高中數(shù)學(xué)《算法的概念》導(dǎo)學(xué)案

第IB章算法初步

DIYIZHANG1.1算法與程序框圖

i.i.i算法的概念

卜課前自主預(yù)習(xí)

一、算法的概念

12世紀(jì)

指的是用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行四算術(shù)運(yùn)算的過程

的算法

數(shù)學(xué)中

通常是指按照W一定規(guī)則解決某一類問題的也明確和幽有限的步驟

的算法

現(xiàn)代

通?？梢跃幊煞烙?jì)算機(jī)程序,讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題

算法

二、算法的特征

i.有限性：一個(gè)算法的步驟序列是因有限的,它應(yīng)在國有限步操作之后

停止.

2.確定性：算法中的每一步應(yīng)該是園確定的,并且能有效地執(zhí)行且得到典

確定的結(jié)果,而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可的.

3.有序性：算法從初始步驟開始，分為若干個(gè)明確的步驟，前一步是后一

步的黨前提,只有完成前一步，才能進(jìn)行下一步，而且每一步都是正確無誤的，

才能完成問題.

4.不唯一性：求解某一個(gè)問題的算法不一定只有四唯二的一個(gè)，也可以有

因不同的算法,這些算法有繁簡、優(yōu)劣之分.

5.普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決.

三、算法與計(jì)算機(jī)

計(jì)算機(jī)解決任何問題都要依賴于型算法，只有將解決問題的過程分解為若

干個(gè)因明確的步驟，即巧算法，并用計(jì)算機(jī)能夠接受的“四語言”準(zhǔn)確地描

述出來，計(jì)算機(jī)才能夠解決問題.

鼠］自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)求解某類問題的算法是唯一的.()

(2)算法一定在有限步驟操作之后停止.()

(3)算法是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果.()

答案⑴義(2)7(3)7

2.做一做

(1)下列描述不能看作算法的是()

A.做米飯需要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟

B.洗衣機(jī)的使用說明書

C.解方程羽+彳-1=0

D.利用公式5=兀以計(jì)算半徑為4的圓的面積，就是計(jì)算兀X42

答案C

解析判斷一個(gè)問題是否有算法，關(guān)鍵是看是否有解決某一類問題的程序或

步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步驟之內(nèi)完成.題

目中的A,B,D三項(xiàng)都符合要求，而C項(xiàng)沒有提出解決問題的程序或步驟.

(2)完成解不等式2x+2<4x—1的算法：

第一步，移項(xiàng)，并合并同類項(xiàng)，得.

第二步，在不等式的兩邊同時(shí)除以x的系數(shù)，得.

3

答案一2x<—3x>2

解析由2x+2<4九一1,移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得一2%3,兩邊同除以一2得

3

(3)試設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求表面積為16K的球的體積.

解解法一：算法步驟如下：

第一步，取5=16兀

第二步，計(jì)算(由于S=4nR2).

4

第三步，計(jì)算V=^TIR3.

第四步，輸出運(yùn)算結(jié)果.

解法二：算法步驟如下：

第一步，取5=16兀

第二步，計(jì)算v=

第三步，輸出運(yùn)算結(jié)果.

卜課堂互動探究

探究1算法的概念與特征

例1下列說法正確的是（）

A.算法就是某個(gè)問題的解題過程

B.算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果

C.解決某一個(gè)具體問題算法不同，則結(jié)果不同

D.算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大，否則無法實(shí)施

［答案］B

［解析］選項(xiàng)B正確，例如：判斷一個(gè)整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”

和“不是偶數(shù)”兩種；選項(xiàng)A,算法不能等同于解法；選項(xiàng)C,解決某一個(gè)具體

問題算法不同，但結(jié)果應(yīng)相同；選項(xiàng)D,算法執(zhí)行步驟的次數(shù)可以為很多次，但

不可以為無限次.

拓展提升

算法實(shí)際上是解決問題的一種程序性方法，它通常解決某一個(gè)或一類問題,

用算法解決問題，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

【跟蹤訓(xùn)練11下列說法中是算法的有（填序號）.

①從上海到拉薩旅游，先坐飛機(jī)，再坐客車；

②解一元一次不等式的步驟是去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化

為1;

③求以8（—1,一2）兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段A3的中垂線.

答案①②

解析①說明了從上海到拉薩的行程安排.

②給出了解一元一次不等式這類問題的解法.

③沒有給出求線段中垂線的方法及步驟.

探究2數(shù)值性問題的算法設(shè)計(jì)

例2寫出解方程f—2x—3=0的一個(gè)算法.

［解］解法一：第一步，移項(xiàng)得f-2x=3.①

第二步，①式兩邊同時(shí)加1,

并配方得（X-1）2=4.②

第三步，②式兩邊開方，得x—1=±2.③

第四步，解③得無1=3,X2=-l.

解法二：第一步，計(jì)算方程的判別式并判斷其符號，

顯然』=（-2）2—4X（—3）=16>0.

第二步，將a=l,b=—2,c=-3代入求根公式幻,2=-4”,得尤1

=3,X2=—1.

［變式探究］將例2中的方程換為以2十"十,=0（療0）時(shí)，求根的算法又如

何寫？

解第一步，計(jì)算/="-4ac.

第二步，若/<0,則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步.

第三步，輸出方程無實(shí)根.

第四步，計(jì)算并輸出方程根x5i嘴F.

拓展提升

與解方程有關(guān)問題的設(shè)計(jì)算法過程

設(shè)計(jì)算法時(shí)，經(jīng)常遇到解方程（組）的算法問題，一般是按照數(shù)學(xué)上解方程（組）

的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，但應(yīng)注意全面考慮方程的情況，即先確定方程（組）是否有解，

有解時(shí)有幾個(gè)（組）解，然后依求解步驟設(shè)計(jì)算法步驟.

2x+y=7,

【跟蹤訓(xùn)練2】給出求解方程組，,的一個(gè)算法.

［4x+5y=ll

解解法一（代入消元法）：

第一步，由2x+y=7得y=7—2x.

第二步，將y=7-2x代入4x+5y=ll,得4x+5（7—2x）=11,解得x=4.

第三步，將x=4代入方程y=7—級，解得>=一1.

x=4

第四步，輸出方程組的解為‘

ly=-i-

解法二（加減消元法）：

第一步，方程2x+y=7的兩邊都乘以5得，10x+5y=35.

第二步，將第一步所得的方程與方程4x+5y=ll作差，消去y得6x=24,

解得x=4.

第三步，將x=4代入方程2x+y=7,

解得y=—1.

jx=4

第四步，輸出方程組的解為\

探究3非數(shù)值性問題的算法設(shè)計(jì)

例3一位商人有9枚銀元，其中有1枚略輕的是假銀元，你能用天平（無祛

碼）將假銀元找出來嗎？

［解］解法一：算法如下.

第一步，任取2枚銀元分別放在天平的兩邊，若天平左、右不平衡，則輕的

一枚就是假銀元，若天平平衡，則進(jìn)行第二步.

第二步，取下右邊的銀元放在一邊，然后把剩下的7枚銀元依次放在右邊進(jìn)

行稱量，直到天平不平衡，偏輕的那一枚就是假銀元.

解法二：算法如下.

第一步，把9枚銀元平均分成3組，每組3枚.

第二步，先將其中兩組放在天平的兩邊，若天平不平衡，則假銀元就在輕的

那一組；否則假銀元在未稱量的那一組.

第三步，取出含假銀元的那一組，從中任取2枚銀元放在天平左、右兩邊稱

量，若天平不平衡，則假銀元在輕的那一邊；若天平平衡，則未稱量的那一枚是

假銀元.

拓展提升

非數(shù)值性問題的算法設(shè)計(jì)過程

對于非數(shù)值性問題，應(yīng)當(dāng)首先建立過程模型，根據(jù)過程設(shè)計(jì)步驟，完成算法，

在設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)簡潔、清晰，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況以體現(xiàn)思維的嚴(yán)謹(jǐn)

性.

【跟蹤訓(xùn)練3】“韓信點(diǎn)兵”問題：韓信是漢高祖手下的大將，他英勇善

戰(zhàn)，謀略超群，為漢朝的建立立下了不朽功勛.據(jù)說他在一次點(diǎn)兵的時(shí)候，為保

住軍事秘密，不讓敵人知道自己部隊(duì)的軍事實(shí)力，采用下述點(diǎn)兵方法：①先令士

兵從1?3報(bào)數(shù)，結(jié)果最后一個(gè)士兵報(bào)2；②又令士兵從1?5報(bào)數(shù)，結(jié)果最后一

個(gè)士兵報(bào)3；③又令士兵從1?7報(bào)數(shù)，結(jié)果最后一個(gè)士兵報(bào)4.這樣韓信很快算

出自己部隊(duì)里士兵的總數(shù).請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)算法，求出士兵至少有多少人.

解第一步，首先確定最小的滿足除以3余2的正整數(shù)：2.

第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整數(shù)：2,5,8,11,14,17,20,

第三步，在上列數(shù)中確定最小的滿足除以5余3的正整數(shù)：8.

第四步，然后在自然數(shù)內(nèi)，在8的基礎(chǔ)上依次加上15的倍數(shù)，得到

8,23,38,53,….

第五步，在上列數(shù)中確定最小的滿足除以7余4的正整數(shù)應(yīng)為53.

1

f---------------------------------------1冊a----------------------

1.算法概念的理解

(1)算法可以理解為按照一定規(guī)則解決某一類問題所構(gòu)成的完整的解題步驟或看

成按要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一

類問題；

(2)通俗點(diǎn)說，算法就是計(jì)算機(jī)解題的過程.在這個(gè)過程中，無論是形成解題思

路還是編寫程序，都是在實(shí)施某種算法，前者是推理實(shí)現(xiàn)的算法，后者是操作

實(shí)現(xiàn)的算法；

(3)算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械化的特點(diǎn)，同時(shí)又具有高度的抽象

性、概括性、精確性，所以算法在解決問題時(shí)更具有條理性、邏輯性等特

點(diǎn).通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化”，其最大優(yōu)點(diǎn)是可以讓計(jì)算機(jī)來完

成.

2.算法的幾種描述方式

算法的描述可以有不同的方式，主要有自然語言、程序框圖、計(jì)算機(jī)程序語

言.

(1)自然語言描述算法的優(yōu)點(diǎn)是通俗易懂，當(dāng)算法中的操作步驟都是順序執(zhí)行時(shí)

比較容易理解；缺點(diǎn)是如果算法中包含判斷或轉(zhuǎn)向，并且操作步驟較多時(shí)，就

不那么直觀和清晰了；

(2)程序框圖描述算法就是指用規(guī)定的圖形符號來描述算法，具有直觀、結(jié)構(gòu)清

晰、條理分明、通俗易懂、便于檢查修改等優(yōu)點(diǎn)；

(3)算法能被計(jì)算機(jī)接受并運(yùn)行，主要靠計(jì)算機(jī)程序語言，因而也稱為機(jī)器語

3.算法與數(shù)學(xué)問題的解法的區(qū)別與聯(lián)系

算法是解決某一類問題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱，也可理解為數(shù)學(xué)中

區(qū)別的“通法通解”；而解法是解決某一個(gè)具體問題的過程和步驟，是具體

解題過程

算法與解法是一般與特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系，例如，教材

先從分析一個(gè)具體的二元一次方程組的求解過程(解法)出發(fā)，歸納出了

二元一次方程組的求解步驟，并且指出，這樣的求解步驟也適合有限制

條件的二元一次方程組，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測

1.下列對算法的理解不正確的是（）

A.算法可以無止境地運(yùn)行下去

B.算法的步驟是不可逆的

C.同一個(gè)問題可以有不同的算法

D.算法中的每一步都應(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果

答案A

解析A項(xiàng)中，由于算法具有有限性，因此不可能無止境地運(yùn)行下去，不正

確；B項(xiàng)中，算法中的步驟是按照順序一步步進(jìn)行下去的，因此是不可逆的，正

確；C,D項(xiàng)符合算法的特征，正確.

2.使用配方法解方程V—4x+3=0的算法的正確步驟是（）

①配方得（X—2）2=1；②移項(xiàng)得f—4x=—3；③解得x=l或x=3；④開方

得x-2=±1.

A.①②③④B.②①④③

C.②③④①D.④③②①

答案B

解析使用配方法的步驟應(yīng)按移項(xiàng)、配方、開方、得解的順序進(jìn)行.

3.給出下面一個(gè)算法：

第一步，給出三個(gè)數(shù)x,y,z.

第二步，計(jì)算M=x+y+z.

第三步，計(jì)算N=；M.

第四步，得出每次計(jì)算結(jié)果.

則上述算法是（）

A.求和B.求余數(shù)

C.求平均數(shù)D.先求和再求平均數(shù)

答案D

解析由算法過程知，M為三數(shù)之和，N為這三數(shù)的平均數(shù).

4.已知一個(gè)算法如下：

第一步，令機(jī)=".

第二步，如果8＜相，則根=力.

第三步，如果則m=c.

第四步，輸出〃?.

如果”=3,。=6,c=2,則執(zhí)行這個(gè)算法的結(jié)果是.

答案2

解析這個(gè)算法是求a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，故這個(gè)算法的結(jié)果是2.

5.已知某梯形的底邊長CD=b,高為人寫出一個(gè)求這個(gè)梯形面積

S的算法.

解算法如下：

第一步，輸入梯形的底邊長。和"，以及高瓦

第二步，計(jì)算。十。的值.

第三步，計(jì)算（a+與火"的值.

第四步，計(jì)算S=%過

的值.

第五步，輸出結(jié)果S.

卜課后課時(shí)精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.如下算法：

第一步，輸入x的值.

第二步，若x20,則^=乂

第三步，否則，y=x2.

第四步，輸出y的值.

若輸出的y值為9,則x的值是（

A.3B.-3

C.3或一3D.-3或9

答案D

解析根據(jù)題意可知，此為分段函數(shù)

x,尤20,

L2,x<0的算法,

當(dāng)x20時(shí)，尤=9；

當(dāng)尤V0時(shí)，x2=9,所以x=-3.

綜上所述，x的值是一3或9.

2.下列關(guān)于算法的說法，正確的個(gè)數(shù)有（）

①求解某一類問題的算法是唯一的；②算法必須在有限步驟操作之后停止;

③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊；④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生

確定的結(jié)果.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

解析由于算法具有可終止性、明確性和確定性，因而②③④正確，而解決

某類問題的算法不一定唯一.

3.對于算法：

第一步，輸入不小于2的正整數(shù)〃.

第二步，判斷〃是否等于2,若〃=2,則〃滿足條件；若〃>2,則執(zhí)行第

三步.

第三步，依次從2到(〃一1)檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷?，若不能整除〃，則執(zhí)行第四

步；若能整除〃，則結(jié)束算法.

第四步，輸出〃.

滿足條件的〃是()

A.質(zhì)數(shù)B.奇數(shù)

C.偶數(shù)D.約數(shù)

答案A

解析本題首先要理解質(zhì)數(shù)，只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質(zhì)數(shù).2

是最小的質(zhì)數(shù)，這個(gè)算法通過對2到(〃一1)一一驗(yàn)證，看是否有其他約數(shù)，來判

斷其是否為質(zhì)數(shù).

4.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5min)、刷水壺(2min)、燒水(8min)、

泡面(3min)、吃飯(10min)>聽廣播(8min)幾個(gè)過程.從下列選項(xiàng)中選出最好的

一種算法()

A.第一步，洗臉?biāo)⒀?第二步，刷水壺.第三步，燒水.第四步，泡面.第

五步，吃飯.第六步，聽廣播

B.第一步，刷水壺.第二步，燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?第三步，泡面.第四步，

吃飯.第五步，聽廣播

C.第一步，刷水壺.第二步，燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?第三步，泡面.第四步，

吃飯同時(shí)聽廣播

D.第一步，吃飯同時(shí)聽廣播.第二步，泡面.第三步，燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?第

四步，刷水壺

答案C

解析因?yàn)锳項(xiàng)共用時(shí)間36min,B項(xiàng)共用時(shí)間31min,C項(xiàng)共用時(shí)間23

min,D項(xiàng)的算法步驟不符合常理，故選C.

5.一個(gè)算法步驟如下：

第一步，S取值0,i取值1.

第二步，若iW9,則執(zhí)行第三步；否則，執(zhí)行第六步.

第三步，計(jì)算S+i并將結(jié)果代替S

第四步，用i+2的值代替i.

第五步，轉(zhuǎn)去執(zhí)行第二步.

第六步，輸出5.

運(yùn)行以上算法，則輸出的結(jié)果S等于（）

A.16B.25

C.36D.以上均不對

答案B

解析解本題關(guān)鍵是讀懂算法，本題中的算法功能是求5=1+3+5+7+9

=25.

二、填空題

6.給出下列算法：

第一步，輸入x的值.

第二步，當(dāng)x>4時(shí)，計(jì)算y=x+2；否則y=2.

第三步，輸出y.

當(dāng)輸入x=0時(shí)，輸出y=.

答案2

（2,xW4,

解析此算法的功能是計(jì)算y=<I、彳故輸入x=0時(shí)，輸出值為2.

[x+2,x>4,

7.閱讀下面的三段話，其中是解決問題的算法的是.

①求2X3X6的值，先計(jì)算2義3=6,再計(jì)算6X6=36,最終結(jié)果為36；

②求1+3+5+7+9的值，先計(jì)算1+3=4,再計(jì)算4+5=9,再計(jì)算9+7

=16,再計(jì)算16+9=25,最終結(jié)果為25；

③解一元一次方程余3x-l）=x+l的一般步驟是去分母、去括號、移項(xiàng)、合

并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

答案①②③

解析本題考查算法的概念.①②③都是解決問題的步驟，故①②③中所敘

述的都是算法.

8.一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，該船可容納一個(gè)人和

兩只動物，沒有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃羚羊.該

人將動物轉(zhuǎn)移過河的算法如下.請?jiān)跈M線上填上適當(dāng)?shù)牟襟E：

第一步，人帶兩只狼過河，并自己返回.

第二步，人帶一只狼過河，自己返回.

第三步，.

第四步，人帶一只羚羊過河，