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文檔簡(jiǎn)介

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第六章計(jì)數(shù)原理

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

例1在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感

興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),如表6.1-1.

表6.1-1

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇?

分析:要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所,

而且只能選擇一個(gè)專業(yè),又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),所以符合分類加法計(jì)

數(shù)原理的條件.

解:這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法,在

B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法,因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的,所以根據(jù)分

類加法計(jì)數(shù)原理,這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9.

例2某班有男生30名、女生24名,從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽,

共有多少種不同的選法?

分析:要完成的一件事是“選男生和女生各1名”,可以分兩個(gè)步驟:第1步,選男生;

第2步:選女生.

解:第1步,從30名男生中選出1人,有30種不同選法;第2步,從24名女生中選

出1人,有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有不同選法的種數(shù)

W=30x24=720.

例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層

放有2本不同的體育書.

(1)從書架上任取1本書,有多少種不同取法?

(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,有多少種不同取法?

分析:(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”,可以分從第1層、第2層和第3層

中取三類方案;(2)要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,

可以分三個(gè)步驟完成.

解:(1)從書架上任取1本書,有三類方案:第I類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書,

有4種方法;第2類方案是從第2層取1本文藝書,有3種方法;第3類方案是從第3

層取1本體育書,有2種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同取法的種數(shù)

N=4+3+2=9.

(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,可以分三個(gè)步驟完成:第1步,

從第1層取1本計(jì)算機(jī)書,有4種方法;第2步,從第2層取1本文藝書,有3種方法;

第3步,從第3層取1本體育書,有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同取法的種

數(shù)

N=4x3x2=24.

練習(xí)

1.填空題

(1)一項(xiàng)工作可以用2種方法完成,有5人只會(huì)用第1種方法完成,另有4人只會(huì)用

第2種方法完成,從中選出1人來完成這項(xiàng)工作,不同選法的種數(shù)是:

(2)從A村去8村的道路有3條,從8村去C村的道路有2條,從A村經(jīng)B村去C村,

不同路線的條數(shù)是.

【答案】96

【分析】(1)用加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可;

(2)用乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)橐豁?xiàng)工作可以用2種方法完成,有5人只會(huì)用第1種方法完成,另有

4人只會(huì)用第2種方法完成,所以從中選出1人來完成這項(xiàng)工作,不同選法的種數(shù)是:

5+4=9;

(2)因?yàn)閺腁村去B村的道路有3條,從8村去C村的道路有2條,所以從4村經(jīng)B

村去C村,不同路線的條數(shù)是:3X2=6,

故答案為:9;6

2.在例I中,如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),那么A大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可以選擇,

B大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇,應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇

種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問題?

2.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書,下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本,有多少種不同的取法?

【答案】(1)11種;(2)30種;

【分析】(1)按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得;

(2)按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得;

【詳解】解:書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書,下層放有5本不同的語文書.

試卷第2頁,共14頁

(1)從書架上任取1本書,則有6+5=11種取法;

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本,則有6x5=30種取法;

3.現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生3名,高二年級(jí)的學(xué)生5名,高三年級(jí)的學(xué)生4名.

(1)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動(dòng),有多少種不同的選法?

(2)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動(dòng),有多少種不同的選法?

【答案】(1)12;(2)60.

【分析】(1)由分類加法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算即可得解;

(2)由分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算即可得解.

【詳解】從高一年級(jí)的學(xué)生中選取1名,有3種選法;從高二年級(jí)的學(xué)生中選取1名,

有5種選法;從高三年級(jí)的學(xué)生中選取1名,有4種選法;

(1)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中任選1人參加活動(dòng),共有3+5+4=12種不同選法;

(2)從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加活動(dòng),共有3X5X4=60種不同選法.

例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,

共有多少種不同的掛法?

分析:要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅,并分別掛在左、右兩邊墻上“;可以分

步完成.

解:從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上,可以分兩個(gè)步驟完成:第1步,從

3幅畫中選1幅掛在左邊墻上,有3種選法:第2步,從剩下的2幅畫中選1幅掛在右

邊墻上,有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理.不同掛法的種數(shù)

N=3X2=6.

6種掛法如圖6.1-2所示.

左邊右邊得到的掛法

左甲右乙

左甲右丙

左乙右甲

左乙右丙

左丙右甲

左丙右乙

圖6.1-2

例5給程序模塊命名,需要用3個(gè)字符,其中首字符要求用字母A?G或U?Z,后

兩個(gè)字符要求用數(shù)字1-9,最多可以給多少個(gè)程序模塊命名?

分析:要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”,可以分三個(gè)步驟完成:第1步,選首

字符;第2步,選中間字符;第3步,選最后一個(gè)字符.而首字符又可以分為兩類.

解:由分類加法計(jì)數(shù)原理,首字符不同選法的種數(shù)為

7+6=13.

后兩個(gè)字符從1?9中選,因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù),所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同名稱的個(gè)數(shù)是

13x9x9=1053,

即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.

例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài),而這也是最容易

控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法,即二

進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符,需要對(duì)字符進(jìn)行編碼,每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)

字節(jié)來表示,其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位,每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位

構(gòu)成.

(1)1個(gè)字節(jié)(8位),最多可以表示多少個(gè)不同的字符?

(2)計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字,一個(gè)漢字為一個(gè)字符,要對(duì)這些漢字進(jìn)行

編碼,每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示?

分析:(1)要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制型上的數(shù)字”.由于每個(gè)字節(jié)有8

個(gè)二進(jìn)制位,每位上的值都有0,1兩種選擇,而且不同的順序代表不同的字符,因此

可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解;(2)只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于

6763個(gè)即可.

解:(1)用圖6.1-3表示1個(gè)字節(jié).

第1位第2位第3位第8位

ttI1

2種2種2種2種

圖6.1-3

1個(gè)字節(jié)共有8位,每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,1個(gè)字節(jié)最多可以表

示不同字符的個(gè)數(shù)是

2x2x2x2x2x2x2x2=2'=256.

(2)由(1)知,1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè),我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠

表示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法,后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方

法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是

256x256=65536.

這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼,每個(gè)漢字

至少要用2個(gè)字節(jié)表示.

試卷第4頁,共14頁

練習(xí)

4.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號(hào)碼由8位數(shù)字組成,其中前4位的數(shù)字是不變的,后

4位數(shù)字都是0~9之間的一個(gè)數(shù)字,這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有多少個(gè)?

【答案】10000

【分析】后四位數(shù)字都是。到9之間的一個(gè)數(shù)字,每一位都有10種選擇方法,根據(jù)分

步計(jì)數(shù)原理可得.

【詳解】解:后四位數(shù)字都是0到9之間的一個(gè)數(shù)字,每一位都有10種選擇方法,故

有104=10000個(gè).

故這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有10000個(gè).

5.從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名,有多少種不同的選法?

【答案】20種選法

【分析】從5人中依次選出正、副組長,由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】先從5人中選出一名組長,共有5種選法,

再從剩下的4人中選出一名副組長,共有4種選法,

所以從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名,共有5x4=20種選法.

6.從1,2,…,19,20中任選一個(gè)數(shù)作被減數(shù),再從1,2,10中任選一個(gè)數(shù)作

減數(shù),然后寫成一個(gè)減法算式,共可得到多少個(gè)不同的算式?

【答案】200

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理直接求解出不同算式的個(gè)數(shù).

【詳解】第一步:從1,2,…,19,20中選一個(gè)數(shù)作為被減數(shù),有20種選法;

第二步:從1,2,…,10中選一個(gè)數(shù)作為減數(shù),有10種選法,

所以寫成的減法算式共有:20x10=200個(gè),

故可得200個(gè)不同的算式.

7.在1,2,500中,被5除余2的數(shù)共有多少個(gè)?

【答案】100

【分析】依題意這些數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng),以5為公差的等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)

公式計(jì)算可得;

【詳解】解:因?yàn)樵?,2,…,500中,被5除余2的數(shù)有2,7,497,

這些數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng),以5為公差的等差數(shù)列,設(shè)一個(gè)有n個(gè)數(shù),所以497=2+

5(n-l),解得n=100

故共有100個(gè)

8.由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復(fù))?

【答案】125種

【分析】由百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字均有5種選法,結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】由題意,百位、十位和個(gè)位上的數(shù)字均有5種選法,

所以由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成5x5x5=125個(gè)三位數(shù).

例7計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試.程序員需要知道到底有

多少條執(zhí)行路徑(即程序從開始到結(jié)束的路線),以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).一

般地,一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成.如圖6.1-4,這是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程

序模塊,它有多少條執(zhí)行路徑?

另外,為了減少測(cè)試時(shí)間,程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)

試方法,以減少測(cè)試次數(shù)嗎?

圖6.1-4

分析:整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成:第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn);第2

步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊L子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成;

第2步可由子模塊子模塊5中任何一個(gè)來完成.因此,分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行

路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.

解:由分類加法計(jì)數(shù)原理,子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為

18+45+28=91;

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為

38+43=81.

又由分步乘法計(jì)數(shù)原理,整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為

91x81=7371.

在實(shí)際測(cè)試中,程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱,即通過只考察是否執(zhí)行了正

確的子模塊的方式來測(cè)試整個(gè)模塊.這樣,他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊,以考察每

試卷第6頁,共14頁

個(gè)子模塊的工作是否正常.總共需要的測(cè)試次數(shù)為

18+45+28+38+43=172.

再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常,,只需要測(cè)試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第

2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常,需要的測(cè)試次數(shù)為

3x2=6.

如果每個(gè)子模塊都工作正常,并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常.那么整個(gè)程序模

塊就工作正常.這樣,測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178.

顯然,178與7371的差距是非常大的.

例8通常,我國民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成,第一部分為用漢字表示的省、自

治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào),第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文

字母組成的序號(hào)(如圖6.1-5).

MAJR005

省、自治區(qū)、庠4

直轄市藺稱

發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)

圖6.1-5

其中,序號(hào)的編碼規(guī)則為:

(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O,I之外的24個(gè)英文字母組成;

(2)最多只能有2個(gè)英文字母.

如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼,那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號(hào)

牌?

分析:由號(hào)牌編號(hào)的組成可知,序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌

數(shù).按序號(hào)編碼規(guī)則可知,每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的,并且可將序號(hào)分為

三類:沒有字母,有1個(gè)字母,有2個(gè)字母.以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn),可將有1個(gè)

字母的序號(hào)分為五個(gè)子類,將有2個(gè)字母的序號(hào)分為十個(gè)子類.

解:由號(hào)牌編號(hào)的組成可知,這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根

據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則,5位序號(hào)可以分為三類:沒有字母,有1個(gè)字母,有2個(gè)字母.

(1)當(dāng)沒有字母時(shí),序號(hào)的每一位都是數(shù)字,確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟,每一步

都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè),各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,這類號(hào)牌張數(shù)

10x10x10x10x10=100000.

(2)當(dāng)有1個(gè)字母時(shí),這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位

或第5位,這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時(shí),分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字:第1步,從24個(gè)字母

中選1個(gè)放在第1位T有24種選法;第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位

置,各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,號(hào)牌張數(shù)為

24x10x10x10x10=240000.

同樣,其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理;這類號(hào)牌張數(shù),共為

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

(3)當(dāng)有2個(gè)字母時(shí),根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置,可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子

類:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和

第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4

位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí),分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字:第1?2步都

是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位,各有24種選法;第3?5步都是從

10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相流的位置,各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,號(hào)牌張

數(shù)為

24x24x10x10x10=576000,

同樣,其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張.

于是,這類號(hào)牌張數(shù)一共為

576000x10=5760000.

綜合(1)(2)(3),根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)

100000+1200000+5760000=7060000.

練習(xí)

9.乘積(a1++。3)(瓦+匕2+^3)(C1++C3+C4+,5)展開后共有多少項(xiàng)?

【答案】45項(xiàng)

【分析】由多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則,(%+a2+。3)(瓦+b2+Z>3)(Q+C2+C3+C4+C5)展

開后每一項(xiàng)均是從(%+a2+。3),(瓦+b2+月),(G+c2+c3+c4+C5)中各取1項(xiàng)

相乘得到,

試卷第8頁,共14頁

所以展開后的項(xiàng)數(shù)為3x3x5=45項(xiàng).

10.在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?

【答案】45

【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理分別考慮當(dāng)十位是1,234,5,6,7,8,9時(shí)滿足要求的兩位數(shù)

的個(gè)數(shù),將所得兩位數(shù)的個(gè)數(shù)相加即可求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)十位是1時(shí),個(gè)位可以是0,共1個(gè)

當(dāng)十位是2時(shí),個(gè)位可以是0,1,共2個(gè),

當(dāng)十位是3時(shí),個(gè)位可以是0,1,2,共3個(gè),

當(dāng)十位是4時(shí),個(gè)位可以是0,1,2,3,共4個(gè),

當(dāng)十位是5時(shí),個(gè)位可以是0,1,234,共5個(gè),

當(dāng)十位是6時(shí),個(gè)位可以是0,1,2,3,4,5,共6個(gè),

當(dāng)十位是7時(shí),個(gè)位可以是0,1,2,3,4,5,6,共7個(gè),

當(dāng)十位是8時(shí),個(gè)位可以是0,1,2,3,4,5,6,7,共8個(gè),

當(dāng)十位是9時(shí),個(gè)位可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,共9個(gè),

所以符合要求的兩位數(shù)一共有:1+2+3+…+9=詈=45個(gè),

故個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)有45個(gè).

11.某商場(chǎng)有6個(gè)門,如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng),并且要求從其他的門出

去,那么共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式?

【答案】30

【分析】由于某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng),因此從6個(gè)門中任選一個(gè)可有/種不

同的方法,要求從其他的剩余的5個(gè)門出去,可有瑪種不同的方法,再利用乘法原理即

可得出.

【詳解】解:由題意可得:共有盤xC」=30種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式,

故有30種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式.

12.任意畫一條直線,在直線上任取”個(gè)分點(diǎn).

(1)從這”個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段,可得到多少條線段?

(2)從這〃個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量,可得到多少個(gè)向量?

【答案】(1)竺(2)n(n-l).

【分析】(1)組合問題;(2)排列問題.

【詳解】(1)因?yàn)榫€段與端點(diǎn)的順序無關(guān),所以從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)可形成的線

段共盤=誓2條;

(2)因?yàn)橄蛄颗c端點(diǎn)的順序有關(guān),所以從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)可形成的向量共掰=

n(n-1)個(gè).

習(xí)題6.1

復(fù)習(xí)鞏固

13.一個(gè)商店銷售某種型號(hào)的電視機(jī),其中本地的產(chǎn)品有4種,外地的產(chǎn)品有7種.要

買1臺(tái)這種型號(hào)的電視機(jī),有多少種不同的選法?

【答案】11種

【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得解.

【詳解】由題意,購買本地產(chǎn)品的選法有4種,購買外地產(chǎn)品的選法有7種,

所以購買1臺(tái)這種型號(hào)的電視機(jī),共有4+7=11種不同的選法.

14.如圖,從甲地到乙地有2條路,從乙地到丁地有3條路;從甲地到丙地有4條路,

從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線?

【答案】14種

【分析】按照甲地經(jīng)乙地到丁地、甲地經(jīng)丙地到丁地分類,結(jié)合分類加法、分步乘法計(jì)

數(shù)原理即可得解.

【詳解】如果由甲地經(jīng)乙地到丁地,則有2x3=6種不同的路線;

如果由甲地經(jīng)丙地到丁地,則有4x2=8種不同的路線;

因此,從甲地到丁地共有6+8=14種不同的路線.

15.如圖,要讓電路從A處到B處接通,可有多少條不同的路徑?

【答案】8條

試卷第10頁,共14頁

【分析】分上線路、中線路、下線路討論,結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】如果電路從上線路接通,共有3條路徑;

如果電路從中線路接通,共有1條路徑;

如果電路從下線路接通,共有2x2=4條路徑;

所以要讓電路從A處到B處接通,共有3+1+4=8條不同的路徑.

16.用1,5,9,13中的任意一個(gè)數(shù)作分子,4,8,12,16中任意一個(gè)數(shù)作分母,可

構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)?可構(gòu)成多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)?

【答案】16個(gè)不同的分?jǐn)?shù);真分?jǐn)?shù)有10個(gè).

【分析】由分子、分母的選擇個(gè)數(shù)及分步乘法計(jì)數(shù)原理可得分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù):按照分子取值

分類,結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理即可得真分?jǐn)?shù)得個(gè)數(shù).

【詳解】從1,5,9,13中的任選一個(gè)數(shù)作分子,4,8,12,16中任選一個(gè)數(shù)作分母,

可構(gòu)成4x4=16個(gè)不同的分?jǐn)?shù);

由真分?jǐn)?shù)的定義,

①若1為分子,分母有4種選擇;

②若5為分子,分母有3種選擇;

③若9為分子,分母有2種選擇;

④若13為分子,分母有1種選擇;

所以真分?jǐn)?shù)共有4+3+2+1=10個(gè).

17.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球,另一個(gè)口袋內(nèi)裝有6個(gè)小球,所有這些小球的顏色互不

相同.從兩個(gè)袋子中分別取1個(gè)球,共有多少種不同的取法

【答案】30

【分析】分兩步進(jìn)行,兩步的結(jié)果相乘即可求解.

【詳解】解:分兩步進(jìn)行:第一個(gè)口袋內(nèi)取一個(gè)球有5種取法,另一個(gè)口袋內(nèi)取一個(gè)球

有6種取法;

從兩個(gè)口袋內(nèi)分別取1個(gè)小球,共有:5x6=30種取法.

18.(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在4={0,1,2,3,4,5}內(nèi)取值的不同點(diǎn)共

有多少個(gè)?

(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),斜率在集合8={135,7}內(nèi)取值,y軸上的截距在集合C=

{2,4,6,8}內(nèi)取值的不同直線共有多少條?

【答案】(1)36;(2)16

【分析】(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,根據(jù)橫,縱分別坐標(biāo)來取值,最后相乘即可.

(2)根據(jù)題意,分析直線的斜率、在y軸上的截距的選法數(shù)目,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可

得答案.

【詳解】解:(1)先取橫坐標(biāo)有6種取法;再取縱坐標(biāo)也有6種取法;

故共有6x6=36種結(jié)果;

即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有36個(gè).

(2)根據(jù)題意,直線的斜率在集合B={1,3,5,7}內(nèi)取值,有4種情況,

在y軸上的截距在集合C={2,4,6,8}內(nèi)取值,有4種情況,

則直線有4x4=16條.

綜合運(yùn)用

19.一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有0~9共10個(gè)數(shù)字.現(xiàn)最后一個(gè)撥號(hào)盤

出現(xiàn)了故障,只能在0~5這6個(gè)數(shù)字中撥號(hào),這4個(gè)撥號(hào)盤可組成多少個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼?

【答案】6000個(gè)

【分析】由每個(gè)撥號(hào)盤可選的數(shù)字個(gè)數(shù)結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】前3個(gè)撥號(hào)盤均有10個(gè)數(shù)字可選,第4個(gè)撥號(hào)盤有6個(gè)數(shù)字可選,

所以這4個(gè)撥號(hào)盤可組成10x10x10x6=6000個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼.

20.(1)4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì),每人限報(bào)其中的一

個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)不同報(bào)法的種數(shù)是3,還是43?

(2)3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽,不同選法的種數(shù)是35還是53?

【答案】⑴3%(2)53.

【分析】(1)讓4名同學(xué)去選擇運(yùn)動(dòng)隊(duì),結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解;

(2)讓3個(gè)班去選擇景點(diǎn),結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】(1)讓4名同學(xué)去選擇運(yùn)動(dòng)隊(duì),每人均有3種選擇,

所以不同報(bào)法的種數(shù)為3x3x3x3=3t

(2)讓3個(gè)班去選擇景點(diǎn),每個(gè)班有5種選擇,

所以不同選法的種數(shù)是5x5x5=53.

21.(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué),每人一件,有多少種不同的送法?

(2)有5個(gè)編了號(hào)的抽屜,要放進(jìn)3本不同的書,不同的放法有多少種?(一個(gè)抽屜

可放多本書).

【答案】(1)120;(2)125

【分析】(1)直接根據(jù)排列數(shù)計(jì)算可得;

(2)分為①三本書都放入一個(gè)抽屜,②三本書放入兩個(gè)抽屜,③三本書放入三個(gè)抽屜,

三種情況討論,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得;

【詳解懈:(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué),每人一件,則共有用=120

試卷第12頁,共14頁

種方法;

(2)有5個(gè)編

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