高考數(shù)學(xué)解題-高分策略-難點(diǎn)突破與培優(yōu)提高

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)“應(yīng)試筆記”

高考數(shù)學(xué)解題?高分策略

——難點(diǎn)突破與培優(yōu)提高

第9及臺(tái)部今

一、填空題

答卷提醒：重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績(jī)的基石!

A、1~4題，基礎(chǔ)送分題，做到不失一題！

咕卜叼解題常用經(jīng)典再現(xiàn)

A1.集合性質(zhì)與運(yùn)算

1、性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為A=A：

②空集是任何集合的子集，記為“1A；一

③空集是任何非空集合的真子集；(AaB]

如果4u8,同時(shí)814,那么A=B.J

如果AU8,BjC,那么A=C.UV.一,

【注意】：

①Z=｛整數(shù)｝N)Z=｛全體整數(shù)｝(x)

②已知集合S中4的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.(x)

③空集的補(bǔ)集是全集.

④若集合4=集合B,則g4=0,CW=0G(C?=。(注：58=0).

2、若/=｛a”/，…%｝，則/的子集有2"個(gè)，真子集有2"—1個(gè),非空真子集有2"-2

個(gè).

3、An(BUC)=(4nB)U(AnC),4U(8nC)=(AUB)n(4UC);

(AcB)cC=Ac(8cC),(AUB)UC=AU(8UC)

4、D0乂0年@11公式:](408)=641]68；Cu(A\jB)=CvAnCi,B.

【提醒】：數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具.

在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型

或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

A2.命題的否定與否命題

*1.命題pnq的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題pnq的否定是p=rq，否命題是-ipn—>q.

命題“p或q”的否定是Jp且「4p且"’的否定是“「p或F

*2.常考模式：

全稱命題p：VxeM,p(x);全稱命題p的否定-1p：小wM「p(x).

特稱命題p：3xeM,p(x);特稱命題p的否定—ip：VxeM,—1p(x).

A3.復(fù)數(shù)運(yùn)算

mnm+nmm

*1.運(yùn)算律:(Dz-z=z；⑵(z"')"=z"J&(zl-z2y=zlz2(m,neN).

【提示】注意復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、三角等運(yùn)算率的適用范圍.

*2.模的性質(zhì)：

，

⑴以&|=|%|匕|；（2）|A|=1A1.（3）|Z'|=|Z|\

4IZ2I

*3.重要結(jié)論:

⑴|&々2|2+k+72|2=2（以『+匕|2）；

2

(2)Z1-z2=|z|=|z|；(3)(1±z)'=±2i；(4)-~~=~i,=?;

4n+i4n+2

⑸i性質(zhì)：T=4;i=i,i=-l,產(chǎn)"3=T,嚴(yán)，=1.

]J3

【拓展】：ft/=1=((o-1)(e-+0+1)=0<=><o=1或=—±---i.

A4.幕函數(shù)的的性質(zhì)及圖像變化規(guī)律：

(1)所有的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖像都過(guò)點(diǎn)

(1,1)；

(2)a>0時(shí)，基函數(shù)的圖像通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間

[0,+8)上是增函數(shù).特別地，當(dāng)”>1時(shí)，幕函數(shù)

的圖像下凸；當(dāng)0<。<1時(shí)，基函數(shù)的圖像上凸；

(3)“<0時(shí)，募函數(shù)的圖像在區(qū)間(0,+8)上一是減函

數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖像

在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8

時(shí)，圖像在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.

【說(shuō)明】：對(duì)于事函數(shù)我們只要求掌握.=1,2,3,；,：的這5類，它們的圖像都經(jīng)過(guò)一個(gè)定

點(diǎn)(0,0)和(0,1),并且x=-1時(shí)圖像都經(jīng)過(guò)(1,1),把握好事函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像就可以了.

A5.統(tǒng)計(jì)

1.抽樣方法：

(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法)常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是

從總體中逐個(gè)抽取.

(2)分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點(diǎn)：每個(gè)

n

個(gè)體被抽到的概率都相等(一).

N

2.總體分布的估計(jì)就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.

總體估計(jì)掌握：一“表”(頻率分布表)；兩“圖”(頻率分布直方圖和莖葉圖).

⑴頻率分布直方圖

用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方

圖就是以圖形面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小.

頻數(shù)

①頻率=

樣本容量

②小長(zhǎng)方形面積=組距、簪=頻率.

組距

③所有小長(zhǎng)方形面積的和=各組頻率和=1.

【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸

一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率.

⑵莖葉圖

當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊

的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上

長(zhǎng)出來(lái)的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。

3.用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對(duì)總體期望值的估計(jì)；

樣本平均數(shù)：^=-(^+%2+---+^,)=-￥%;

nn/=i

4.用樣本方差的大小估計(jì)總體數(shù)據(jù)波動(dòng)性的好差(方差大波動(dòng)差).

⑴一組數(shù)據(jù)陽(yáng),》2，》3,…，尤.

①樣本方差

52=-[(%,-X)2+(X-X)2+--+(X?-X)2]

n2

=—一(七一元A=—(一；

Tl；=iYl；=iTlj=i

②樣本標(biāo)準(zhǔn)差

2222

6=店=J1[(X1-X)+(X2-X)+-+(X?-X)]=-E(X,-X)

(2)兩組數(shù)據(jù)型,4,43,…，%與%,當(dāng),為，“?，兀淇中3=叼+6/=1，2,3,...,〃.則

了=4亍+氏它們的方差為S，標(biāo)準(zhǔn)差為%=|aI

③若士,々,％的平均數(shù)為x，方差為st則a.+仇仁+仇…,ax.+b的平均

數(shù)為ax+b,方差為42s2.

樣本數(shù)據(jù)做如此變換：x；=g+A,則『=后+"(S')2=a2S2.

A6.回歸直線方程

__

^(x,.-x)(y(.-y)Zx/—〃xy

仆b=--------------------=--------------

222

y=a+bx,其中彳y/7\Yr-nx

2-,\xi~x)2-ixi~nx

i=li=l

a=y-bx

人]〃1〃

A7.線性回歸方程y=a+bx必過(guò)定點(diǎn)(元y)，其中J=,9=—￡尤.

〃/=]〃/=!

^軟15?乞中移敢，易丟個(gè)，防漏/多解，

B1.線性規(guī)劃

1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

(1)當(dāng)A〉0時(shí)，若4x+8)，+C>0表示直線/的右邊，若Ax+By+C<0則表示

直線/的左邊.

(2)當(dāng)8>0時(shí)，若Ax+8y+C>0表示直線/的上方，若4x+By+C<0則表示

直線/的下方.

2、設(shè)曲線C:(4x+81y+G)(4x+62y+G)=0(A45I52*0)-貝U

(Ax+gy+G)(&x+斗》+。2)>0或<0所表示的平面區(qū)域：

兩直線4儼+用>+￡=0和Ax+與y+G=。所成的對(duì)頂角區(qū)域(上下或

左右兩部分).

3、點(diǎn)1(%,%)與曲線〃x,>)的位置關(guān)系：

若曲線〃x,y)為封閉曲線(圓、橢圓、曲線|x+a|+|y+"=m等)，貝U

〃%,%)>0,稱點(diǎn)在曲線外部；

若〃x,y)為開放曲線(拋物線、雙曲線等)，則/(%,%)〉0,稱點(diǎn)亦在曲線

“外部”.

4、已知直線/:4x+By+C=0,目標(biāo)函數(shù)z=4v+By.

①當(dāng)B>0時(shí)，將宜線/向上平移，則z的值越來(lái)越大；直線/向下平移，則z的

值越來(lái)越?。?/p>

②當(dāng)8<0時(shí)，將直線/向上平移，貝人的值越來(lái)越??；直線/向下平移，則z的

值越來(lái)越大；

5、明確線性規(guī)劃中的幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)(方程)的幾何意義：

(1)z=ax+by,若b>0,直線在y軸上的截距越大，z越大，若方<0,直線在

y軸上的截距越大，z越小.

(2)匕竺表示過(guò)兩點(diǎn)(x,》),(〃,〃?)的直線的斜率，特別上表示過(guò)原點(diǎn)和(〃,〃?)的

x-nx

直線的斜率.

(3)「=(》-機(jī)?+(y-nY表示圓心固定，半徑變化的動(dòng)圓，也可以認(rèn)為是二元方

程的覆蓋問題.

(4)y=yl(x-m')2+(y-n)表示(x,y)到點(diǎn)(0,0)的距離.

(5)F(cos0,sm0)；

jAx+By+C|

(6)00

一五+M；

(7)a2±+b2：

【點(diǎn)撥】：通過(guò)構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+f=l上的點(diǎn)

(cos仇sin。)及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題H的。

B2.三角變換：

三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來(lái)代換代數(shù)式稱為三角變換.

三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和

積化和差公式，萬(wàn)能公式為基礎(chǔ).

三角代換是以三角函數(shù)的值域?yàn)楦鶕?jù)，進(jìn)行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角

式，然后再使用上述諸公式進(jìn)行恒等變形，使問題得以解決.

三角變換是指角("配"與''湊")、函數(shù)名(切割化弦)、次數(shù)(降與升)、系數(shù)(常值“1”)和

運(yùn)算結(jié)構(gòu)(和與積)的變換，其核心是“角的變換

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的

變換、兩角與其和差角的變換.

變換化簡(jiǎn)技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設(shè)元轉(zhuǎn)

化，引入輔角，平方消元等.

具體地：

(I)角的“配”與“湊”:掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后,還應(yīng)注意一些配湊變

形技巧，如下：

2a=a+a,a=2x—；

2

八八z,a+Ba-BB+aB-a

a={a+p]-p={a-p)+p=---+―--=------------；

2a=2[(a+/?)-￡]=2[(a-0+￡]=(a+￡)+(a-0=(￡+a)—(Q-a)；

2a+夕=(a+夕)+a,2a-p={a-+a；

15°=45°-30°,75°=45°+30°；

(2)“降暴”與“升暴”(次的變化)

利用二倍角公式cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a和二倍角

公式的等價(jià)變形sin2a=j產(chǎn),cos2a=1+s^2a,可以進(jìn)行“升”與“降”的

變換，即“二次”與“一次”的互化.

(3)切割化弦(名的變化)

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，以

便于解題.經(jīng)常用的手段是“切化弦'’和“弦化切

(4)常值變換

常值坐，亭，坐』，石可作特殊角的三角函數(shù)值來(lái)代換.此外，對(duì)常值

“1”可作如下代換：

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=2sin30°=tan-^=sin4=cos0=???

42

等.

(5)引入輔助角

一般的，

asina+。cosa=a2+b2(/@sina+/:cosa)=sin(a+9),期中

\Ja2+b2y/a2+h2

a.hb

cos^=-r==,sin^=-r==,tan^=-.

da+b~yja~+b~a

特別的，sinA+cosA=V2sin(A+—);

4

sinx+百cosx=2sin(x+y),

V3sinx+cosx=2sin(x+—)等.

(6)特殊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造

構(gòu)造對(duì)偶式，可以回避復(fù)雜三角代換，化繁為簡(jiǎn).

舉例：A=sin220°+cos2500+sin20°cos50°,

B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

可以通過(guò)A+8=2+sin70°,A-B=---sm70°兩式和，作進(jìn)一步化簡(jiǎn).

2

(7)整體代換

舉例：sinx+cosx=〃？=>2sinxcosx=m'-1

sin(a+/3)=m,sin((z-/?)=〃，可求出sinacos/?,cosasin/7整體值,

作為代換之用.

B3.三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應(yīng)用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn).

(1)角的變換

因?yàn)樵贏4BC中，A+B+C=7T(三內(nèi)角和定理)，所以

任意兩角和：與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.

銳角三角形：①三內(nèi)角都是銳角；②三內(nèi)角的余弦值為正值；

③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

即,sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CAB+C

sin=cos------；cos—=sin-------；tan=cot-------.

222222

(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理.

面積公式：S=gs4,=gabsinC=r.p=p(p-a)(p-a)(p-a).

其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半.

(3)對(duì)任意MBC，tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=1；

222222

在非直角A4BC中，tanA+tan8+tanC=tanAtanBtanC.

(4)在AA8C中，熟記并會(huì)證明：

成等差數(shù)列的充分必要條件是N6=60°.

*2.AABC是正三角形的充分必要條件是ZA,ZB,ZC成等差數(shù)列且a/,c,成等比

數(shù)列.

*3.三邊。，仇c成等差數(shù)列

AC]冗

U>2b=〃+c=2sinA=sinB+sinC<=>tan—tan一=—；BW—.

2233

*4.三邊成等比數(shù)列<=>/=sin2A=sinBsinC,By.

(5)銳角AABC中，A+=sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,

2

a~2+b.~2>c)"；

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC；

tanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC.

【思考】：鈍角A46C中的類比結(jié)論

⑹兩內(nèi)角與其正弦值：在MBC中

a>b<^>A>B<=>sinA>sinB=cos2B>cos24,...

(7)若A+8+C=〃,則222yzeosA+2xzcosB+2AycosC.

(8)A>B<=>a>b<^>sinA>sinB<=>cos2B>cos2A.

B4.三角恒等與不等式

組一

sin3a=3sina-4sin'a,cos3a=4cos'a-3cosa

sin2a-sin21=sin(a+/?)sin(a-1)=cos2/7-cos2a

?八3tan0-tan30八n八、n八、

tan30=------------；-----=tan0tan(-----0)tan(—十，)

1-3tan~033

組二

tan(+,+，)_tana+tan夕+tan/—tanatan13tany

1-tantan夕一tan，tan/-tan/tana

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

一?n?「/ABC

sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—

222

4ncI.A.B.C

cosA+cosB-i-cosC=1+4Asin—sin—sin一

222

sin2A+sin2B+sin2C=2-1-2cosAcosBcosC

組三常見三角不等式

JI

(1)若XE(0,5),則sinx<x<tanx；

(2)若xw(0,,貝ij1<sinx+cosxWy/2；

(3)|sinx|+1cosx|>1；

(4)f(x)=—在(0,萬(wàn))上是減函數(shù)；

X

B5.概率的計(jì)算公式：

…卜皿m八4包含的基本事件的個(gè)數(shù)

⑴古典概型：P⑷二———一；

基本事件的總數(shù)

①等可能事件的概率計(jì)算公式：p(A)=%=空乜⑷；

ncard(I)

②互斥事件的概率計(jì)算公式：P(A+8)=尸(A)+P(B)：

③對(duì)立事件的概率計(jì)算公式是：P(7)=1-P(A);

④獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式是：尸(A/)=尸(4)中(8)；

⑤獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：

p,(k)=C：Pk(\-py-k(是二項(xiàng)展開式KI-p)+p『的第也+1)項(xiàng)).

⑵幾何概型：若記事件人=｛任取一個(gè)樣本點(diǎn)，它落在區(qū)域gu。｝,則A的概率定義

g的測(cè)度構(gòu)成事件4的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積等)

為P(A)=

Q的測(cè)度一試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積等)

注意：探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處

理：把所求的事件轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識(shí))；轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互斥

事件中有…個(gè)發(fā)生的概率；利用對(duì)立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率；看

作某?事件在"次實(shí)驗(yàn)中恰有&次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.事件互斥是事件

獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對(duì)立是事件互斥的充分非必要條件.

【說(shuō)明】：條件概率：稱尸(8|4)=也出為在事件4發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率。

P(A)

注意：00<P(B|A)<1；②P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)。

B6.排列、組合

（1）解決有限制條件的（有序排列，無(wú)序組合）問題方法是：

'位置分析法

g古仔壯用加法原理（分類）元素分析法

①且故法：<.

用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問題）

.捆綁法（相鄰問題）

②間接法：即排除不符合要求的情形

③一般先從特殊元素和特殊位置入手.

（2）解排列組合問題的方法有：

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法

元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。

②間接法（對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉））。

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普

通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。

④不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置忖可采用插

空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元

素之間）。

⑤多排問題單排法。

⑥多元問題分類法。

⑦有序問題組合法。

⑧選取問題先選后排法。

⑨至多至少問題間接法。

⑩相同元素分組可采用隔板法。

?涂色問題先分步考慮至某一步時(shí)再分類.

（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成”組問題別忘除以〃!.

B7.最值定理

①〉0,由x+若積盯=P（定值），則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值；

②>0,由x+y》2/政，若和x+y=S（定值），則當(dāng)x=y是積孫有最大值

4

【推廣】：已知?jiǎng)t有（x+y）2=（x-y）2+2xy.

（1）若積盯是定值，則當(dāng)|x-y|最大時(shí)，|x+y|最大；當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|x+y|

最小.

（2）若和|x+y|是定值,則當(dāng)|x-y|最大時(shí)，|xy|最?。划?dāng)|無(wú)一》|最小時(shí)，|xy\

最大.

③已知也若ox+by=l,則有:

1111byax./一廠

—+—=（ax+by）（—+—）=a+8+—+—》a+b+27ab=（7a+7b）2"

xyxyxy

④a,x,/?,ywR',+―=1則有：x+y=（x+y）（—+—?）=?+/?+2\fab=（y/a+\fb）2

xyxy

B8.求函數(shù)值域的常用方法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求解；

【點(diǎn)撥】：二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間［租,〃］上的最值；二是

求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注

意開口方向和對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系.

②逆求法：通過(guò)反解，用y來(lái)表示x,再由x的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出y的取

值范圍，型如y=竺吆,x的函數(shù)值域；

ex+d

④換元法：化繁為間，構(gòu)造中間函數(shù)，把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，

其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，通過(guò)代換構(gòu)造容易求值域的簡(jiǎn)單函

數(shù)，再求其值域；

⑤三角有界法：直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，如轉(zhuǎn)化為只

含正弦、余弦的函數(shù)，再運(yùn)用其有界性來(lái)求值域：

⑥不等式法：利用基本不等式4+622J拓（a,beR+）求函數(shù)的最值，其題型特征解析

式是和式時(shí)要求積為定值，型如y=x+8a>0）,解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)

x

須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧；

⑦單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)法綜合求解；

⑧數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據(jù)函數(shù)的幾何意義，如斜率、

距離、絕對(duì)值等，利用數(shù)與形相互配合的方法來(lái)求值域；

⑨分離常數(shù)法：對(duì)于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題，把函數(shù)分離成一個(gè)

常數(shù)和一個(gè)分式和的形式，進(jìn)而可利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域.

⑩判別式法：對(duì)于形如乃=仆:+/".+C|（%,%不同時(shí)為0）的函數(shù)常采用此法.

a2x+h2x+c2

【說(shuō)明】：對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可

以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不等

式：

h

l.y=——型，可直接用不等式性質(zhì)；

k+x

2.丁==巴hr一型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式；

x+〃

+m'x+n'

3.y二,型,通常用判別式法；

x+mx+n

4'=Xx~+m〃'r叱+十n'〃型，可用判別式法或均值不等式法；

mx+n

?導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)求值域.

B9.函數(shù)值域的題型

（一）常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.

常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對(duì)號(hào)

函數(shù).

（二）非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域.

解題步驟：（1）換元變形；

（2）求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍；

（3）畫圖像，定區(qū)間，截段。

（三）分式函數(shù)求值域：四種題型

（l）y=-----（〃。0）：則y。一且ysR.

ax+ba

CX-i-H

（2）y=-——（x>2）：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式

ax+b

求y的范圍.

2K+3x—2

⑶尸

6x2-x-1

(2尤—l)(x+2)x+2/1、.1口inn

y=--=-----(%。一)，貝?y。一且y且ywH.

?(2x-l)(3x+l)3x+l23

2r-l

(4)求------的值域，當(dāng)xsR時(shí)，用判別式法求值域。

X+X+I

2r_i

y=—----=>yx2+(y-2)x+y+l=0,A=(y-2)2一4y(y+1)>0=>值域.

X~+X+I

(四)不可變形的雜函數(shù)求值域：利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢(shì)圖像，定區(qū)間，截段.

判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次

用定義。詳情見單調(diào)性部分知識(shí)講解.

(五)原函數(shù)反函數(shù)對(duì)應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反

函數(shù)定義域.

(六)已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過(guò)程，將求出的以字母形

式表示的值域與已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?

BIO.應(yīng)用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：

⑴湊系數(shù)(乘、除變量系數(shù)).例I.當(dāng)0<%<4時(shí)，求函的數(shù)y=x(8—2x)最大值.

⑵湊項(xiàng)(加、減常數(shù)項(xiàng))：例2.已知,求函數(shù)/(x)=4x-2+1三的最大值.

r2+7r+10

⑶調(diào)整分子：例3.求函數(shù)f(X)=(X*-1)的值域；

X+1

⑷變用公式：基本不等式空22而有幾個(gè)常用變形：^-^>ab,

22

(----)->ab,J------->-----,------->(----).刖兩個(gè)變形很直接，后兩個(gè)變形則

2V2222

不易想到，應(yīng)重視；例易求函數(shù)y=,2/一1+J5-eg)的最大值;

,16

⑸連用公式：例5.已知求y=-------的最小值；

b(a-b)

⑹對(duì)數(shù)變換：例6.已知>1,且=求f=Qx?"的最大值；

TT

⑺三角變換：例7.已知0<y且tanx=3tany,求，二%一了的最大值；

⑻常數(shù)代換(逆用條件)：例8.已知。>0力>0,且。+2%=1,求￡=,+，的最小

ab

值.

Bl1.“單調(diào)性”補(bǔ)了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和為定值

若V+y2=a(a為定值，awO),可設(shè)x=y[acosa,y=4asina,,其中

0<a<2〃.

①f(x,y)=x+y=&sina+夜cosa-41asin(a+工)在[0,—兀,2萬(wàn))上是

444

增函數(shù)，在佇I肛5二萬(wàn)］上是減函數(shù)；

44

②g(x,y)=xy=-asm2a在［0」萬(wàn)］,［2乃,*萬(wàn)］,［］肛24)上是增函數(shù),在

24444

仁1萬(wàn)二3句，［5士乃7二句上是減函數(shù)；

4444

?,、11x+ysina+cosa.r—~..乃、

③"?(x,y)=—+—=----=—j=----------.令f=sina+cosa-yJ2asin(a+—),

xyxyJasinacosa4

其中fw［-0,-1)U(-［1)U(L拒］.由產(chǎn)=l+2sinacosa,得2sinacosa=產(chǎn)一1,從

而m(x,y)=廠2：-----=-------...—在［-72,-1)U(-1,1)U(1,V2］上是減函數(shù).

T)g當(dāng)

t

⑵和為定值

若x+y=/?(b為定值，bwO),貝ijy=b-x.

①g(x,、)=xy=--+云在(-8,g］上是增函數(shù)，在g,+8)上是減函數(shù)；

②加(X,>)=4+'=三吆=Y—.當(dāng)6>0時(shí)，在(—8,0),(0,々上是減函數(shù)，在

xyxy-x+bx2

hhh

［—,b),3,+oo)上是增函數(shù)；當(dāng)b<0時(shí)，在(—8,b),S,§］上是減函數(shù)，在弓,0),(0,+8)上

是增函數(shù).

bh

③〃(x,y)=x2+y2=2x2+2bx+/在(—8,上是減函數(shù)，在q,+8)上是增函數(shù)；

⑶積為定值

若xy=c(c為定值，CKO),則y=￡.

X

①/(x,y)=x+y=x+￡.當(dāng)c>0時(shí)，在上是減函數(shù)，在

x

(一8,-［五,+8)上是增函數(shù)；當(dāng)C<0時(shí)，在(一8,0),(0,+8)上是增函數(shù)；

②加。,>)=4+工=且=」。+￡).當(dāng)，>0時(shí)，在［一五,0),(0,人］上是減函數(shù)，

xyxycx

在(一OO,-八］,［八,+8)上是增函數(shù)；當(dāng)C'<0時(shí)，在(一8,0),(0,+8)上是減函數(shù)；

222

③n(x9y)=x+y=x+—r=(x+—)-2c在(一co,-&),(0,上是減函數(shù),在

XX

(-五⑼,［6,+8)上是增函數(shù).

⑷倒數(shù)和為定值

若，+工=2(d為定值，1,1,1),則y=￡.成等差數(shù)列且均不為零，可設(shè)

xydxdyx

公差為z，其中zw±‘，則'='一［,'='+1,得］=--—,y=―--..

dxdyd\-dz1+dz

①〃x)=x+y=2°，.當(dāng)d〉0時(shí),在(-co,-▲),(—L,0］上是減函數(shù)，在

\-dzdd

[0,+00)上是增函數(shù)：當(dāng)d<0時(shí)，在(―8」),(±0]上是增函數(shù)，在

ddad

[0,),(---,+8)上減函數(shù)；

dd

②g(x,y)=xy=…當(dāng)d>0時(shí),在(一00,-，),(一,,0]上是減函數(shù)，在

\-dzaa

[0'),(L+oo)上是增函數(shù)；當(dāng)d<0時(shí)，在(一8」),(工,0]上是減函數(shù)，在

aaad

[0,—，),(—L,+8)上是增函數(shù)；

dd

2.i\

③〃(x,y)=/+y2=—，JJ..令"6+1,其中且f/2,從而

(dN-l)-

z/2.。/72

〃(x,y)==—.一在[1,2)上是增函數(shù)，在(2,+8)上是減函數(shù).

.,+g

t

B12.理解幾組概念

*1.廣義判別式

設(shè)F(x)是關(guān)于實(shí)數(shù)x的一個(gè)解析式，a,kc都是與x有關(guān)或無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)且則

△=/-4ac》0是方程+/(x)+c=0有實(shí)根的必要條件，稱“△”為廣義判別

式.

*2.解決數(shù)學(xué)問題的兩類方法：

?是從具體條件入手，運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo),從而使數(shù)學(xué)問題得以解決;二是

從整體上考查命題結(jié)構(gòu)，找出某些本質(zhì)屬性，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮怂?從而使問題容易解決，這一方法

稱為定性核算法.

*3二元函數(shù)

設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的變量X與y在其給定的變域中。中，任取?組數(shù)值時(shí)，第三個(gè)變量

Z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那末變量Z稱為變量x與y的二元函

數(shù).記作：Z=/*,)，).其中x與)，稱為自變量，函數(shù)Z也叫做因變量，自變量x與y的

變域。稱為函數(shù)的定義域.

把自變量X、)，及因變量Z當(dāng)作空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)，先在X。)，平面內(nèi)作出函數(shù)

Z=/(x,y)的定義域。；再過(guò)。域中得任一點(diǎn)M(x,y)作垂直于xoy平面的有向線段

MP,使其值為與(x,y)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值Z；

當(dāng)M點(diǎn)在》中變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的軌跡就是函數(shù)Z=/(x,y)的幾何圖形.它通常

是一張曲面，其定義域。就是此曲面在X。)，平面上的投影.

*4.格點(diǎn)

在直索坐標(biāo)系中，各個(gè)坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)(又稱整數(shù)點(diǎn)).在數(shù)論中，有所謂

格點(diǎn)估計(jì)問題.在直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，這樣的多邊形叫

做格點(diǎn)多邊形.特別是凸的格點(diǎn)多邊形，它是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)基本概念.

*5.間斷點(diǎn)

我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果%是函數(shù)/*)的間斷點(diǎn)，且其左、布極限都存

在，我們把與稱為函數(shù)"X)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為

第二類間斷點(diǎn).

*6.拐點(diǎn)

連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn).

如果)，=〃x)在區(qū)間伍力)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來(lái)判定y=/(x)的

拐點(diǎn).

⑴求/"(x)；

(2)令f\x)=0,解出此方程在區(qū)間(4,。內(nèi)實(shí)根;

(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根檢查r’(x)在/左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，

若符號(hào)相反，則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn).

*7.駐點(diǎn)

曲線)(x)在它的極值點(diǎn)X。處的切線都平行于x軸，即/(/)=0.這說(shuō)明，可導(dǎo)函數(shù)的

極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)(又稱穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn))；但是，反之，可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)，卻不一定是

它的極值點(diǎn).

*8.凹凸性

定義在。上的函數(shù)/(x),如果滿足：對(duì)任意須,毛e。的都有

，(笥‘)》；"(8)+/*2)］，則稱是“X)上的凸函數(shù).定義在。上的函數(shù)如果滿足：對(duì)任

意的士憶e。都有/(土+，則稱“X)是￡>上的凹函數(shù).

22

【注】：一次函數(shù)的圖像(直線)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等號(hào)成立).

若曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點(diǎn)的

切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).

B13.了解幾個(gè)定理

*1.拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間以，切上連續(xù)，在開區(qū)間(。,0)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(凡。)內(nèi)至

少有一點(diǎn)C,使/S)-/(a)=S-q)/'(c)成立.這個(gè)定理的特殊情形，即:/S)=/(a)的情

形.描述如下：

若e(x)在閉區(qū)間口,回上連續(xù)，在開區(qū)間(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，且夕伍)=夕3),那么在

(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使"(c)=0成立.

*2.零點(diǎn)定理：

設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［a向上連續(xù)，且/(a)"3)V0.那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有

函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)JV>)使〃4)=0.

*3.介值定理：

設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，

.f(a)=A,/(b)=8,那么對(duì)于A,B之間任意的一個(gè)數(shù)C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)孑，使

得/4)=C(a<”b).

*4.夾逼定理：

設(shè)當(dāng)0V|x—x0|Vb時(shí)，有g(shù)(x)W/(x)《6(x),且limg(x)=lim2)=A,則必

X->A0A->X()

有l(wèi)imf(x)=A.

【注】：以-%］：表示以與為的極限，則IX7oI就無(wú)限趨近于零.(4為最小整

數(shù))

C、10~12,思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力

C1.線段的定比分點(diǎn)公式

設(shè)P2(x2,y2),P(x,y)是線段68的分點(diǎn)，4是實(shí)數(shù)，且還=彳而(或

PiP=-麗)，則

_X]+Zx2

14-A~OP+九OP、—,—k—k1

oop=一!-----=OP=，(1—)OB(r=------)

_M+丸》21+丸1+4

y=~,~~：-

1+丸

、，」+?

一2

推廣1：當(dāng)4=1時(shí)，得線段4P2的中點(diǎn)公式:

_x}+x2

X~2

推廣2：些/則而=空±四(4對(duì)應(yīng)終點(diǎn)向量).

MB1十2

三角形重心坐標(biāo)公式：AlBC的頂點(diǎn)A(x(,>|),B(X2,y2),^(-^3?y3)，重心坐標(biāo)G(x,y)：

、,」+為+%

『3

注意：在AABC中，若o為重心，則了+而+51=6,這是充要條件.

【公式理解】：

*1人是關(guān)鍵(丸*一1)

RpR46PPRE

(內(nèi)分)X>0(外分)X<O(X<-1)(外分)X<0(-KK0)

若P與P|重合，入=0P與P2重合，入不存在P離P2Pl無(wú)窮遠(yuǎn)，X=-l

*2.中點(diǎn)公式是定比分點(diǎn)公式幾=1的特例；

---*1.

*3.始點(diǎn)終點(diǎn)很重要，如