寧夏銀川市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理科）模擬試題（含解析）

寧夏銀川市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理科）模擬試題一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若是異面直線，且平面，那么與平面的位置關(guān)系是（

）A． B．與相交C． D．以上三種情況都有可能3．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．4．過(guò)直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程是A．B．C．D．5．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)為，且，，則使得取最小值時(shí)的為．A．1 B．6 C．7 D．6或77．四棱錐的底面為正方形，底面，，，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．8．設(shè)圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為圓周上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．9．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為,則的方程式為A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．二?填空題：本題共4小題，共20分，把答案填在題中的橫線上13．已知，則的值為．14．已知向量，，則在方向上的投影為．15．雙曲線的一條漸近線與直線平行，則它的離心率為．16．某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案為：第棵樹(shù)種植在點(diǎn)處，其中，，當(dāng)時(shí)，表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如，．按此方案第棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算過(guò)程.17．如圖，在平面四邊形，已知，.（1）若平分，且，求的長(zhǎng)；（2）若，求的長(zhǎng).18．在等差數(shù)列{an}中，，其前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求an與bn；（Ⅱ）求的取值范圍．19．已知，，．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．20．如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且橢圓上存在一點(diǎn)，滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓的半徑的最大值.22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）證明：且1．D【分析】化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集的定義直接計(jì)算作答.【詳解】解不等式得：，則，由得，于是得，所以.故選：D2．D【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系可判斷結(jié)果.【詳解】在長(zhǎng)方體中，平面視為平面，直線為直線a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，如圖，顯然有平面，當(dāng)直線b為直線時(shí)，直線是異面直線，此時(shí)；因，平面，平面，則，當(dāng)直線b為直線時(shí)，直線是異面直線，此時(shí)；當(dāng)直線b為直線時(shí)，直線是異面直線，此時(shí)與相交，所以直線b與平面可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi).故選：D.3．D根據(jù)全稱命題的否定形式，直接求解.【詳解】全稱命題“”的否定形式需要改量詞，以及結(jié)論否定，即否定是.故選：D4．A兩直線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)垂直關(guān)系求得斜率，可寫出直線點(diǎn)斜式方程，整理可得結(jié)果.【詳解】由得兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)為：又所求直線與垂直

直線斜率為：所求直線為：，即：本題正確選項(xiàng)：本題考查直線方程的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)垂直關(guān)系求得斜率，同時(shí)聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo).5．B【分析】在長(zhǎng)方體中，連接，可得,得即為異面直線與所成的角，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，可得,所以異面直線與所成的角，即為直線與直線所成的角，即為異面直線與所成的角，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，故選B.本題主要考查了空間中異面直線所成角的求解，其中根據(jù)異面直線所成角的定義，得到為異面直線與所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【詳解】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，又，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以數(shù)列的前六項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第七項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，所以使得取最小值時(shí)的為，故選B．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).7．B【分析】根據(jù)題意可知，該四棱錐的外接球即為其所在長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)公式即可求得.【詳解】根據(jù)題意，為方便說(shuō)明，在長(zhǎng)方體中找出該四棱錐如圖所示：由圖可知在長(zhǎng)方體中的四棱錐完全滿足題意，故該四棱錐的外接球即是長(zhǎng)方體的外接球，故外接球半徑，故該球的表面積為.故選：B.本題考查四棱錐外接球的問(wèn)題，關(guān)鍵的步驟是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)方體的外接球.8．D由垂直平分線的性質(zhì)可知，從而得到，可知軌跡滿足橢圓定義，可得，進(jìn)而求得，從而得到所求軌跡方程.【詳解】為垂直平分線上的一點(diǎn)

點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓

，

的軌跡方程為故選：本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)垂直平分線的性質(zhì)得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足橢圓定義.9．A【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式得到還是的定義域，再求出導(dǎo)函數(shù)，從而根據(jù)條件得到關(guān)于的不等式組，進(jìn)而求解即可．【詳解】由，則函數(shù)的定義域是，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，得，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．10．B【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)三條公切線，推出兩個(gè)圓外切，求出，利用基本不等式求解.【詳解】根據(jù)題意可得，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為和，圓心為和，半徑分別為2，1，若兩圓恰有三條公切線，則等價(jià)為兩圓外切，則滿足圓心距，即則，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即，取等號(hào).故選：B11．B【詳解】∵kAB==1,∴直線AB的方程為y=x-3.由于雙曲線的焦點(diǎn)為F(3,0),∴c=3,c2=9.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),則-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴雙曲線E的方程為-=1.故選B.12．C【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x1?x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）?（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，則不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化為：k恒成立，求出的最大值，可得k的范圍，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的最小值．【詳解】函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

當(dāng)方程f（x）＝m有四個(gè)不等實(shí)根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）時(shí)，|lnx1|＝|lnx2|，即x1?x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）?（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，則k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故實(shí)數(shù)k的最小值為2，故選C．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．13．【詳解】，故答案為14．.【分析】根據(jù)向量的投影計(jì)算公式，代值即可求得結(jié)果.【詳解】在方向上的投影為.故答案為.本題考查向量投影的計(jì)算公式，屬基礎(chǔ)題.15．.【分析】由直線平行則斜率相等，求得之間的等量關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】因?yàn)闈u近線與直線平行，故可得，根據(jù)雙曲線離心率的計(jì)算公式可得：.故答案為.本題考查雙曲線離心率的求解，屬基礎(chǔ)題.16．.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合累加法，求得與，再代值計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，，，，故可得解得，當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，.故第棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為.故答案為.本題考查數(shù)列新定義問(wèn)題，涉及累加法求通項(xiàng)公式，屬中檔題.17．（1）（2）【分析】（1）由平分，得出，進(jìn)而得出，再由余弦定理，即可得出的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角恒等變換的公式，求得，再由正弦定理得出的長(zhǎng).【詳解】（1）若平分，則由余弦定理得解得或（舍）（2）又在中，由正弦定理可得即本題主要考查了正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）利用等差數(shù)列的求和公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示已知條件，然后解方程可求等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的公差，即可求解；（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法求和，即可得到結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）設(shè)的公差為，∵，∴，解得或(舍)，.故．（Ⅱ）∴∴∵,∴，∴，即.本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中常考知識(shí)點(diǎn)，難度不大；常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.19．（1）最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）最大值為3，最小值為0．【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用整體的思想.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及的范圍求出的范圍，從而計(jì)算出函數(shù)的最值.【詳解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；由可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為故得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為0．20．（1）證明見(jiàn)詳解；（2）.【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過(guò)證明//，進(jìn)而證明線面平行；（2）取中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，如下圖所示：在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，且，又為的中點(diǎn)，，，且，，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面，即證.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，平面，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，則，令．則，同理得平面的一個(gè)法向量為，則，故平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.21．（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理和橢圓的定義即可求出a，再根據(jù)b2＝a2﹣c2＝3，可得橢圓的方程;（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的半徑為R，表示出△F1AB的周長(zhǎng)與面積，設(shè)直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示三角形面積，令t，利用函數(shù)的單調(diào)性求解面積的最大值，然后求解△F1AB內(nèi)切圓半徑的最大值為．【詳解】（1）設(shè)，則內(nèi)，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，解得故，得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，設(shè)得內(nèi)切圓半徑為的周長(zhǎng)為所以根據(jù)題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為由得由韋達(dá)定理得令，則令，則時(shí)，單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí).故當(dāng)直線的方程為時(shí)，內(nèi)圓半徑的最大值為.本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．22．（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求函數(shù)定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)