新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第6章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算課件新人教A版必修第二冊

第六章

平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算必備知識?探新知關鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)目標?定方向1．通過實例分析、掌握平面向量數(shù)乘運算及運算法則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義．2．了解平面向量線性運算的性質及其幾何意義．通過向量數(shù)乘運算知識的形成過程，體會數(shù)學抽象在概念及性質的產生發(fā)展過程中的作用，進一步提升數(shù)學運算素養(yǎng)及數(shù)學抽象素養(yǎng).必備知識?探新知

向量的數(shù)乘運算

知識點

11．向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個_______，這種運算叫做向量的_______，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝________.由(1)知，當λ＝0時，λa＝0，由(1)(2)知，(－1)a＝－a.向量數(shù)乘|λ||a|相同相反2．向量數(shù)乘的運算律設λ，μ為實數(shù)，那么(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝__________.(3)λ(a＋b)＝__________.特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.3．向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．向量線性運算的結果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________________.(λμ)aλa＋μaλa＋λbλμ1a±λμ2b[提醒]

1．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小|λ|倍．2．λ是實數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義．3．注意向量數(shù)乘的特殊情況：(1)若λ＝0，則λa＝0；(2)若a＝0，則λa＝0.練一練：A．2a＋3b B．a－3bC．2a－3b D．2a－2bC2．(多選題)已知實數(shù)m，n和向量a，b，下列說法中正確的是(

)A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，則a＝bD．若ma＝na(a≠0)，則m＝n[解析]

易知A和B正確；當m＝0時，ma＝mb＝0，但a與b不一定相等，故C不正確；由ma＝na，得(m－n)a＝0，因為a≠0，所以m＝n，故D正確．ABD向量共線定理

知識點

2向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使____________.注：向量共線定理可以劃分為兩個定理：①判定定理：如果b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.②性質定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.b＝λa[拓展]

關于共線向量定理的說明：(1)定理中，向量a為非零向量，即定理不包含0與0共線的情況．(2)條件a≠0是必須的．否則當a＝0，b≠0時，雖然b與a共線，但不存在實數(shù)λ，使得b＝λa；當a＝0，b＝0時，λ可以是任意實數(shù)．(3)要證明向量a，b共線，只需證明存在實數(shù)λ，使得b＝λa即可．(4)若b＝λa(λ∈R)，則a與b共線．練一練：若向量e1，e2不共線，則下列各組中，向量a，b共線的有_________.

(填序號)①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.①②③[解析]

①中，a＝－b，所以a，b共線；②中，b＝－2a，所以a，b共線；③中，a＝4b，所以a，b共線；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共線．關鍵能力?攻重難題|型|探|究題型一向量的數(shù)乘運算典例1[歸納提升]

實數(shù)λ與非零向量a相乘，若λ>0，則λa與a同向；若λ<0，則λa與a反向，且|λa|＝|λ||a|.

(多選題)已知a，b為兩個非零向量，下列說法中正確的是(

)A．2a與a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍C．－2a與2a是一對相反向量D．a－b與－(b－a)是一對相反向量對點練習?ABC題型二向量的線性運算

計算：(1)2×(－3a)；(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，求x.[解析]

(1)原式＝[2×(－3)]a＝－6a.(2)原式＝－10a＋4b.(3)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.典例2[歸納提升]

(1)類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)剡\用運算律，簡化運算．(2)已知向量x，y滿足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則x＝__________，y＝__________.(用a，b表示)對點練習?3a＋2b4a＋3b題型三共線向量定理及其應用

設兩個非零向量a與b不共線，(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b與a＋kb共線．典例3(2)由兩向量共線，列出關于a、b的等式，再由a與b不共線知，若λa＝μb，則λ＝μ＝0.(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.[歸納提升]

1．證明或判斷三點共線的方法2．利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值．(1)若A，B，C三點共線，求k的值；(2)若A，B，D三點共線，求k的值．對點練習?拓|展|應|用用已知向量表示相關向量典例4[歸納提升]

解決此類問題的思路一般是將所表示向量置于某一個三角形內，用減法法則表示，然后逐步用已知向量代換表示．D對點練習?課堂檢測?固雙基1．若3x－2(x－a)＝0，則向量x等于(

)A．2a B．－2aC．25a D．－25a[解析]

3x－2x＋2a＝0，x＝－2a.B2．下列結論正確的是(

)A．若向量b與a共線，則存在唯一的實數(shù)λ使b＝λaB．若b＝λa，則a與b共線C．若λa＝0，則a＝0D．|λa|＝