永州市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題含答案

試卷第=page44頁，共=sectionpages55頁試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁永州市2023年高考第三次適應(yīng)性考試試卷數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷共150分，考試時量120分鐘.2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.3.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．設(shè)集合，，則的元素個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知，，則（

）A． B． C．0 D．14．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點P在圓О上運(yùn)動，則的最小值為（

）A．-1 B．-2 C．1 D．25．在二項式的展開式中，把所有的項進(jìn)行排列，有理項都互不相鄰，則不同的排列方案為（

）A．種 B．種 C．種 D．種6．若函數(shù)和在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)的可能取值是（

）A． B． C． D．7．已知正項數(shù)列滿足，，其前200項和為，則（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，對于定義域內(nèi)的任意恒有，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．已知，下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知四面體ABCD的所有棱長均為，M，N分別為棱AD，BC的中點，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動點，點G為線段MN上的動點，則（

）A．線段MN的長度為1 B．周長的最小值為C．的余弦值的取值范圍為 D．直線FG與直線CD互為異面直線11．已知拋物線：的焦點為F，直線與C交于，兩點，其中點A在第一象限，點M是AB的中點，MN垂直準(zhǔn)線于N，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則直線的傾斜角為B．點M到準(zhǔn)線距離為C．若直線經(jīng)過焦點F且，則D．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，則的最小值為12．若，時，函數(shù)（是實常數(shù)）有奇數(shù)個零點，記為，且，則（

）A．的最小正周期是B．的對稱軸方程為C．D．對任意的，使得三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知等比數(shù)列，其前項和為，若，，則________.14．現(xiàn)有四家工廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知它們生產(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別占日產(chǎn)量總和的15%，20%，30%和35%，且產(chǎn)品的不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，現(xiàn)從四家工廠一天生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取一件，則抽到不合格品的概率是________.15．已知雙曲線：，圓：與x軸交于兩點，是圓О與雙曲線在x軸上方的兩個交點，點在y軸的同側(cè)，且交于點C.若，則雙曲線的離心率為_________.16．在棱長為的正方體中，動點在平面上運(yùn)動，且，三棱錐外接球球面上任意一點到點到的距離記為，當(dāng)平面與平面夾角的正切值為時，則的最大值為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．記正項數(shù)列的前項積為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和.18．在中，的對邊分別為且.(1)求C的值；(2)若邊上的點M滿足，，，求的周長.19．已知底面為菱形的平行六面體中，，四邊形為正方形，交于點M.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.20．為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷售新能源汽車，某4S店對近期購車的男性與女性各100位進(jìn)行問卷調(diào)查，并作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下列聯(lián)表：購買新能源汽車（人數(shù)）購買傳統(tǒng)燃油車（人數(shù)）男性女性(1)當(dāng)時，將樣本中購買傳統(tǒng)燃油車的購車者按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查購買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)定義，其中為列聯(lián)表中第i行第j列的實際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第i行與第j列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總頻數(shù)得到的理論頻數(shù).基于小概率值的檢驗規(guī)則：首先提出零假設(shè)（變量X，Y相互獨(dú)立〉，然后計算的值，當(dāng)時，我們推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.根據(jù)的計算公式，求解下面問題：（i）當(dāng)時，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，請分析性別與是否喜愛購買新能源汽車有關(guān)；（ⅱ）當(dāng)時，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，若認(rèn)為性別與是否喜愛購買新能源汽車有關(guān)，則至少有多少名男性喜愛購買新能源汽車?附：0.10.0250.0052.7065.0247.87921．已知橢圓：，其右焦點為，過點的直線與橢圓交于，兩點，與軸交于點，，.(1)求證：為定值.(2)若點不在橢圓的內(nèi)部，點是點關(guān)于原點的對稱點，試求面積的最小值.22．已知函數(shù)，.(1)若是函數(shù)的極小值點，討論在區(qū)間上的零點個數(shù).(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：這個公式被編入計算工具，計算足夠多的項時就可以確保顯示值的精確性.現(xiàn)已知，利用上述知識，試求的值.答案第=page2424頁，共=sectionpages2424頁答案第=page1616頁，共=sectionpages1616頁答案部分1．B設(shè)，則，因為，則，所以，，解得，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2．C由于，為點集，故求的元素個數(shù)即為求的解的個數(shù)，解方程，可得或或，故的元素個數(shù)是3個，故選：C3．B因為，可得，因為，可得，所以.故選：B.4．D如圖以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，由題意知，，，則，，所以，當(dāng)，即時取最小值，故選：D.5．A解：因為二項展開式的通項為，又因為，所以當(dāng)或時，為有理項，所以有理項共有2項，其余5項為無理項，先排5項為無理項，共有種排法，再排2項有理項，共有種排法，所以有理項互不相鄰的排法總數(shù)為：種.故選：A.6．B因為，則，由題意得與在區(qū)間上同增或同減.若兩函數(shù)同增，則在區(qū)間上恒成立，即，所以.若兩函數(shù)同減，則在區(qū)間上恒成立，即，無解，綜上，實數(shù)的取值范圍是，對照選項中的a值，所以只有B選項符合題意.故選：B.7．C令，則可得，故，將兩邊倒數(shù)得，則，由正項數(shù)列，所以，可知為遞減數(shù)列.

所以.可得，所以，所以，所以，根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，綜上，.故選：C8．A不等式可化為，因為，將不等式兩邊同時除以得，令，原不等式等價于：，設(shè)，，對求導(dǎo)可得，則函數(shù)單調(diào)遞減且下凸，要使恒成立，則直線與曲線相切時取最值，如圖，當(dāng)直線與曲線相切時，設(shè)切點為，則，且，整理可得，，解得：，此時，故選：A.9．BD對于A項，，因為，所以，所以，所以，即：，故A項錯誤；對于B項，，因為，所以，，所以，即：，故B項正確；對于C項，，因為，所以，，，所以，即：，故C項錯誤；對于D項，因為，又因為，所以，，所以，即：，故D項正確.故選：BD10．AB因為四面體ABCD的所有棱長均為，所以四面體ABCD為正四面體，將四面體ABCD放置在正方體中，則正方體的棱長為，由，M，N分別為棱AD，BC的中點，得是正方體兩個對面的中心，則，故A正確；對于D，當(dāng)為的中點，為的中點時，設(shè)為的中點，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知三點共線，此時直線與直線交于點，故D錯誤；對于B，將等邊和等邊沿展開成平面圖形，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，此時，所以的最小值為，即周長的最小值為，故B正確；對于C，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，令，則，則，當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，由，得，則，所以，所以，綜上所述，即，故C錯誤.故選：AB.11．ACD對于A選項，因為，所以三點共線，即直線經(jīng)過拋物線焦點.當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，因為，所以，因為點A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直線的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，解得：，A正確；對于B選項，當(dāng)直線不經(jīng)過焦點時，設(shè)，，由三角形三邊關(guān)系可知：，由拋物線定義可知：，即，B不正確；對于C選項，由題意得：，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，則，所以，解得：，C正確；對于D選項，設(shè)，過點作準(zhǔn)線于點，過點作準(zhǔn)線于點P，因為以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點F，所以，則，由拋物線定義可知：，由基本不等式得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即，D正確；故答案選：ACD12．BC由題設(shè)，所以，故，對于選項A，由的最小正周期為，知的最小正周期為，同理的最小正周期為，則的最小正周期為，故A不正確；對于選項B，對于，令，則對稱軸方程為且，故選項B正確；對于選項C，由可轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標(biāo)，而上圖象如下：函數(shù)有奇數(shù)個零點，由圖知：，此時共有9個零點，、、、、、、、、，，，，故選項C正確.對于選項D，對任意有，，且滿足且，而的圖象如下：所以，，即不成立，故選項D錯誤；故選：BC.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．13．4或16設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，由題意可知，，解得：或，所以或故答案為：4或1614．因為生產(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別占日產(chǎn)量總和的15%，20%，30%和35%，且產(chǎn)品的不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率為：.故答案為：.15．##由題意可知，故不妨設(shè)，即為雙曲線的焦點，，因為可得，即，故M點為的中點，根據(jù)雙曲線的對稱性可知N為的中點，又因為，故，同理，即為正三角形，故，由點M在雙曲線左支上，故，則，故答案為：16．設(shè)，連接，，且，在正方體中，，，平面，且平面，所以平面，因為平面，所以，同理，，所以平面，設(shè)正方體的棱長為，則可知為棱長為的正四面體，所以為等邊三角形的中心，由題可得，得，因為，所以，所以，因為，所以，因為平面，即平面，且，又與平面所成角的正弦為，所以與平面所成角為，則，可求得，即在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，由平面，又平面，所以平面平面，且兩個平面的交線為，把兩個平面抽象出來，如圖：作于點，過點作交于點，連接，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，平面，所以，又，與為平面中兩相交直線，故平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，即為角，設(shè)，當(dāng)與點不重合時，在中，可得，若與點重合時，即當(dāng)時，可求得，也符合上式，故，因為，，所以，所以，所以，所以解得，，再取的中點，因為三棱錐外接球即是正方體外接球，則點為外接球球心，連接，在中，，，所以，所以的最大值為.故答案為：17．（1）證明：由題意得，當(dāng)時，可得，可得，因為，所以，即，即，當(dāng)時，可得，所以，解得，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）解：由（1）可得，所以，所以.18．（1）由正弦定理得：,在三角形中,故，即，因為，所以，即，而，，，；（2）因為，，，由余弦定理得則①，又，由于，故，則②，①×7=②即，即，亦即，則或，當(dāng)時，代入①得，，周長；當(dāng)時，代入①得，，周長.19．（1）連接交于點O，連接OM四邊形為菱形，為中點，四邊形為正方形，，，平面，平面

平面（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，過O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，得，，，由（1）知，平面平面，，是等邊三角形點M作MH垂直O(jiān)C于點H，在中，，，可得CM邊上的高為，由等面積法可得OC邊上的高，由勾股定理可得，故，，,,,設(shè)平面的法向量為，則，即，令，，所以平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，直線與平面所成角的余弦值20．（1）當(dāng)m=0時，用分層抽樣的方法抽取購買傳統(tǒng)燃油車的6人中，男性有2人，女性有4人.由題意可知，X的可能取值為1，2，3.X的分布列如下表X123.（2）（i）零假設(shè)為：性別與是否購買新能源汽車獨(dú)立，即性別與是否購買新能源汽車無關(guān)聯(lián).當(dāng)m=0時，，，∴根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與是否購買新能源汽車有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005.（ⅱ）由題意可知，整理得，，所以的最大值為4，又，至少有76名男性購買新能源汽車.21．（1）證明：如圖所示，設(shè)，，，因為橢圓方程：，所以，由，得，，又點在橢圓上，故整理得由，同理可得由于，不重合，即，因此，是方程的兩個根，所以為定值.（2）解：直線的方程為，即，將代入，得，于是，，從而，若點不在橢圓的內(nèi)部，則，即，所以，當(dāng)時，有最小值為，故面積的最小值為.22．（1）由題意得：，因為為函數(shù)的極值點，所以