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參考答案
第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)
1.C解析由已知集合、=(一2,2),8={—1,0,1,2,3},所以AI8={-1,0,1}.故選C.
2.D解析由5=??3或%?2},T={x|x>0},得SIT={x[O<x京!]2或%3}.故選D.
3.C解析因?yàn)?={R(X+1)(X-2)<。’xeZj=|x|-l<x<2,xeZ},
所以3={0,1},所以AU8={0,1,2,3}.故選C.
4.{-1,2}解析由交集的運(yùn)算法則可得AIB={-1,2}.
5.C解析由題意,A=(0,+co),B=(-l,l),所以AU8=(—1,+8).故選c.
6.(2,4)解析由題意-I<x—3<1,即2<x<4,則解集為(2,4).
7.解析由題意,AIZ={-2,-l,0』,2}.故其中的元素個(gè)數(shù)為5.故選c.
8.D解析由題意可得3={1,4,7,10},則AI8={1,4卜故選D.
(31(3、
9.D解析由題意可得A=(l,3),B=-,+oo,所以AIB=-,3.故選D.
10.B解析因?yàn)镼={xeRR…4卜所以40={x|為<4}=(—2,2),所以
(4。)U尸=(一2,2)U[l,3]=(-2,3].故選B.
H.A解析由直線(xiàn)。和直線(xiàn)b相交,可知平面制.有公共點(diǎn),所以平面a和平面少相交.反過(guò)來(lái),如果平面a和
平面P相交,直線(xiàn)a和直線(xiàn)b不一定相交,可能與兩平面的交線(xiàn)都平行.故選A.
12.A解析由題意“2>io“>i或。<一1,因此〃>1=>/>1,/
故選A.
13.A解析畫(huà)出可行域(如圖所示),可知命題“中不等式組表示的平面區(qū)域△ABC在命
題p中不等式表示的圓盤(pán)內(nèi)所以g(j故選A.
_22
14.D解析命題的否定,先否定量詞,在否定結(jié)論.D的否定是m的否定是D,n...x的否定是.
故原命題的否定形式為mxeR,V〃eN*,使得〃.故選D.
第二章函數(shù)
1.log2(x-l)解析由題意/+i=9.故a=2,從而/(%)=1+2”,
-l
所以x=log2(yT)儆/(x)=log2(x-l).
2.[-3,1]解析由題意得3-2x-f…o,解得—3瓠X1,因此定義域?yàn)閇一3,1].
3.2;解析設(shè)函數(shù)y=d-3x(xeR),得y=3(%+lX%T),
所以函數(shù)y在(H°,-1),(L+C0)上均是增函數(shù),在(T,l)上是減函數(shù),
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí),y極大值=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)加卜值=_2-
從而可作出函數(shù)y=£-3x(xe2及y=-2x(xeR)的圖像如圖所示.
由圖可知:
⑴若a=O,1rax=〃-1)=2;
(2)當(dāng)〃...一1時(shí),/(X)有最大值/(一1)=2;當(dāng)a<-l時(shí),-2%在時(shí)無(wú)最大值,
且-2a>(3-3x)mu,所以"一1,即。的取值范圍是(—8,T).
4.解析(1)由”...3,所以當(dāng)兒,1時(shí),(x?—2ox+4a—2)—2|x—=J+2(a—1)(2—x)>0,
所以此時(shí)產(chǎn)(1)=2,一1|;
當(dāng)x>l時(shí),(尤2一2奴+4a-2)—2|x—l|=(x-2)(x-2a)①.要使①式小于等于O,即2WxW2a,
所以此時(shí)F(x)=-2以+4。-2.
由上所述使得等式F(%)=V-2G+4。-2成立的工的取值范圍為[2,2a].
(2)(i)設(shè)函數(shù)/(%)=2,一1],g(x)=x2-2ax+4a-2,
則〃%=〃1)=°,g(%=g(。)=一,+4”-2,
所以由尸(%)的定義知機(jī)(a)=min{/(l),g⑷},當(dāng)/(l)wg(a)時(shí),解得3WaW2+收;
,小/、、|0,3領(lǐng)I。2+V2
當(dāng)/(l)>g?時(shí),解得a>2+,2.即加(。)={
—ci~+4a—2,a>2+>/2
(ii)當(dāng)2時(shí),F(xiàn)(x)=/(x)=2|x-l|,所以F(x)在x=O或x=2時(shí)取得最大值為
F(0)=F(2)=2;
當(dāng)2翁氏6時(shí),F(xiàn)(x)=g(%)=x2-2ax+4a-2=(x-a)--a2+4a-2,
所以尸(x)在兩端點(diǎn)x=2或x=6時(shí)取得最大值./(2)=2,F(6)=34-8tz,
所以當(dāng)3wa<4時(shí),有尸(2)<尸(6);
34—8。,3?〃<4
當(dāng)時(shí),有F(2)》F(6),所以A/(a=《
2,a...4
5.2x+y+l=0解析解法一:先求函數(shù)/(%)在x>o上的解析式,再求切線(xiàn)方程.
設(shè)無(wú)>0,則一1<0,又/(r)=hu-3x=/a),所以/q)=hu-3xa>0),
/,(X)=_L_3,/(I)=—2,所以y=/(x)在點(diǎn)(1,一3)處的切線(xiàn)方程為了+3=-2(%-1),即2x+y+l=0.
X
解法二:由函數(shù)性質(zhì)來(lái)求切線(xiàn)方程.因?yàn)?㈤為偶函數(shù),所以若/(X)在點(diǎn)卜。,/[。))處的切線(xiàn)方程為)'二h+氏則
川)在點(diǎn)(一玉,"(一X。))處的切線(xiàn)方程為)'=-&+瓦因此,先求出y=/(x)在點(diǎn)(一1,一3)處的切線(xiàn)方程.
又f(x)=,+3(x<0),得/(—1)=2,所以/⑺在點(diǎn)(一1,一3)處的切線(xiàn)方程為丁二2%一1,
所以/㈤在點(diǎn)(1,一3)處的切線(xiàn)方程為)'二一2工一1,即2x+y+l=0.
c11lie
6.C解析選項(xiàng)A錯(cuò)誤:因?yàn)?>丁>0=—<一=-----<0;
xyxy
選項(xiàng)B錯(cuò)誤:三角函數(shù))'=5皿%在(0,48)上不是單調(diào)的,所以不一定有sinx>siny.舉反例如,
當(dāng)x=y+2n>y>0時(shí),sinx-siny=0;
選項(xiàng)C正確:由指數(shù)函數(shù)/(/)=(;)是減函數(shù),可得x>y>0=(;)<(;)一<0;
選項(xiàng)D錯(cuò)誤:舉一個(gè)反例如,X=e,y=滿(mǎn)足%>y>o,但lnx+lny=o.
e
故選C.
7.解析(1)由題意log2('+5卜0=log21,即工+5>1,整理得生土1>0,即x(4x+l)>0,
\XJxx
故不等式的解為1x|x>0或尤<-[];
14.
(2)依題意log2(,+a)=log2[(a-4)x+2a-5],所以1+a=(a—4)x+2a—5>0,①
整理得(a-4)f+(a—5)x-l=0,即(x+l)[(a-4)x-l]=0,②
當(dāng)a=4時(shí),方程②的解為%=—1,代入①式,成立;當(dāng)4=3時(shí),方程②的解為x=-l,代入①式,成立;
當(dāng)且a,4時(shí),方程②的解為%=—1或」;,
々一4
若x=—l為方程①的解,則,+。=。-1>0,即a>l,若》=1為方程①的解,則,+a=2a-4>0,即
Xa—4X
a>2.
a>1。,,14C
要使得方程①有且僅有一個(gè)解,則%2或"2,即“"2.
綜上,若原方程的解集有且只有一個(gè)元素,則a的取值范圍為1<〃力2或4=3或0=4.
11flXlog1、
〉—〃+
(3)當(dāng)0<再<42時(shí),—FaF,log22—十。
工2)工27
所以/(X)在(0,”)上單調(diào)遞減.因此/(X)在g+1]上單調(diào)遞減.故只需滿(mǎn)足/(力―+1,
BPlogJ-+<7j-10g
2+。1,所以一+。,,2
12\-t
即a...---------=———,設(shè)1—t=r,貝ijre0,—,
tZ+12(+1)(l-r)(2-r)r2-3r+2-
1
;當(dāng)小,時(shí),2=又函數(shù):在()遞減,
當(dāng)r=0時(shí),=00<gr-3r+2r+2_3,y=x+0,0
r2-3r+2
r
112
21Q二一---------------------------2
所以/■+=..=+4=:.故2J9)3.故〃的取值范圍為?!?/p>
r22r+——3一一33
r2
評(píng)注第(3)問(wèn)還可從二次函數(shù)的角度考查,由1+Q,,2|-!1-+6Z
整理得〃廣+(a+l)f—1.?0對(duì)任意
1
t€一,1成立.因?yàn)镼>0,函數(shù)y=〃/+11+1)£—1的對(duì)稱(chēng)軸=-------<0,故函數(shù)在區(qū)間-,1上單調(diào)遞
22a2
131322、
增.所以當(dāng)『=一時(shí),y有最小值一〃一一,由一”--...0,得a…一.故a的取值范圍為一,+8.
24、2423|_3)
一2解析由題意得/一55’2、2_1_1
8.=f5~2
527To
q
由/2',可得4=3,則/(5a)=/(3)=/(_l)=_l+a=_2
「工2>5
1-cos2x,.cos2x
9.B解析由f(x)=sin2x+Z?sinx+c=-------------F/?sinx+c=----------+bsinx+c+-,
222
y=cos2x的最小正周期為兀,),=5出工的最小正周期為2兀.
當(dāng)}=。時(shí),/(x)=_£2|^+c+g,此時(shí)/(力的最小正周期是兀;
當(dāng)}WO時(shí),此時(shí)/(1)的最小正周期為2兀,所以人影響/(工)的最小正周期,
而。為常數(shù)項(xiàng)不影響/W的最小正周期.故選B.
10.D解析由/%+;=/X--知,當(dāng)x>J■時(shí),/㈤的周期為1,所以/⑹=/(1).
II2)2
又當(dāng)T繳1時(shí),/(-x)=-/(x),所以/(I)=-/(-1).于是/⑹=/(1)=-/(-I)=-[(-爐-1]=2.故選D.
11.解析由題意得了(_?/(—右)=>一24">—0=2'”"=>
故選C.
12.解析⑴/(x)的定義域?yàn)?+eZ>.
/(x)=4tanxcosxcosx-—一百=4sinxcosx---A/3-
I3/x.3J
4sinx-COSX+—sinx-V3=2sinxcosx+2A/3sin2x-73=
122
sin2》+6(1-8$2力-石=5出2X-石(:052%=25耳2%-;]所以/(6的最小正周期7=21=兀.
(2)令Z=2x-],函數(shù))'=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是一]+2E,]+2E(ZeZ).
由一二+2依鼓!]2x—工—+2^n>得一?—+knH!J.r—+kn>keZ.
2321212
7171
設(shè)4=B-<x—三+而領(lǐng)jx—+kn,keZ>>易知AIB--?—
4,41212124
71(71]71T7t7Cn/\7C7T71兀
又一77—一二=7<-,所以當(dāng)xw時(shí),/(x)在區(qū)間一上單調(diào)遞增,在區(qū)間一,上
1214J6244J')L124j412
單調(diào)遞減.
13.B解析依題意,可得三=工.(24+1),左GN,且變一2L”工,即T…二.
24、7361826
故2k+1”12,keN,即%,,”,keN.當(dāng)攵=5時(shí),7=生.又二—女=至<2,
211184114436
,“、,兀兀),2K7if7i
因此"6在匕,最5,上不單調(diào).當(dāng)%=4時(shí),7丁27r且7丁i區(qū)=記乜名】
7T兀57r兀5兀、'因此〃“)在看知
又-----=—走上單調(diào),則①的最大值為9.故選B.
,
49361836.
14.4;2解析設(shè)logba=f,因?yàn)閍>b>l,則r>l.由題知r+[=*,解得f=2,所以〃=從.由
t2
將帶入,得b"=b",2b=b2,得}=2,4=4.
fWW122
15.A解析由。=2§=4"b=V,得a>b,由c=25,=5,>如,則C>。因此c>a>h.故選A.
16.C解析對(duì)于選項(xiàng)A:由于。<c<l,所以函數(shù))'=f在(0,+8)上單調(diào)遞增.由a>b>l,得,>片
故A錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)B:要比較由與時(shí)的大小,只需比較巴與色的大小.構(gòu)造函數(shù),因?yàn)閍>h>l,所以呸>1,
b⑴?(切b
因此函數(shù)HP在R上單調(diào)遞增.又O<C<1,所以(?)<£,即加.故B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C:要比較abg/與Mog“C的大小關(guān)系,只需比較必與口畛的大小,即比較Mn8與alna的大小.構(gòu)
b\nba\na
造輔助函數(shù)〃x)=xlnx,f'(x)=lnx+l.令/'(x)=0得x=1.函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此,
若a>h>l,得alna>Mn/?,故一1-<—L-.又lnc<0,所以龍邑>包邑,即處£>生上,
a\nahlnha\nah\nh\naInfo
得從og“c>alogbc.故選項(xiàng)C正確.
對(duì)于選項(xiàng)D:比較log/與log/的大小,只需比較巫與叵的大小,即比較Ina與In匕的大小.又
InaIn/?
得lna〉ln》〉0,所以」_<_L.又lnc<0,得巫>紅,即log.c>log;,c.故選項(xiàng)D不正確.
InaInAInaInZ?
綜上可得.故選C.
17.解析(1)由題意Iog21+5>0=log21,即,+5>l,整理得生l>0,即%(4%+l)>0.
kXJx尤
故不等式的解為木>°或“<—>;
(2)依題意log2(,+a)=log2[(a-4)x+2a-5],所以工+a=(a—4)x+2a—5>0,①
整理得(a-4)d+(a_5)x-l=0,即(x+l)[(a-4)x-l]=0,②
當(dāng)a=4時(shí),方程②的解為%=—1,代入①式,成立;當(dāng)a=3時(shí),方程②的解為x=—l,代入①式,成立;
當(dāng)且時(shí),方程②的解為x=—1或」;,若x=—1為方程①的解,則,+a=a—1>0,即。>1,
a-4x
若x=」一為方程①的解,則,+。=2。-4>0,即a>2.
<7-4X
a>1/a,,1y-
要使得方程①有且僅有一個(gè)解,貝".或<C,即2.
a?2\a>2
綜上,若原方程的解集有且只有一個(gè)元素,則〃的取值范圍為2或4=3或a=4.
11
(3)當(dāng)0<再<巧時(shí),--FQ〉---FQ,log,—+a>logj—+a
")"J
所以在(o,+x>)上單調(diào)遞減.因此“X)在[rj+1]上單調(diào)遞減.故只需滿(mǎn)足/(%)-/(f+1)”1,
BPlog2^+aj-log1(1
2+a?1所以-+a”2—-+a
t(f+1
121—,11—/rv
即"—77T=百'設(shè)j=「'則7(771)=(i-r)(2-r)=7^71-
1
=廠+乙,又函數(shù)y=x+:在(°,、反)遞減,
當(dāng)r=0時(shí)=0;當(dāng)。<小,5時(shí),2-3r+2
,r2-3r+2r
112
21Q---------------------=-2
所以〃+L5+4=5.故『+2一3”9一33?故〃的取值范圍為.…§
r2
1
評(píng)注第(3)問(wèn)還可從二次函數(shù)的角度考查,由一+%,整理得+(a+1)—1…。對(duì)任意
11v
tw—,1成區(qū).因?yàn)閍>0,函數(shù)y=Q廠+(。+1)/—1的對(duì)稱(chēng)軸I。=-----<0,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞
22a
增.所以當(dāng)/二,時(shí)313172
y有最小值一?!?由一?!?..0,得?!?故a的取值范圍為一,+8
2424233
18.D分析對(duì)于函數(shù)圖像識(shí)別題一般是利用函數(shù)性質(zhì)排除不符合條件的選項(xiàng).
解析設(shè)〃力=2》2_別,由〃2)=8-e2G(0,1),可排除A(小于O),B(從趨勢(shì)上超過(guò)1);
又xw(0,2)時(shí),/'(x)=4x-e"/,(0)-//(l)=-(4-e)<0,
所以/(X)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù),排除C故選D.
評(píng)注排除B選項(xiàng)的完整論述,設(shè)g(x)=/'(x),則g'(x)=4-e-由g'⑴>0,g'⑵<0,可知存在$w(l,2)
使得g'(Xo)=O且xe(/,2)時(shí)g'(x)<0,所以/'(X)在(7),2)是減函數(shù),即xe(x(),2)時(shí)/(x)切線(xiàn)斜率隨%的
增大而減小,排除B.
19.A解析因?yàn)楹瘮?shù)y=ln%,y=e”的圖像上任何一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率都是正數(shù);函數(shù)y=f的圖像上任何一點(diǎn)的
切線(xiàn)的斜率都是非負(fù)數(shù).在這三個(gè)函數(shù)的圖像上都不可能存在這樣的兩點(diǎn),使得在這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,即不具
有了性質(zhì).利用排除法.故選A.
20.B解析由〃-x)=2-/(x)得,關(guān)于(0,1)對(duì)稱(chēng),而尸號(hào)也關(guān)于(0,1)對(duì)稱(chēng),所以對(duì)于
每一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)有X,.+=0,y.+y.'=2,所以>[(%-+?)=>,=。+2-弓=加.故選B.
<=11=11=12
21.解析①不成立,可舉反例.增函數(shù)加增函數(shù)必為增函數(shù),增函數(shù)加減函數(shù)未必單調(diào)遞減,這跟速度有關(guān),因此可
以舉分段一次函數(shù)的形式,從速度快慢上控制.
(c,(2x4-3,X”0
.、2x,x?\/、(-x,x?()
如:/(%)=<c,,g(x)=〈T+3,0<x<1,//(%)=<^z故①錯(cuò)誤.
—x+3,x>1c,2x,x〉0
i2x,x...li
②由題意/(x)+g(x)=/(x+T)+g(x+T),/(x)+/z(x)=/(x+r)+/z(x+T),
g(x)+h[x)=g(x+T)+h(x+T),前兩式求和后與第三式作差得/(x)=/(x+T),
同理可得g(x)=g(x+T),h[x)=/i(x+T).故②正確.故選D.
評(píng)注按照②的邏輯,得到了(£)有一步是將增函數(shù)減去增函數(shù),初想其未必就一定是增函數(shù).
22.②③解析對(duì)于①,若令4(1,1),則其伴隨點(diǎn)為Ag,;,而4匕,-刈的伴隨點(diǎn)為(-1,-1),而不是尸.故錯(cuò)
誤;
對(duì)于②,令單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為尸(cos%,sinx),其伴隨點(diǎn)為P(sinx,-cosx)仍在單位圓上.故②正確;
對(duì)于③,設(shè)曲線(xiàn)/a,y)=o關(guān)于%軸對(duì)稱(chēng),則/a,—y)=o對(duì)曲線(xiàn)/a,y)=o表示同一曲線(xiàn),其伴隨曲線(xiàn)分別為
\/、
一x—y—x
y=0也表示同一曲線(xiàn),又因?yàn)槠浒殡S曲線(xiàn)分別為
o2'o2—0與./-222
廠+yx+yJ(x+yx-+y-)
)'一-y-x
=0的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以③正確;
72'22=0與/-2,~2
(x+yx+y+/2元+力2
對(duì)于④,直線(xiàn))=&+6上取點(diǎn)得,其伴隨點(diǎn)y-X消參后軌跡是圓.故④錯(cuò)誤.所以正確的序號(hào)為②③.
(x2+y2'x2+y2
第三章導(dǎo)數(shù)與定積分
1.解析⑴/'(x)=-2asin2x-(tz-l)sinx.
(2)當(dāng)“…1時(shí),|/(x)|=|acos2x+(a-l)(cosx+l)ka+2(a-I)=3a-2=/(0).
因此A=3cr—2.當(dāng)0<a<l時(shí),將〃”變形為/卜)=2<7852I+(4—1)(:05T一1.
令g(f)=2"+(a-l)f—1,則A是|g(小在[-1,1]上的最大值,g(-l)=a,
g(l)=3a-2,且當(dāng)f=p時(shí),g(f)取得極小值,極小值為=_]=_tr£a+l
令一1〈匕凹<1,解得q>—」且所以”>?1.
4a355
(i)當(dāng)0<a”/時(shí),g(/)在(一1,1)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),|g(—l)|=a,|g(l)|=2—3a,|g(-l)|<|g(l)|,所以A=2-3a.
i__1__ix2+6x+11)
(ii)當(dāng)Lvavl時(shí),在同一坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)丁=%,y=,y=---------在>+8上的圖像.
5ox5)
ttz~+6。+1
由上圖,我們得到如下結(jié)論當(dāng)上<a<l時(shí),A=--——
58。
2-3a,Q<a?
5
ci~+6a+11
綜上,<1.
8a
3a—2,a>1
(3)由(1)得=k2asin2x-(a-l)sinx,2a+\a-\\.
當(dāng)0<a,,2時(shí),|f'(x)|?1+a?2—4a<2(2—3a)=2A;
當(dāng)!<avl時(shí),A=-+—+所以『(x)|?l+a<2A;
當(dāng)a對(duì)時(shí),|/'(x)|?3a-1?6a—4=2A.所以2A;
綜上所述有2A.
2.2x+y+l=o解析解法一:先求函數(shù)/?)在x>0上的解析式,再求切線(xiàn)方程.
設(shè)x>0,則一x<0,又/(一%)=山%-3]=/(?,所以/(%)=liu-3xa>0),r(x)=l_3,八1)=一2,
X
所以y=/a)在點(diǎn)(1,一3)處的切線(xiàn)方程為丁+3=-2(1-1),即2x+y+l=0.
解法二:由函數(shù)性質(zhì)來(lái)求切線(xiàn)方程.因?yàn)?(劃為偶函數(shù),所以若/.)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為了二"+,,則
川)在點(diǎn)(一%,/(—%))處的切線(xiàn)方程為)'=一九+瓦因此,先求出>=/(%)在點(diǎn)(一1,一3)處的切線(xiàn)方程.
又/,(X)=_L+3(X<O),得/'(—1)=2,所以/(力在點(diǎn)(一1,—3)處的切線(xiàn)方程為y=2x-l,所以/(或在點(diǎn)
(1,一3)處的切線(xiàn)方程為)'二一21一1,即2x+y+l=0.
3.l-ln2解析y=lnr+:的切點(diǎn)為(與In%+2),則它的切線(xiàn)為y='-x+ln%+l.y=]n(x+l)的切點(diǎn)為
(為111%+2),則它的切線(xiàn)為:y="jx+ln(x2+l)
1_1
x,+11
所以《,解得玉=萬(wàn),w--,所以力=ln%+I=l-ln2.
21
InXj4-1=In(x2+1)——邃j
4.A解析因?yàn)楹瘮?shù))'=ln%,y=e’的圖像上任何一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率都是正數(shù);
函數(shù)的圖像上任何一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率都是非負(fù)數(shù).在這三個(gè)函數(shù)的圖像上都不可能存在這樣的兩點(diǎn),使得在這
兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,即不具有丁性質(zhì).利用排除法.故選A.
/f(2)=-&-2+b=e-1
5.解析(1)由題可得r(x)=e"?l—%片。.再由題設(shè),可得<,〃2,解得
[/(2)=2價(jià)+0=2⑨4)
a=2,h=e
(2)由⑴的解答及題設(shè),可得/'(x)=e2T(l—x)+e,/'(x)的導(dǎo)函數(shù)(/'a))'=e2f(x-2).
所以函數(shù)/'(%)在(一00,2)上是減函數(shù),在(2,+。。)上是增函數(shù),
所以r(x)min=/'⑵=eT>0,即/'㈤>0對(duì)xeR恒成立,
所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一0°,+0°),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
八2)=-e"-2+b=e-1
6.解析⑴由題可得/'(x)=e"T(l-%)+江再由題設(shè),可得<
/(2)=2ea-2+2/?=2(e-l)+4,
解得a=2,b=e.
(2)由⑴的解答及題設(shè),可得/'(x)=e2T(l—x)+e,/'(x)的導(dǎo)函數(shù)(/'(%))'=e2-x(%-2).
所以函數(shù)/'(%)在(一00,2)上是減函數(shù),在(2,+助上是增函數(shù),
所以r(x)min=r(2)=e-1>0,即/'(%)>。對(duì)XeR恒成立,
所以函數(shù)/("的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,+&>),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.
7.解析(1)證明:由己知得,函數(shù)的定義域?yàn)橛梢阎?,、xw-2.
因?yàn)樗詖九一24
"x)=£|e',r(x)=e/--------4-
x+2(%+2口(x+2)2?
因?yàn)楫?dāng)正(一,一2)11(-2,+8)時(shí),/'(%)>0,所以〃6在(,》,-2)和(一2,+8)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>0
時(shí),|^|e'>/(0)=-1,所以(%―2)e'+x+2>0.
,、(ex-a\x2-2x(ex-ax-a]x(x&'-2ev+ax+2a\+x+2&+")
(2)由已知得,g'(x)=-----1------,----------△----------------------1=-------------------------,
XXX
ae[O,1).
解法一:記〃(力=三|^+4,因?yàn)?z(0)=a-l<0,/z(2)=a..0,所以由(1)知力卜)在[0,2)上存在唯一零點(diǎn).
記零點(diǎn)為小,即人(%0)=°,則g(%)在(0,%)上單調(diào)遞減,在(即2)上單調(diào)遞增.故%為g(%)的極小值,此時(shí)極
小值為g(x0).
因?yàn)檠"+a=O,所以a=一員二e~e[0,
1)=>x0e(0,2].
%+2%+2
工()X()
記P(x。),,則戶(hù)(*0)=叫/+2)二=_A±l_e^>0.
一〃(%+2)2(/+2)-
x0+2
(1e2
所以P(%o)在為402]上單調(diào)遞增,所以尸(%)e
(24
x—2
解法二:由⑴知,當(dāng)x>0時(shí),/(x)=.e,的值域?yàn)?-1,+8),只有一解,使得Lzl.e'=-a,t&(0,2]
x+2
當(dāng)%e(0,。時(shí),/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)%£&+8)時(shí),g'OO,g(力單調(diào)遞增.
/
e
-
£+2
乂苧>0,所以耳。單調(diào)遞增,所以〃(a)=%(f)e1e2
記后,在芯(0,2]時(shí),小)=:
2,~4
\
8.解析(1)由/(X)可得/'(%)=3(%-1)2_Q
下面分兩種情況討論:
(i)當(dāng)?!薄r(shí),有/'(x)=3*—1)2-a..0恒成立,所以/G)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,中功.
(ii)當(dāng)Q>0時(shí):令/'(X)=O,解得RulH----或X=1-----.
當(dāng)%變化時(shí),/'(x),/㈤的變化情況如表所示.
卜」-千,y/3a1+半'\l3cir,技]
X1---------1H-----
3313J
小)+0—0+
/(X)/極大值X極小值/
1+叵+/
所以/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為1—節(jié),1+
,單調(diào)遞增區(qū)間為一。。,1一
3)
(2)證明:因?yàn)?(%)存在極值點(diǎn),所以由(1)知。>(),且
2
由題意,得/(%)=3(飛-l)2_a=0,SP(x0-l)=11進(jìn)而/(蒞)=(/_])3_"_)=_,/告_>
乂/(3-2%)=—彳/—/_》=(2-2%)—tz(3—2x0)-Z?=^(l-%0)+2ax0-3a-b=/5),
且3—2馬力瓦,由題意及(1)知1,存在唯一實(shí)數(shù)滿(mǎn)足/(毛)=/($),且%I。%,因此占=3-2拓,即占+2%=3.
⑶證明:設(shè)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為■,max”,y)表示%,》兩數(shù)的最大值.
下面分三種情況討論:
⑴當(dāng)0…3時(shí),1-叵釉<21+—,
33
由⑴知,/(1)在區(qū)間[Q2]上單調(diào)遞減,所以/。)在區(qū)間[0,2]上的取值范圍為[/(2),/(0)],
因此弘=11^*{|/(2)|,|/(0)|}=111&*{|1-24-勿,|-1-}|}=111數(shù){|4一1+(6+歷|,|〃一1一(4+3)|}=
a-l+(a+b),a+b..O,所以M="1+|”+2.
ci—1—(a+b),a+Z?<0
由(1)和(2)知,/(O).../+,/⑵”/1+=f
所以/㈤在區(qū)間[Q2]上的取值范圍為
因此M=max</[1+^^--->/3?a-Z?||=
=max<
—-(6z+Z?)|,|^5^a23、3d」
max<
94V44
,34A125/3aV3a>/3a
(iii)當(dāng)0<a<士時(shí),0<1------<1------<1+----<1+-----<2,
43333
所以/(%)在區(qū)間[0,2]上的取值范圍為[/(0),/(2)],
因此A/=max||/(0)|,|/(2)||=max||—1—Z?|,|l—2tz—Z?||=
1
maxjl—a+(a+Z?)|Jl—a—(a+Z?)}=1—a+|a+4>—.
4
綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于5
9.解析(l)/,(x)=-2tzsin2x-(tz-l)sinx.
(2)當(dāng)?!?時(shí),火》)=|acos2x+(a—l)(cosx+l)|wa+2(a—l)=3a—2=/(0).
因此A=3c—2.
當(dāng)0<a<l時(shí),將/(%)變形為/(x)=2?cos2x+(a-l)cosx-l.
令g(r)=2ar+(a-1),一1,則A是|g⑺|在上的最大值,g(—l)=a,
g(l)=3a-2,且當(dāng)f=f時(shí),g(f)取得極小值,極小值為g(寧)=-(";I_]=_。2藍(lán)a+1
令一1〈匕q<1,解得〃>—■!■且q>L,所以a>>L
4a355
⑴當(dāng)O<a"&fl寸,g(f)在(一1,1)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),=a,=2-3a,,所以A=2-3a.
i__??x2,+6x+11、
(ii)當(dāng)L〈avi時(shí),在同一坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)y=x,y=|3x—2],y=-------在+8上的圖像.
5oX5)
1.6Z"+6。+1
由上圖,我們得到如下結(jié)論當(dāng)上<a<l時(shí),A=--——
58a
2-3a,0<a”—
CL+6a+11
綜上,------------,-va<1.
8a5
3a-2,a>1
(3)由(1)得,(x)|=k2asin2x—(c—l)sinx,2a+|a-1|.
當(dāng)0<a,,g時(shí),|/'(x)|?1+a?2-4a<2(2-3a)=2A;
當(dāng),<<z<l時(shí),A=-+—+所以,(x)|?l+a<2A;
588c/4
當(dāng)a對(duì)時(shí),|/'(x)|?3a-l?6a—4=2A.所以2A;
綜上所述有2A.
10.解析(1)證明:由已知得,函數(shù)的定義域?yàn)橛杉褐茫瑇^-2.
x-24、x2ex
因?yàn)?(x)=£|e、,所以r(x)=e'-----+
x+2(尤+2口(尤+2廣
因?yàn)楫?dāng)%e(Y,—2)U(—2,+8)時(shí),/'(x)>0,所以〃x)在(一8,—2)和(一2,+8)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)
x>0時(shí),—eA>/(0)=—1,所以(%—2)e"+x+2>0.
(X-2,)
-24+ar+勾_(x+2)——e+a
(e"Q)x2Rfe-or-tz)](年才lx+2J
(2)由已知得,g'(x)
X4X4x3
as[0,1)
x—2x
解法一:記〃(x)=-----e+a,因?yàn)?/(O)=Q—1<0,從2)=U?..0,所以由⑴知貼)在[0,2)上存在唯一零
x+2
點(diǎn).記零點(diǎn)為七,即〃(毛)=0,則g(x)在(0,毛)上單調(diào)遞減,在1,2)上單調(diào)遞增.
故&)為g(力的極小值,此時(shí)極小值為g(%).
因?yàn)椋e~+a=0,所以。=一士工e&e
[0,1)=>x0e(0,2].
%+2%+2
%-2
/、e"
_e%-tz(x+1)*0+2鏟
所以()0
gM22
X?!鯲%+2
e%爐'(而+2)-9>x0+l
記P(玉)逅,,則尸'(蒞)=石。">0,
(X0+2)2(%+2)
1e2
所以月(七)在小€(0,2]上單調(diào)遞增,所以尸(%)e一,--
24
解法二:由(1)知,當(dāng)x>0時(shí),.y(x)=Wg.e'的值域?yàn)?一1,+8),只有一解,使得消?=—a,/£(0,2]
當(dāng)%e(Oj)時(shí),g'(%)<0,也)單調(diào)遞減;當(dāng)%e(E,+8)時(shí),g'(%)>0,怨)單調(diào)遞增.
e,+(f+l)匕,
〃⑷二巴約、。+2.e
2t+2'
ee'”+l)
記M')=77i,在‘4°,2]時(shí),%'(,)=
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