2024屆浙江寧波市北侖區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2024屆浙江寧波市北侖區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，且，，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則（）A．7 B．6 C．5 D．92．將函數(shù)的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為A． B．C． D．3．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．104．設(shè)均為正數(shù)，且，，．則（）A． B． C． D．5．如圖所示，墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．與a的值有關(guān)聯(lián)6．在中，，則這個(gè)三角形的形狀為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形7．若函數(shù)f（x）=loga（x2–ax+2）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞） D．（2，+∞）8．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（）.A． B． C． D．9．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，則△ABC是A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形10．已知直線(xiàn)的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集為_(kāi)________________；12．函數(shù)可由y=sin2x向左平移___________個(gè)單位得到．13．下列說(shuō)法中：①若，滿(mǎn)足，則的最大值為；②若，則函數(shù)的最小值為③若，滿(mǎn)足，則的最小值為④函數(shù)的最小值為正確的有__________．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫(xiě)上）14．已知為銳角，則_______.15．分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦.B.曼德?tīng)柌剂_特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，下圖是按照一定的分形規(guī)律生長(zhǎng)成一個(gè)數(shù)形圖，則第13行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________16．在中，給出如下命題:①是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則是的垂心；②是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)一定過(guò)的重心；③是內(nèi)一定點(diǎn)，且，則；④若且，則為等邊三角形，其中正確的命題為_(kāi)____（將所有正確命題的序號(hào)都填上）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，，點(diǎn)D在邊AB上，，且.（1）若的面積為，求CD；（2）設(shè)，若，求證：.18．已知的頂點(diǎn)都在單位圓上，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.19．如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.（1）求cos∠CAD的值；（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的長(zhǎng)．20．一扇形的周長(zhǎng)為20，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？21．針對(duì)國(guó)家提出的延遲退休方案，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：支持保留不支持歲以下歲以上（含歲）(1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取個(gè)人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了人，求的值；(2)在接受調(diào)查的人中，有人給這項(xiàng)活動(dòng)打出的分?jǐn)?shù)如下：，，，，，，，，，，把這個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過(guò)的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

由,可得成等比數(shù)列，即有＝4；討論成等差數(shù)列或成等差數(shù)列，運(yùn)用中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得，即可得到所求和．【題目詳解】由，可得成等比數(shù)列，即有＝4，①若成等差數(shù)列，可得，②由①②可得，1；若成等差數(shù)列，可得，③由①③可得，1．綜上可得1．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．2、C【解題分析】

根據(jù)圖象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后將g（x）圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到f（x）的圖象．【題目詳解】由圖象知A＝1，（），即函數(shù)的周期T＝π，則π，得ω＝2，即g（x）＝sin（2x+φ），由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得2φ＝2kπ+π，k,得φ，則g（x）＝sin（2x），將g（x）圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到f（x）的圖象，即f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）=，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，結(jié)合圖象求出A，ω和φ的值以及利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．3、B【解題分析】試題分析：設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用．4、A【解題分析】試題分析：在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出，，的圖象，與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，從圖象可以看出．考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．【方法點(diǎn)睛】一般一個(gè)方程中含有兩個(gè)以上的函數(shù)類(lèi)型，就要考慮用數(shù)形結(jié)合求解，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解．5、C【解題分析】試題分析：本題考查幾何概型問(wèn)題，擊中陰影部分的概率為．考點(diǎn)：幾何概型，圓的面積公式．6、B【解題分析】解：7、A【解題分析】

函數(shù)為函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是同則增，異則減，討論，，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要保證真數(shù)恒大于零，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)列不等式即可求得的范圍.【題目詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴時(shí)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且在上恒成立，∴需在上的最小值，且對(duì)稱(chēng)軸，∴，當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，不成立，綜上可得的范圍是，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性，不等式恒成立問(wèn)題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬于中檔題.8、A【解題分析】試題分析：直三棱柱的各項(xiàng)點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，如圖所示，所以中，，所以下底面的外心為的中點(diǎn)，同理，可得上底面的外心為的中點(diǎn)，連接，則與側(cè)棱平行，所以平面，再取的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)是三棱柱的為接球的球心，因?yàn)橹苯侵?，，所以，即外接球的半徑，因此三棱柱外接球的體積為，故選A.考點(diǎn)：組合體的結(jié)構(gòu)特征；球的體積公式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了球的組合體的結(jié)構(gòu)特征、球的體積的計(jì)算，其中解答中涉及到三棱柱的線(xiàn)面位置關(guān)系、直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征、球的性質(zhì)和球的體積公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力和學(xué)生的空間想象能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.9、A【解題分析】

由正弦定理，記，則，，，又，所以，即，所以.故選：A.10、D【解題分析】

由題意可得直線(xiàn)的斜率和截距，由斜截式可得答案．【題目詳解】解：∵直線(xiàn)的傾斜角為45°，∴直線(xiàn)的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)的斜截式方程，屬基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)后再解不等式．【題目詳解】時(shí)，原不等式可化為，，∴；時(shí)，原不等式可化為，，∴．綜上原不等式的解為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查解絕對(duì)值不等式，解絕對(duì)值不等式的常用方法是根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解．12、【解題分析】

將轉(zhuǎn)化為，再利用平移公式得到答案.【題目詳解】向左平移故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，將正弦函數(shù)化為余弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵，也可以將余弦函數(shù)化為正弦函數(shù)求解.13、③④【解題分析】

①令，得出，再利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性判斷該命題的正誤；②將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式判斷該命題的正誤；③由得出，得出，利用基本不等式可判斷該命題的正誤；④將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求出的最小值，進(jìn)而判斷出該命題的正誤?！绢}目詳解】①由得，則，則，設(shè)，則，則，則上減函數(shù)，則上為增函數(shù)，則時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為，錯(cuò)誤；②若，則函數(shù)，則，即函數(shù)的最大值為，無(wú)最小值，故錯(cuò)誤；③若，滿(mǎn)足，則，則，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即得，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，故③正確；④，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取等號(hào)，即函數(shù)的最小值為，故④正確，故答案為：③④?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式來(lái)判斷命題的正誤，利用基本不等式需注意滿(mǎn)足“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件，同時(shí)注意結(jié)合雙勾函數(shù)單調(diào)性來(lái)考查，屬于中等題。14、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，再根據(jù)角度關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式即可得答案.【題目詳解】∵且，∴；∵，∴.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題.15、【解題分析】

觀察圖像可知每一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)的下一行均分為一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)與一個(gè)空心圓點(diǎn),每個(gè)空心圓點(diǎn)下一行均為實(shí)心圓點(diǎn).再利用規(guī)律找到行與行之間的遞推關(guān)系即可.【題目詳解】由圖像可得每一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)的下一行均分為一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)與一個(gè)空心圓點(diǎn),每個(gè)空心圓點(diǎn)下一行均為實(shí)心圓點(diǎn).故從第三行開(kāi)始,每行的實(shí)心圓點(diǎn)數(shù)均為前兩行之和.即.故第1到第13行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為：.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了遞推數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用,需要觀察求得行與行之間的實(shí)心圓點(diǎn)的遞推關(guān)系,屬于中等題型.16、①②④．【解題分析】

①:運(yùn)用已知的式子進(jìn)行合理的變形，可以得到，進(jìn)而得到，再次運(yùn)用等式同樣可以得到,，這樣可以證明出是的垂心；②：運(yùn)用平面向量的減法的運(yùn)算法則、加法的幾何意義，結(jié)合平面向量共線(xiàn)定理，可以證明本命題是真命題；③：運(yùn)用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量共線(xiàn)定理，結(jié)合面積公式，可證明出本結(jié)論是錯(cuò)誤的；④：運(yùn)用平面向量的加法幾何意義和平面向量的數(shù)量積的定義，可以證明出本結(jié)論是正確的.【題目詳解】①:，同理可得：,，所以本命題是真命題；②:，設(shè)的中點(diǎn)為，所以有，因此動(dòng)點(diǎn)一定過(guò)的重心，故本命題是真命題；③:由，可得設(shè)的中點(diǎn)為，,,故本命題是假命題；④:由可知角的平分線(xiàn)垂直于底邊，故是等腰三角形，由可知：，所以是等邊三角形，故本命題是真命題，因此正確的命題為①②④.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的加法的幾何意義和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）直接利用三角形的面積公式求得，再由余弦定理列方程求出結(jié)果；（2）兩次利用正弦定理，結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角的正弦公式進(jìn)行恒等變換求出結(jié)果．【題目詳解】（1）因?yàn)?即，又因?yàn)?，所以．在△中,由余弦定理得，即，解得．（2）在△中，，因?yàn)?，則，又，由正弦定理，有，所以．在△中,，由正弦定理得，，即，化簡(jiǎn)得展開(kāi)并整理得【題目點(diǎn)撥】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類(lèi)熱點(diǎn)問(wèn)題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類(lèi)問(wèn)題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得，又，即可求得的值；（2）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，由于的頂點(diǎn)都在單位圓上，利用正弦定理可得，可求，利用余弦定理可得的值，利用三角形面積公式即可得解.詳解：（1）∵，由正弦定理得：，，又∵，，∴，所以.（2）由得，，因?yàn)榈捻旤c(diǎn)在單位圓上，所以,所以，由余弦定理,..點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、余弦定理、三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.19、(1)(2)【解題分析】試題分析：(1)利用題意結(jié)合余弦定理可得；(2)利用題意結(jié)合正弦定理可得：.試題解析：（I）在中，由余弦定理得(II)設(shè)在中，由正弦定理，故點(diǎn)睛：在解決三角形問(wèn)題中，面