電磁場理論知識點總結(jié)

電磁場與電磁波總結(jié)

第1章場論初步

一、矢量代數(shù)

A?B=ABcosO

AxB=ABsinO

A*(BxC)=B^(CxA)=C*(AxB)

Ax(BxC)=B(A?C)-C?(A?B)

二、三種正交坐標(biāo)系

1.直角坐標(biāo)系

矢量線元dl=exx+eyy-1-e7z

矢量面元dS=exdxdy+evdzdx+e.dxdy

體積元dV=dxdydz

單位矢量的關(guān)系%xev=e?eyxez=exe:xex=ey

2.圓柱形坐標(biāo)系

矢量線元dl=e*p+e^pdcp+e,dzI

矢量面元dS=eppd(pdz+e.pdpd(p

體積元dV=pdpd(pdz

單位矢量的關(guān)系3%=%e/j=ep0x%=

3.球坐標(biāo)系

矢量線元dl-e,dr+egrdO+e(prsinOde

矢量面元dS=。//sinedede

體積元dv=rsin0drd^d^

單位矢量的關(guān)系=a%xe1=

olFA/

Arcos(psincp

A。=-sin*COSQoA,

_AJL00

1L-AN._

4sinOcos。sin，sin0cos。4

。。

4cosCOS0cosOsin°-sinAv

4-sinecosQ0A

4sin?0cos。4

4=cos60—sin。4

4_010A：

三、矢量場的散度和旋度

AdS

1.通量與散度0=[AWSdivA=V-A=lim—s

Av->0Av

2.環(huán)流量與旋度「=\AdlrotA=e、lim

AS->0\s

3.計算公式

V-A=生+曲+冬

dxdydz

?.15...1叫dA

V-A=----(pA,)+----+--

pdpp8(pdz

V741a/24、1d1SA

V-A=——(rA.)+--------(sin^/L)+----------

r2drrsinOdOrsin0d(p

ersin。分

?x%%%Pjze「rep

d_d_d_8ddddd

VxA=VxA=VxA=

dxdydz明5(pdz百~d06(p

AxAvAzA.PA-A:4rsin0A7

4.矢量場的高斯定理與斯托克斯定理

￡A-6/S=￡VAJV.A?力=J”xA-dS

四、標(biāo)量場的梯度

1.；

du_］加〃(M)-〃(M))dududu_du

=—cosa+—cosp+—cos/

dlp-3。M~dioxdydz

%

.dudududu

Vw-e1=|Vw|cos^gradw=——e=e—+e—+e.—

dn“nxxdxyvdyxdz

2.計算公式

ddu1du1du

drerdevrsin0dz

五、無散場與無旋場

1.無散場V.(VxA)=0F=VxA

2.無旋場VX(VM)=0F=7U

六、拉普拉斯運算算子

1.直角坐標(biāo)系

口，222

dududu222

示+京V2A=eyAx+evVAv+eNA:

222222

8兄d-AdAa24VaAvaAvdA.8A.dA.

V2A=-----------1---------x----1---------x-?V2A.--------H------------H----------_____=_-|------------|---------------=_

Xdx2dy2dz2dx2dy2dz2dx2dy2dz2

2.圓柱坐標(biāo)系

1d2ud2u

口，?adu

Vz=-------p----H---：8(p2+dz2

p8p\8p)p

2叫

v2A-_AV"。一十A?+

"PL1PP15<p］+生小

P'M

3.球坐標(biāo)系

2

1d(213f.duy1du

r~drydr)r2sin^d0\d(p)r~sin-0d(p~

2叫］

2222cot9.2弧

VA=erVAr---A,.-——A-

re■260r1sin0d<p)

G九+馬”一<_辛半生］

lr2d0rsin26廠sin-6d(p)

,fv2A?2叫__1_A?2cos。叫)

"r2sin6d(pr2sin20r2sin208(p)

七、亥姆霍茲定理

如果矢量場尸在無限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，則當(dāng)矢量場的散度、旋度和邊界

條件（即矢量場在有限區(qū)域V，邊界上的分布）給定后，該矢量場下唯一確定為

F(r)=-V^(r)+VxA(r)

其中阿）=0上雷

dV'

第2章電磁學(xué)基本規(guī)律

一、麥克斯韋方程組

1.靜電場基本規(guī)律

真空中方程：印好4』產(chǎn)"，=。v.E=旦VxE=O

%

場位關(guān)系：E(r)='^ff^p(rW，

E-阿戶專%普.

介質(zhì)中方程：JsDdS=q\Edl=OVD=pVx￡=0

極化：D=s0E+P0=(l+&)￡oE=￡r￡oE=￡E極化電荷：Pps=P”=P.e“0，=一▽,尸

2.恒定電場基本規(guī)律

電荷守恒定律：+迦=0

dt

傳導(dǎo)電流：J=bE與運流電流:J=pv

恒定電場方程：JsJ-dS=0J/Ed=0V/=OVxE=0

3.恒定磁場基本規(guī)律

真空中方程：J產(chǎn)JsBdS=0

場位關(guān)系：即)=聯(lián)竿瀘獷

介質(zhì)中方程：jHdl=IJsBdS=0VxH=J▽5=0

R

磁化：H=——M8=(I+)4"=N串oH=/JH磁化電流：Jm=VxMJins=A/X

Ao

4.電磁感應(yīng)定律

"XE=T

LETT"dS

5.全電流定律和位移電流

全電流定律：fHdl^[(J+—)dSVxH=J+—

LJsdtdt

■f立移電流：J=—

ddt

6.MaxwellEquations

J產(chǎn)出=(?+粲.dS

R/(￡'E)

VxH=J+—Vxff=cr￡+---------

dtdt

fE-d/=-f—dS

<JIJsVxE=

dtdt

￡o.ds=￡pdv

VD=p▽?(￡E)=P

jBJS=0VB=0y?WH)=0

二、電與磁的對偶性

7E取退

V見①

mdt~~dt

7xW=J+些dD

VxE=-J=><▽xH=J+

'cdtmmQtdt

V-°e=PeV4=Pm▽?0=4

V-Be=OV4=0「B=Pe

三、邊界條件

1.一般形式

e?x(Et-E2)=0e?x(Hl-H2)=Js

e.,e-D1)=Pse“?出一/)=0

2.理想導(dǎo)體界面和理想介質(zhì)界面

e“xg=0e.x(居-&)=0

eXHJe“x(H「HJ=0

<nl=S

e,「D、=Pse-2)=。

e“#=0en-(Bt-B2)=0

第3章靜態(tài)場分析

一、靜電場分析

1.位函數(shù)方程與邊界條件

位函數(shù)方程:寸,=_匕vV=o

￡

=</>2我=const

電位的邊界條件：義義,￡M（媒質(zhì)2為導(dǎo)體）

1Ps

dn4加億on

2.電容

定義：c=2兩導(dǎo)體間的電容：C=q/U

<p

\DdS\sEdS

任意雙導(dǎo)體系統(tǒng)電容求解方法：。=旦=

U\~Edl］：E.dl

3.靜電場的能量

<.]II

N個導(dǎo)體：*,=四,連續(xù)分布：W.=f-^dV電場能量密度：（ot.^-DE

（=12v22

二、恒定電場分析

1.位函數(shù)微分方程與邊界條件

位函數(shù)微分方程：vV=o

1=02

邊界條件：，Q（f）e-（J-J-,）—0ex[-----H=0

馬黃一導(dǎo)n]n5%

Ionon

2.歐姆定律與焦耳定律

歐姆定律的微分形式：J=bE焦耳定律的微分形式：EJdV

Jv

3.任意電阻的計算

1一

R=(/?=—)

GIjJ-dSbjsEdSaS

4.靜電比擬法：C——G,￡——。

c/ADds/E?dSJjdScrjEdS

G=—?2-72

U[:E.dlUj-E-dZ

三、恒定磁場分析

1.位函數(shù)微分方程與邊界條件

矢量位：N?鼠4=4e?x(—VxAI-▽x4)=4

%

標(biāo)量位：=0著=需2

等on』率on

2.電感

w[BdS

定義:L=/=\一L=L+k

3.恒定磁場的能量

N11r1

N個線圈：連續(xù)分布:了人心磁場能量密度…廣5”5

./=1乙

第4章靜電場邊值問題的解

邊值問題的類型

?狄利克利問題：給定整個場域邊界上的位函數(shù)值。=/(s)

?紐曼問題：給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值型=f(s)

dn

混合問題：給定邊界上的位函數(shù)及其向?qū)?shù)的線性組合：a=f、G)也=力G)

dn

自然邊界：limS=有限值

r—>co

唯一性定理

靜電場的惟一性定理：在給定邊界條件(邊界上的電位或邊界上的法向?qū)?shù)或?qū)w表面電荷分布)

下,空間靜電場被唯一確定。

靜電場的唯一性定理是鏡像法和分離變量法的理論依據(jù)。

三、鏡像法

根據(jù)唯一性定理，在不改變邊界條件的前提下，引入等效電荷；空間的電場可由原來的電荷和所有

等效電荷產(chǎn)生的電場疊加得到。這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。

選擇鏡像電荷應(yīng)注意的問題：鏡像電荷必須位于待求區(qū)域邊界之外；鏡像電荷(或電流)與實際電荷

(或電流)共同作用保持原邊界條件不變。

1.點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

q'=_q二者對稱分布

2.點電荷對半無限大接地導(dǎo)體角域的鏡像

由兩個半無限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角。=三,〃為整數(shù)時,該角域中的點電荷將有

n

(2n-l)個鏡像電荷。

3.點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像P(r,e)

,acr

q=F'b=q

4.點電荷對不接地導(dǎo)體球面的鏡像

2

，a心a

qb=~r

aa

q"=_q'=：q,位于球心

四、分離變量法

1.分離變量法的主要步驟

?根據(jù)給定的邊界形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫出該坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的表達式及給定的

邊界條件。

?通過變量分離將偏微分方程化簡為常微分方程，并給出含有待定常數(shù)的常微分方程的通解。

?利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。

2.應(yīng)用條件

分離變量法只適合求解拉普拉斯方程。

3.重點掌握

(1)直角坐標(biāo)系下一維情況的解

建=0通解為：0=Ar+8

dx~

一。二夕⑴

dx2￡()

(2)圓柱坐標(biāo)系下一維情況的解

(r—)=0通解為：=Alnr+B

rdrdr

(3)球坐標(biāo)系下軸對稱系統(tǒng)的解

(sin0

V7=2g(產(chǎn)，)+/-n^喑)=

rordrrsmOoOdO

通解為：°（r,e）=+紇尸（"+I））?（cos。）

n=0

2

其中《（cos夕）=1,6（cosff）=cos6,P2（cosff）=（3cos夕一1）/2

第5章時諧電磁場

一、時諧場的MaxwellEquations

1.時諧場的復(fù)數(shù)描述

jfMjMtjMt

Eg)=Re[Ein(r)e]=Re[exExtll(r)e+eyEyJr)e+e二E訓(xùn)"%泗]

2.MaxwellEquations

VxH=J+jcoD▽xH=(cr+j(D￡)E

VxE=-jcoB▽xE=-jcopiH

V￡)=pV-E=plc

VB=0▽?H=0

二、媒質(zhì)的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)…n“舄=焉

?當(dāng)tan5=2?l,即傳導(dǎo)電流遠大于位移電流的媒質(zhì)，稱為良導(dǎo)體。

?當(dāng)tanS=2a1,即傳導(dǎo)電流與位移電流接近的媒質(zhì)，稱為半導(dǎo)體或半電介質(zhì)。

CDS'

?當(dāng)tanS=2?l,即傳導(dǎo)電流遠小于位移電流的媒質(zhì)，稱為電介質(zhì)或絕緣介質(zhì)。

cos'

三、坡印廷定理

1.時諧電磁場能量密度為

11?11,*,

=—E-D=-sE~M=—HB=—uH~p=J?E=<JE?

2222

%=：Re[Em%=；ReU?mpai.=1Re[J.E-]

M=-sE2(t)+-^iH2(t)

22

2.能流密度矢量

S=ExHS”=gRe[Ex"*]

3.坡印廷定理

-汗ExH-dS^—\codV+ipdV

JsdtWJ"

四、波動方程及其解

1.有源區(qū)域的波動方程

dF82EdJ1?a2H

▽———=//——+—Vp▽-〃一〃￡———=-VXJ

8tdt￡dt

k-rH

ur,r-------

特解：尸(rj)=———

兀

4JJJv|r-rI|

在無源區(qū)間，兩個波動方程式可簡化為齊次波動方程

力后-〃￡等=（）-刖典~=。

st2/at2

復(fù)數(shù)形式-亥姆霍茲方程

V2E+k2E=O,\72H+k2H=Q

五、達朗貝爾方程及其解

時諧場的位函數(shù)

B=VxAE=_V°_絲

8t

達朗貝爾方程

V2A-=-pj=-—（洛侖茲規(guī)范V-A=)

復(fù)數(shù)形式

V2A+k2A=-pJ

特解:阿)￡^4^

4?！陜?|r-r'|

六、準(zhǔn)靜態(tài)場（似穩(wěn)場）

1.準(zhǔn)靜態(tài)場方程

QB

NXH=GEVXE=——VB=OVD=O

dt

特點：位移電流遠小于傳導(dǎo)電流（絲<<J=bE）；準(zhǔn)靜態(tài)場中不可能存在自由體電荷分布。

dt

2.緩變電磁場（低頻電路理論）

隨時間變化很慢，或者頻率很低的電磁場。低頻電路理論就是典型的緩變電磁場的實例。根據(jù)準(zhǔn)靜

態(tài)方程第一方程，兩邊取散度有

N

▽.J=0=>JJ.dS=O=ZU=°（基爾霍夫電流定律）

sj=i

位函數(shù)滿足

▽xA=-〃JV2w=O

符合靜態(tài)場的規(guī)律。這就是“似穩(wěn)”的含義。

—J”勿d/+jgd￡%=0（基爾霍夫電壓定律）

3.場源近區(qū)的準(zhǔn)靜態(tài)電磁場

如果觀察點與源的距離相當(dāng)近奸=2兀二《1ne^?l,則

2

A(r)=二2叱（近區(qū)場條件:I/"”

第6章電磁輻射基礎(chǔ)

一、基本極子的輻射

1.電偶極子的遠區(qū)場

//sine劭

E=陽0%匕n一Ic

'2Arw22r

2.磁偶極子的輻射

jkr

安^sin%-的Ho=-^-sin0e-

紇Arr

二、天線參數(shù)

1.輻射功率

ExH^-dS

Pr=si=

電偶極子的輻射功率:

2.輻射電阻

2R

I2

2

電偶極子的輻射電阻:

3.效率

—&

%Pr+PLK+&

4.方向性函數(shù)

|E（r,6>,砌以仇<p）

F（e,（P）=

Enax⑺fmax

電偶極子的方向性函數(shù)為:尸（6M=sin，

功率方向性函數(shù)：/（。4）=/2（49）如下圖

副瓣

零射方向

主瓣

背

2。0.5主射方向

零射方向

?主瓣寬度2%5、2%5：兩個半功率點的矢徑間的夾角。元天線：2/5=90°

?副瓣電平：SLL=10lg」dBSo為主瓣功率密度，5|為最大副瓣的功率密度。

S。

?前后比：FB=101g事BSo為主瓣功率密度，Sb為最大副瓣的功率密度。

5.方向性系數(shù)

討:產(chǎn)(OMsinOd。

電偶極子方向性系數(shù)的分貝表示D=101gl.5dB=1.64dB

6.增益

GfDGdB=10lgG

三、對稱天線

1.對稱天線的方向圖函數(shù)

cos(klcos9)coskl

F@=

sin，

2.半波對稱天線

(八了cos(—cos^)jcos(—cos6)

場：3的3一產(chǎn)

H42C-Jkr

rsin”2jirsin。

cos"cos，

方向性函數(shù)為：F(0)=―k--------

sin。

輻射電阻為：R,.=73.10

方向性系數(shù)：D=lOlgl.64dB=2.15dB

四.天線陣

1.天線陣的概念

為了改善和控制天線的輻射特性，使用多個天線按照一定規(guī)律構(gòu)成的天線系統(tǒng)，稱為天線陣或陣列

天線。天線陣的輻射特性取決于：陣元的類型、數(shù)目、排列方式、間距、電流振幅及相位和陣元的取向。

2.均勻直線陣

均勻直線式天線陣：若天線陣中各個單元天線的類型和取向均相同，且以相等的間隔d排列在一條

直線上。各單元天線的電流振幅均為/,但相位依次逐一滯后或超前同一數(shù)值這種天線陣稱為均勻

直線式天線陣。

(1)均勻直線陣陣因子

Yi

sin2(Zdcos6+g)

AF(a*=—

；()

sin(kdcos9+g

(2)方向圖乘法原理

F(0,<p)=AF(0,<p)fl(0,(p)

第7章均勻平面波的傳播

一、沿任意方向傳播的均勻平面波

JkrJkrjh,r

E=Ene-=Ene-"H=-nxEne-

n

其中左==e￡r+e、&+e;匕，r=€3+與丁+牝2,”為傳播矢量無的單位方向,即電磁波的

傳播方向。

二、均勻平面波在自由空間中的傳播

對于無界空間中沿+Z方向傳播的均勻平面波，即

jk:

E（z）^exEx=exExn,e-e^

1.瞬時表達式為：E（z,f）=Re[（e、.紇“"，'期）e"“]=exExmcos（a）t-kz+（px）

2衛(wèi)CO1

2.相速與波長:k在p,=—=—/=~/（非色散）

k2"k版

〃=產(chǎn)=120萬。

3.場量關(guān)系:H=-e.xEE=qHxe

7'

4.電磁波的特點

TEM波；電場、磁場同相；振幅不變；非色散；磁場能量等于電場能量。

三、均勻平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播

對于導(dǎo)電媒質(zhì)中沿+Z方向傳播的均勻平面波，即

E=exEx=3.產(chǎn)一曲（片a+〃）

1.波阻抗

2.電磁波的特點

TEM波；電場、磁場有相位差；振幅衰減；色散；磁場能量大于電場能量。

四、良導(dǎo)體中的均勻平面波特性

對于良導(dǎo)體，傳播常數(shù)可近似為：。=〃=^^=而而

1.

相速與波長：2=1=/=2

2.（色散）

3.趨膚深度：d----7]--導(dǎo)體的高頻電阻大于其直流電阻或低頻電阻。

ap2兀

4.良導(dǎo)體的本征阻抗為：7c

（J

良導(dǎo)體中均勻平面電磁波的磁場落后于電場的相角45。。

五、電磁波的極化

1.極化：電場強度矢量的取向。設(shè)有兩個同頻率的分別為x、y方向極化的電磁波

Ex=Exn,cos（（y/-kz+^y

Ey=E??cos（（yf-kz+（p2）

2.線極化：紇，紇分量相位相同，或相差180°則合成波電場表示直線極化波。

3.圓極化：紇，紇分量振幅相等，相位差為90°,合成波電場表示圓極化波。

旋向的判斷：(pY-(px=—,左旋；(px-(px=-—,右旋

22

4.橢圓極化：斗，”分量振幅不相等，相位不相同，合成波電場表示橢圓極化波。

六、均勻平面波對分界面的垂直入射

1.反射系數(shù)與透射系數(shù)

R_Em,2-

E而%+九E加%+7人

2.對理想導(dǎo)體界面的垂直入射

R=0,T=-l,合成波為純駐波

3.對理想介質(zhì)界面的垂直入射

合成波為行駐波，透射波為行波。駐波系數(shù)：

八閭一1+IRI

"——

HL

4.對多層介質(zhì)界面的垂直入射

(1)3層等效波阻抗

%+/%tan(-d)

"2%+加3tan(g2」

(2)四分之一波長匹配層

-4=>R]=0無反射

照相機鏡頭上的涂敷層消除反射的原理。

(3)半波長介質(zhì)窗

雷達天線罩消除電磁波反射的原理。

七、均勻平面波在界面上的斜入射

1.反射定律與和折射定律

sin'_k、_n

q=夕A