸（x）在兩端點x=2或x=6時取得最大值./（2）=2,F（6）=34-8tz,

所以當(dāng)3wa<4時，有尸（2）<尸（6）；

34—8。,3?〃<4

當(dāng)時，有F（2）》F（6）,所以A/（a=《

2,a...4

5.2x+y+l=0解析解法一：先求函數(shù)/（%）在x>o上的解析式，再求切線方程.

設(shè)無>0,則一1<0,又/（r）=hu-3x=/a）,所以/q）=hu-3xa>0）,

/，（X）=_L_3,/（I）=—2,所以y=/（x）在點（1,一3）處的切線方程為了+3=-2（%-1）,即2x+y+l=0.

X

解法二：由函數(shù)性質(zhì)來求切線方程.因為/㈤為偶函數(shù)，所以若/（X）在點卜。,/［。））處的切線方程為）'二h+氏則

川）在點（一玉,"（一X。））處的切線方程為）'=-&+瓦因此，先求出y=/（x）在點（一1,一3）處的切線方程.

又f（x）=，+3（x<0），得/（—1）=2,所以/⑺在點（一1,一3）處的切線方程為丁二2%一1,

所以/㈤在點（1,一3）處的切線方程為）'二一2工一1,即2x+y+l=0.

c11lie

6.C解析選項A錯誤：因為%>丁>0=—<一=-----<0；

xyxy

選項B錯誤：三角函數(shù)）'=5皿%在（0,48）上不是單調(diào)的，所以不一定有sinx>siny.舉反例如,

當(dāng)x=y+2n>y>0時，sinx-siny=0；

選項C正確：由指數(shù)函數(shù)/（/）=（；）是減函數(shù)，可得x>y>0=（；）<（；）一<0；

選項D錯誤：舉一個反例如，X=e,y=滿足％>y>o,但lnx+lny=o.

e

故選C.

7.解析（1）由題意log2（'+5卜0=log21,即工+5>1,整理得生土1>0,即x（4x+l）>0,

\XJxx

故不等式的解為1x|x>0或尤<-［］；

14.

（2）依題意log2（，+a）=log2［（a-4）x+2a-5］,所以1+a=（a—4）x+2a—5>0,①

整理得（a-4）f+（a—5）x-l=0,即（x+l）［（a-4）x-l］=0,②

當(dāng)a=4時，方程②的解為％=—1,代入①式，成立；當(dāng)4=3時，方程②的解為x=-l,代入①式，成立;

當(dāng)且a，4時，方程②的解為％=—1或」;，

々一4

若x=—l為方程①的解，則,+。=。-1>0,即a>l,若》=1為方程①的解，則，+a=2a-4>0,即

Xa—4X

a>2.

a>1。，，14C

要使得方程①有且僅有一個解，則%2或"2,即“"2.

綜上，若原方程的解集有且只有一個元素，則a的取值范圍為1<〃力2或4=3或0=4.

11flXlog1、

〉—〃+

（3）當(dāng)0<再<42時，—FaF,log22—十。

工2)工27

所以/（X）在（0,”）上單調(diào)遞減.因此/（X）在g+1］上單調(diào)遞減.故只需滿足/（力―+1,

BPlogJ-+<7j-10g

2+。1,所以一+。,，2

12\-t

即a...---------=———,設(shè)1—t=r,貝ijre0,—,

tZ+12(+1)(l-r)(2-r)r2-3r+2-

1

；當(dāng)小，時，2=又函數(shù)：在（）遞減,

當(dāng)r=0時,=00<gr-3r+2r+2_3,y=x+0,0

r2-3r+2

r

112

21Q二一---------------------------2

所以/■+=..=+4=:.故2J9)3.故〃的取值范圍為?！?/p>

r22r+——3一一33

r2

評注第（3）問還可從二次函數(shù)的角度考查，由1+Q,,2|-!1-+6Z

整理得〃廣+（a+l）f—1.?0對任意

1

t€一,1成立.因為Q>0,函數(shù)y=〃/+11+1）￡—1的對稱軸=-------<0,故函數(shù)在區(qū)間-,1上單調(diào)遞

22a2

131322、

增.所以當(dāng)『=一時，y有最小值一〃一一,由一”--...0,得a…一.故a的取值范圍為一,+8.

24、2423|_3）

一2解析由題意得/一55’2、2_1_1

8.=f5~2

527To

q

由/2',可得4=3,則/(5a)=/(3)=/(_l)=_l+a=_2

「工2>5

1-cos2x,.cos2x

9.B解析由f(x)=sin2x+Z?sinx+c=-------------F/?sinx+c=----------+bsinx+c+-，

222

y=cos2x的最小正周期為兀，），=5出工的最小正周期為2兀.

當(dāng)｝=。時，/（x）=_￡2|^+c+g,此時/（力的最小正周期是兀;

當(dāng)｝WO時，此時/（1）的最小正周期為2兀，所以人影響/（工）的最小正周期,

而。為常數(shù)項不影響/W的最小正周期.故選B.

10.D解析由/%+;=/X--知，當(dāng)x>J■時，/㈤的周期為1,所以/⑹=/（1）.

II2）2

又當(dāng)T繳1時,/(-x)=-/(x)，所以/(I)=-/(-1).于是/⑹=/(1)=-/(-I)=-[(-爐-1]=2.故選D.

11.解析由題意得了(_?/(—右)=>一24">—0=2'”"=>

故選C.

12.解析⑴/(x)的定義域為,+eZ>.

/(x)=4tanxcosxcosx-—一百=4sinxcosx---A/3-

I3/x.3J

4sinx-COSX+—sinx-V3=2sinxcosx+2A/3sin2x-73=

122

sin2》+6(1-8$2力-石=5出2X-石(：052%=25耳2%-；]所以/(6的最小正周期7=21=兀.

(2)令Z=2x-]，函數(shù))'=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是一]+2E,]+2E(ZeZ).

由一二+2依鼓！]2x—工—+2^n>得一?—+knH!J.r—+kn>keZ.

2321212

7171

設(shè)4=B-<x—三+而領(lǐng)jx—+kn,keZ>>易知AIB--?—

4,41212124

71(71]71T7t7Cn/\7C7T71兀

又一77—一二=7<-，所以當(dāng)xw時，/（x）在區(qū)間一上單調(diào)遞增，在區(qū)間一，上

1214J6244J'）L124j412

單調(diào)遞減.

13.B解析依題意，可得三=工.（24+1）,左GN,且變一2L”工，即T…二.

24、7361826

故2k+1”12,keN,即％,,”,keN.當(dāng)攵=5時，7=生.又二—女=至＜2,

211184114436

,“、，兀兀），2K7if7i

因此"6在匕，最5,上不單調(diào).當(dāng)%=4時，7丁27r且7丁i區(qū)=記乜名】

7T兀57r兀5兀、'因此〃“）在看知

又-----=—走上單調(diào)，則①的最大值為9.故選B.

,

49361836.

14.4；2解析設(shè)logba=f,因為a>b>l,則r>l.由題知r+[=*,解得f=2,所以〃=從.由

t2

將帶入，得b"=b",2b=b2,得｝=2,4=4.

fWW122

15.A解析由。=2§=4"b=V,得a>b,由c=25,=5,>如，則C>。因此c>a>h.故選A.

16.C解析對于選項A：由于。<c<l,所以函數(shù))'=f在(0,+8)上單調(diào)遞增.由a>b>l,得，>片

故A錯誤.

對于選項B：要比較由與時的大小，只需比較巴與色的大小.構(gòu)造函數(shù)，因為a>h>l,所以呸>1，

b⑴?(切b

因此函數(shù)HP在R上單調(diào)遞增.又O<C<1,所以(?)<￡，即加.故B錯誤.

對于選項C：要比較abg/與Mog“C的大小關(guān)系，只需比較必與口畛的大小，即比較Mn8與alna的大小.構(gòu)

b\nba\na

造輔助函數(shù)〃x)=xlnx,f'(x)=lnx+l.令/'(x)=0得x=1.函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，

若a>h>l,得alna>Mn/?,故一1-<—L-.又lnc<0,所以龍邑>包邑，即處￡>生上，

a\nahlnha\nah\nh\naInfo

得從og“c>alogbc.故選項C正確.

對于選項D：比較log/與log/的大小，只需比較巫與叵的大小，即比較Ina與In匕的大小.又

InaIn/?

得lna〉ln》〉0,所以」_<_L.又lnc<0,得巫>紅，即log.c>log；,c.故選項D不正確.

InaInAInaInZ?

綜上可得.故選C.

17.解析(1)由題意Iog21+5>0=log21,即，+5>l,整理得生l>0,即%(4%+l)>0.

kXJx尤

故不等式的解為木>°或“<—>；

(2)依題意log2(，+a)=log2[(a-4)x+2a-5],所以工+a=(a—4)x+2a—5>0,①

整理得(a-4)d+(a_5)x-l=0,即(x+l)[(a-4)x-l]=0,②

當(dāng)a=4時，方程②的解為％=—1,代入①式，成立；當(dāng)a=3時，方程②的解為x=—l,代入①式，成立；

當(dāng)且時，方程②的解為x=—1或」;，若x=—1為方程①的解，則，+a=a—1>0,即。>1,

a-4x

若x=」一為方程①的解，則,+。=2。-4>0,即a>2.

<7-4X

a>1/a,,1y-

要使得方程①有且僅有一個解，貝".或<C，即2.

a?2\a>2

綜上，若原方程的解集有且只有一個元素，則〃的取值范圍為2或4=3或a=4.

11

(3)當(dāng)0<再<巧時,--FQ〉---FQ,log,—+a>logj—+a

")"J

所以在(o,+x>)上單調(diào)遞減.因此“X)在[rj+1]上單調(diào)遞減.故只需滿足/(%)-/(f+1)”1,

BPlog2^+aj-log1（1

2+a?1所以-+a”2—-+a

t（f+1

121—，11—/rv

即"—77T=百'設(shè)j=「'則7（771）=（i-r）（2-r）=7^71-

1

=廠+乙,又函數(shù)y=x+：在(°，、反)遞減，

當(dāng)r=0時=0；當(dāng)。<小，5時，2-3r+2

，r2-3r+2r

112

21Q---------------------=-2

所以〃+L5+4=5.故『+2一3”9一33?故〃的取值范圍為.…§

r2

1

評注第(3)問還可從二次函數(shù)的角度考查,由一+%,整理得+(a+1)—1…。對任意

11v

tw—,1成區(qū).因為a>0,函數(shù)y=Q廠+(。+1)/—1的對稱軸I。=-----<0,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞

22a

增.所以當(dāng)/二,時313172

y有最小值一?！?由一。—...0,得。…一.故a的取值范圍為一,+8

2424233

18.D分析對于函數(shù)圖像識別題一般是利用函數(shù)性質(zhì)排除不符合條件的選項.

解析設(shè)〃力=2》2_別，由〃2)=8-e2G(0,1),可排除A(小于O),B(從趨勢上超過1)；

又xw（0,2）時，/'（x）=4x-e"/,（0）-//（l）=-（4-e）<0,

所以/(X)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù)，排除C故選D.

評注排除B選項的完整論述，設(shè)g(x)=/'(x),則g'(x)=4-e-由g'⑴>0,g'⑵<0,可知存在$w(l,2)

使得g'(Xo)=O且xe(/,2)時g'(x)<0,所以/'(X)在(7),2)是減函數(shù)，即xe(x(),2)時/(x)切線斜率隨％的

增大而減小，排除B.

19.A解析因為函數(shù)y=ln%,y=e”的圖像上任何一點的切線的斜率都是正數(shù)；函數(shù)y=f的圖像上任何一點的

切線的斜率都是非負(fù)數(shù).在這三個函數(shù)的圖像上都不可能存在這樣的兩點，使得在這兩點處的切線互相垂直，即不具

有了性質(zhì).利用排除法.故選A.

20.B解析由〃-x)=2-/(x)得，關(guān)于(0,1)對稱，而尸號也關(guān)于(0,1)對稱，所以對于

每一組對稱點有X,.+=0,y.+y.'=2，所以>[(%-+?)=>,=。+2-弓=加.故選B.

<=11=11=12

21.解析①不成立，可舉反例.增函數(shù)加增函數(shù)必為增函數(shù)，增函數(shù)加減函數(shù)未必單調(diào)遞減，這跟速度有關(guān)，因此可

以舉分段一次函數(shù)的形式，從速度快慢上控制.

(c,(2x4-3,X”0

.、2x,x?\/、(-x,x?()

如：/(%)=<c,，g(x)=〈T+3,0<x<1,//(%)=<^z故①錯誤.

—x+3,x>1c,2x,x〉0

i2x,x...li

②由題意/(x)+g(x)=/(x+T)+g(x+T),/(x)+/z(x)=/(x+r)+/z(x+T),

g(x)+h[x)=g(x+T)+h(x+T),前兩式求和后與第三式作差得/(x)=/(x+T),

同理可得g(x)=g(x+T),h[x)=/i(x+T).故②正確.故選D.

評注按照②的邏輯，得到了(￡)有一步是將增函數(shù)減去增函數(shù)，初想其未必就一定是增函數(shù).

22.②③解析對于①，若令4(1,1),則其伴隨點為Ag,；,而4匕,-刈的伴隨點為(-1,-1),而不是尸.故錯

誤；

對于②，令單位圓上點的坐標(biāo)為尸(cos%,sinx),其伴隨點為P(sinx,-cosx)仍在單位圓上.故②正確；

對于③，設(shè)曲線/a,y)=o關(guān)于％軸對稱，則/a,—y)=o對曲線/a,y)=o表示同一曲線，其伴隨曲線分別為

\/、

一x—y—x

y=0也表示同一曲線，又因為其伴隨曲線分別為

o2'o2—0與./-222

廠+yx+yJ(x+yx-+y-)

)'一-y-x

=0的圖像關(guān)于y軸對稱，所以③正確;

72'22=0與/-2，~2

(x+yx+y+/2元+力2

對于④，直線)=&+6上取點得，其伴隨點y-X消參后軌跡是圓.故④錯誤.所以正確的序號為②③.

(x2+y2'x2+y2

第三章導(dǎo)數(shù)與定積分

1.解析⑴/'(x)=-2asin2x-(tz-l)sinx.

(2)當(dāng)“…1時，|/(x)|=|acos2x+(a-l)(cosx+l)ka+2(a-I)=3a-2=/(0).

因此A=3cr—2.當(dāng)0<a<l時，將〃”變形為/卜)=2<7852I+(4—1)(：05T一1.

令g(f)=2"+(a-l)f—1,則A是|g(小在［-1,1］上的最大值,g(-l)=a,

g(l)=3a-2,且當(dāng)f=p時，g(f)取得極小值，極小值為=_］=_tr￡a+l

令一1〈匕凹<1,解得q>—」且所以”>?1.

4a355

(i)當(dāng)0<a”/時，g(/)在(一1,1)內(nèi)無極值點，|g(—l)|=a,|g(l)|=2—3a,|g(-l)|<|g(l)|,所以A=2-3a.

i__1__ix2+6x+11)

(ii)當(dāng)Lvavl時，在同一坐標(biāo)中畫出函數(shù)丁=%，y=,y=---------在>+8上的圖像.

5ox5)

ttz~+6。+1

由上圖，我們得到如下結(jié)論當(dāng)上<a<l時，A=--——

58。

2-3a,Q<a?

5

ci~+6a+11

綜上，<1.

8a

3a—2,a>1

（3）由（1）得=k2asin2x-（a-l）sinx，2a+\a-\\.

當(dāng)0<a,,2時，|f'（x）|?1+a?2—4a<2（2—3a）=2A；

當(dāng)!<avl時，A=-+—+所以『（x）|?l+a<2A；

當(dāng)a對時，|/'（x）|?3a-1?6a—4=2A.所以2A；

綜上所述有2A.

2.2x+y+l=o解析解法一：先求函數(shù)/?）在x>0上的解析式，再求切線方程.

設(shè)x>0,則一x<0,又/（一%）=山%-3]=/（?,所以/（%）=liu-3xa>0）,r（x）=l_3,八1）=一2,

X

所以y=/a）在點（1,一3）處的切線方程為丁+3=-2（1-1）,即2x+y+l=0.

解法二：由函數(shù)性質(zhì)來求切線方程.因為/（劃為偶函數(shù)，所以若/.）在點處的切線方程為了二"+，，則

川）在點（一%,/（—%））處的切線方程為）'=一九+瓦因此，先求出>=/（%）在點（一1,一3）處的切線方程.

又/，（X）=_L+3（X<O）,得/'（—1）=2,所以/（力在點（一1,—3）處的切線方程為y=2x-l,所以/（或在點

（1,一3）處的切線方程為）'二一21一1,即2x+y+l=0.

3.l-ln2解析y=lnr+:的切點為（與In%+2）,則它的切線為y='-x+ln%+l.y=]n（x+l）的切點為

(為111%+2),則它的切線為：y="jx+ln(x2+l)

1_1

x,+11

所以《,解得玉=萬，w--,所以力=ln%+I=l-ln2.

21

InXj4-1=In(x2+1)——邃j

4.A解析因為函數(shù))'=ln%,y=e’的圖像上任何一點的切線的斜率都是正數(shù);

函數(shù)的圖像上任何一點的切線的斜率都是非負(fù)數(shù).在這三個函數(shù)的圖像上都不可能存在這樣的兩點，使得在這

兩點處的切線互相垂直，即不具有丁性質(zhì).利用排除法.故選A.

/f(2)=-&-2+b=e-1

5.解析(1)由題可得r(x)=e"?l—％片。.再由題設(shè)，可得<,〃2，解得

[/(2)=2價+0=2⑨4)

a=2,h=e

(2)由⑴的解答及題設(shè)，可得/'(x)=e2T(l—x)+e,/'(x)的導(dǎo)函數(shù)(/'a))'=e2f(x-2).

所以函數(shù)/'(%)在(一00,2)上是減函數(shù)，在(2,+。。)上是增函數(shù)，

所以r(x)min=/'⑵=eT>0,即/'㈤>0對xeR恒成立,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一0°,+0°),無單調(diào)遞減區(qū)間.

八2)=-e"-2+b=e-1

6.解析⑴由題可得/'(x)=e"T(l-％)+江再由題設(shè)，可得<

/(2)=2ea-2+2/?=2(e-l)+4,

解得a=2,b=e.

(2)由⑴的解答及題設(shè)，可得/'(x)=e2T(l—x)+e,/'(x)的導(dǎo)函數(shù)(/'(%))'=e2-x(%-2).

所以函數(shù)/'(%)在(一00,2)上是減函數(shù)，在(2,+助上是增函數(shù)，

所以r(x)min=r(2)=e-1>0,即/'(%)>。對XeR恒成立,

所以函數(shù)/("的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,+&>),無單調(diào)遞減區(qū)間.

7.解析(1)證明：由己知得，函數(shù)的定義域為由已知得，、xw-2.

因為所以v九一24

"x)=￡|e',r(x)=e/--------4-

x+2(%+2口(x+2)2?

因為當(dāng)正(一,一2)11(-2,+8)時，/'(%)>0,所以〃6在(，》,-2)和(一2,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x>0

時，|^|e'>/(0)=-1,所以(％―2)e'+x+2>0.

,、(ex-a\x2-2x(ex-ax-a］x(x&'-2ev+ax+2a\+x+2&+")

(2)由已知得，g'(x)=-----1------，----------△----------------------1=-------------------------,

XXX

ae［O,1).

解法一：記〃(力=三|^+4,因為/z(0)=a-l<0,/z(2)=a..0,所以由(1)知力卜)在［0,2)上存在唯一零點.

記零點為小，即人(%0)=°，則g(%)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(即2)上單調(diào)遞增.故%為g(%)的極小值，此時極

小值為g(x0).

因為血二e"+a=O,所以a=一員二e~e[0,

1)=>x0e(0,2].

%+2%+2

工()X()

記P(x。),,則戶(*0)=叫/+2)二=_A±l_e^>0.

一〃(%+2)2(/+2)-

x0+2

(1e2

所以P(%o)在為402］上單調(diào)遞增，所以尸(%)e

(24

x—2

解法二：由⑴知，當(dāng)x>0時，/(x)=.e，的值域為(-1，+8)，只有一解，使得Lzl.e'=-a,t&(0,2]

x+2

當(dāng)％e(0,。時,/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)％￡&+8)時，g'OO,g(力單調(diào)遞增.

/

e

-

￡+2

乂苧>0,所以耳。單調(diào)遞增，所以〃(a)=%(f)e1e2

記后，在芯(0,2］時，小)=：

2,~4

\

8.解析(1)由/(X)可得/'(%)=3(%-1)2_Q

下面分兩種情況討論：

(i)當(dāng)。”。時,有/'(x)=3*—1)2-a..0恒成立，所以/G)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,中功.

(ii)當(dāng)Q>0時：令/'(X)=O,解得RulH----或X=1-----.

當(dāng)％變化時，/'(x)，/㈤的變化情況如表所示.

卜」-千,y/3a1+半'\l3cir,技]

X1---------1H-----

3313J

小)+0—0+

/(X)/極大值X極小值/

1+叵+/

所以/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為1—節(jié)，1+

，單調(diào)遞增區(qū)間為一。。,1一

3)

(2)證明：因為/(%)存在極值點，所以由(1)知。＞(),且

2

由題意,得/(%)=3(飛-l)2_a=0,SP(x0-l)=11進(jìn)而/(蒞)=(/_］)3_"_)=_,/告_＞

乂/(3-2%)=—彳/—/_》=(2-2%)—tz(3—2x0)-Z?=^(l-%0)+2ax0-3a-b=/5)，

且3—2馬力瓦，由題意及(1)知1,存在唯一實數(shù)滿足/(毛)=/($),且％I。%,因此占=3-2拓，即占+2%=3.

⑶證明：設(shè)g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為■,max”,y)表示％,》兩數(shù)的最大值.

下面分三種情況討論：

⑴當(dāng)0…3時，1-叵釉＜21+—,

33

由⑴知，/(1)在區(qū)間［Q2］上單調(diào)遞減，所以/。)在區(qū)間［0,2］上的取值范圍為［/(2),/(0)］,

因此弘=11^*{|/(2)|,|/(0)|}=111&*{|1-24-勿,|-1-}|}=111數(shù){|4一1+(6+歷|,|〃一1一(4+3)|}=

a-l+(a+b),a+b..O,所以M="1+|”+2.

ci—1—(a+b),a+Z?<0

由(1)和(2)知，/(O).../+，/⑵”/1+=f

所以/㈤在區(qū)間［Q2］上的取值范圍為

因此M=max</[1+^^--->/3?a-Z?||=

=max<

—-(6z+Z?)|,|^5^a23、3d」

max<

94V44

,34A125/3aV3a>/3a

(iii)當(dāng)0<a<士時，0<1------<1------<1+----<1+-----<2,

43333

所以/(%)在區(qū)間［0,2］上的取值范圍為［/(0),/(2)］,

因此A/=max||/(0)|,|/(2)||=max||—1—Z?|,|l—2tz—Z?||=

1

maxjl—a+(a+Z?)|Jl—a—(a+Z?)}=1—a+|a+4>—.

4

綜上所述，當(dāng)a>0時，g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值不小于5

9.解析(l)/,(x)=-2tzsin2x-(tz-l)sinx.

(2)當(dāng)?！?時，火》)=|acos2x+(a—l)(cosx+l)|wa+2(a—l)=3a—2=/(0).

因此A=3c—2.

當(dāng)0<a<l時，將/(%)變形為/(x)=2?cos2x+(a-l)cosx-l.

令g(r)=2ar+(a-1),一1,則A是|g⑺|在上的最大值，g(—l)=a,

g(l)=3a-2,且當(dāng)f=f時，g(f)取得極小值，極小值為g(寧)=-("；I_]=_。2藍(lán)a+1

令一1〈匕q<1,解得〃>—■!■且q>L,所以a>>L

4a355

⑴當(dāng)O<a"&fl寸，g(f)在(一1,1)內(nèi)無極值點，=a,=2-3a,,所以A=2-3a.

i__??x2,+6x+11、

(ii)當(dāng)L〈avi時，在同一坐標(biāo)中畫出函數(shù)y=x,y=|3x—2],y=-------在+8上的圖像.

5oX5)

1.6Z"+6。+1

由上圖，我們得到如下結(jié)論當(dāng)上<a<l時，A=--——

58a

2-3a,0<a”—

CL+6a+11

綜上,------------,-va<1.

8a5

3a-2,a>1

(3)由(1)得，(x)|=k2asin2x—(c—l)sinx，2a+|a-1|.

當(dāng)0<a,,g時，|/'(x)|?1+a?2-4a<2(2-3a)=2A；

當(dāng)，<<z<l時，A=-+—+所以，(x)|?l+a<2A；

588c/4

當(dāng)a對時，|/'(x)|?3a-l?6a—4=2A.所以2A；

綜上所述有2A.

10.解析(1)證明：由已知得，函數(shù)的定義域為由己知得，x^-2.

x-24、x2ex

因為/(x)=￡|e、，所以r(x)=e'-----+

x+2(尤+2口(尤+2廣

因為當(dāng)％e(Y,—2)U(—2,+8)時，/'(x)>0,所以〃x)在(一8,—2)和(一2,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)

x>0時，—eA>/(0)=—1,所以(％—2)e"+x+2>0.

(X-2,)

-24+ar+勾_(x+2)——e+a

(e"Q)x2Rfe-or-tz)](年才lx+2J

(2)由已知得，g'(x)

X4X4x3

as[0,1)

x—2x

解法一：記〃(x)=-----e+a,因為//(O)=Q—1<0,從2)=U?..0,所以由⑴知貼)在［0,2)上存在唯一零

x+2

點.記零點為七,即〃(毛)=0,則g(x)在(0,毛)上單調(diào)遞減，在1，2)上單調(diào)遞增.

故&)為g(力的極小值，此時極小值為g(%).

因為％Ee~+a=0,所以。=一士工e&e

[0,1)=>x0e(0,2].

%+2%+2

%-2

/、e"

_e%-tz(x+1)*0+2鏟

所以()0

gM22

X?！鯲%+2

e%爐'(而+2)-9>x0+l

記P(玉)逅，，則尸'(蒞)=石。">0，

(X0+2)2(%+2)

1e2

所以月(七)在小€(0,2］上單調(diào)遞增，所以尸(%)e一,--

24

解法二：由(1)知，當(dāng)x>0時，.y(x)=Wg.e'的值域為(一1，+8),只有一解，使得消?=—a,/￡(0,2]

當(dāng)％e(Oj)時,g'(%)<0,也)單調(diào)遞減；當(dāng)％e(E,+8)時,g'(%)>0,怨)單調(diào)遞增.

e，+(f+l)匕，

〃⑷二巴約、。+2.e

2t+2'

ee'”+l)

記M')=77i，在‘4°，2］時，％'(，)=