福建省龍巖市漳平第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

福建省龍巖市漳平第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量滿足，．O為坐標原點，．曲線，區(qū)域．若是兩段分離的曲線，則（）A． B． C． D．2．設(shè)，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿足”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件3．在邊長為的正方形內(nèi)有一個半徑為1的圓，向正方形中隨機扔一粒豆子（忽略大小，視為質(zhì)點），若它落在該圓內(nèi)的概率為，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（）A． B． C． D．4．已知變量與正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A． B．C． D．5．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A．，則B．，則C．，則D．，則6．在中，角所對的邊分別為,若的面積，則()A． B． C． D．7．方程的解集是（）A． B．C． D．8．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.若，則的形狀是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定9．在四邊形中，，且·＝0，則四邊形是（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形10．若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A．0 B．2 C． D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm，則這個圓心角所夾的扇形的面積是______．12．已知實數(shù)滿足約束條件，若目標函數(shù)僅在點處取得最小值，則的取值范圍是__________.13．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為______．14．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則的最小值為______．15．等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則______.16．求374與238的最大公約數(shù)結(jié)果用5進制表示為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖是某神奇“黃金數(shù)學(xué)草”的生長圖．第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，……，依次生長，直到永遠．（1）求第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；（2）求第13階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；18．已知數(shù)列滿足：.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求；（2）記，求數(shù)列的前項和.19．已知關(guān)于，的方程：表示圓.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）若，過點作的切線，求切線方程.20．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項的和.21．等差數(shù)列的前項和為，求數(shù)列前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由圓的定義及平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算可得：點P在以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運動且點P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運動，由圖可得解．【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，由，則，即點P在以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運動，又，則點P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運動，由圖可知：當C∩Ω是兩段分離的曲線時，r的取值范圍為：3<r<5，故選：A．【題目點撥】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，利用數(shù)形結(jié)合思想，將向量問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題.2、A【解題分析】

“數(shù)列為等比數(shù)列”，則，數(shù)列滿足．反之不能推出，可以舉出反例．【題目詳解】解：“數(shù)列為等比數(shù)列”，則，數(shù)列滿足．充分性成立；反之不能推出，例如，數(shù)列滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立；故“數(shù)列為等比數(shù)列”是“數(shù)列滿足”的充分非必要條件故選：．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的定義、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、A【解題分析】

通過幾何概型可得答案.【題目詳解】由幾何概型可知，則.【題目點撥】本題主要考查幾何概型的相關(guān)計算，難度中等.4、A【解題分析】試題分析：因為與正相關(guān)，排除選項C、D，又因為線性回歸方程恒過樣本點的中心，故排除選項B；故選A．考點：線性回歸直線.5、D【解題分析】

根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系的相關(guān)定理依次判斷各個選項即可.【題目詳解】兩平行平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系為：平行或異面，可知錯誤；且，此時或，可知錯誤；，，，此時或，可知錯誤；兩平行線中一條垂直于一個平面，則另一條必垂直于該平面，正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查學(xué)生對于定理的掌握程度，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

利用面積公式及可求，再利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求，最后利用余弦定理可求的值.【題目詳解】因為，故，所以，因為，故，又，由余弦定理可得，故.故選B.【題目點撥】三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個量（除三個角外），可以求得其余的四個量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.7、C【解題分析】

把方程化為，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.【題目詳解】由題意，方程，可化為，解得，即方程的解集為.故答案為：C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟記正切函數(shù)的性質(zhì)，準確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

由正弦定理可推得，再由余弦定理計算最大邊的余弦值即可判斷三角形形狀．【題目詳解】因為，所以，設(shè)，，，則角為的最大角，由余弦定理可得，即，故是鈍角三角形.【題目點撥】本題考查用正弦定理和余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

由可得四邊形為平行四邊形，由·＝0得四邊形的對角線垂直，故可得四邊形為菱形．【題目詳解】∵，∴與平行且相等，∴四邊形為平行四邊形．又，∴，即平行四邊形的對角線互相垂直，∴平行四邊形為菱形．故選A．【題目點撥】本題考查向量相等和向量數(shù)量積的的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解有關(guān)的概念，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

采用參變分離法對不等式變形，然后求解變形后的函數(shù)的值域，根據(jù)參數(shù)與新函數(shù)的關(guān)系求解參數(shù)最值.【題目詳解】因為不等式對一切恒成立，所以對一切，，即恒成立．令．易知在內(nèi)為增函數(shù)．所以當時，，所以的最大值是．故選C．【題目點撥】常見的求解參數(shù)范圍的方法：（1）分類討論法（從臨界值、特殊值出發(fā)）；（2）參變分離法（考慮新函數(shù)與參數(shù)的關(guān)系）.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先求出扇形的半徑，再求這個圓心角所夾的扇形的面積.【題目詳解】設(shè)扇形的半徑為R,由題得.所以扇形的面積為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查扇形的半徑和面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12、【解題分析】

利用數(shù)形結(jié)合，討論的范圍，比較斜率大小，可得結(jié)果.【題目詳解】如圖，當時，，則在點處取最小值，符合當時，令，要在點處取最小值，則當時，要在點處取最小值，則綜上所述：故答案為：【題目點撥】本題考查目標函數(shù)中含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，難點在于尋找斜率之間的關(guān)系，屬中檔題.13、5【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，然后代入復(fù)數(shù)模的公式，即可求得答案．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為．故答案為5【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運算，以及復(fù)數(shù)模的計算，其中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，和復(fù)數(shù)模的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

用基本量法求出數(shù)列的通項公式，由通項公式可得取最小值時的值，從而得的最小值．【題目詳解】設(shè)數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值為．故答案為：．．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前項和的最值．首項為負且遞增的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最小，首項為正且遞減的等差數(shù)列，滿足的最大的使得最大，當然也可把表示為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識求得最值．15、【解題分析】

取，代入計算得到答案.【題目詳解】，當時故答案為【題目點撥】本題考查了前項和和通項的關(guān)系，取是解題的關(guān)鍵.16、【解題分析】

根據(jù)最大公約數(shù)的公式可求得兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再由除取余法即可將進制進行轉(zhuǎn)換.【題目詳解】374與238的最大公約數(shù)求法如下：，，，，所以兩個數(shù)的最大公約數(shù)為34.由除取余法可得：所以將34化為5進制后為，故答案為：.【題目點撥】本題考查了最大公約數(shù)的求法，除取余法進行進制轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)示意圖，計算出第階段、第階段生長的高度，即可求解出第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度；（2）考慮第偶數(shù)階段、第奇數(shù)階段“黃金數(shù)學(xué)草”高度的生長量之間的關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列求和完成第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度的計算.【題目詳解】（1）因為第一階段：，所以第階段生長：，第階段的生長：，所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：；（2）設(shè)第個階段生長的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，則第個階段生長的“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為，所以，所以數(shù)列按奇偶性分別成公比為等比數(shù)列，所以.所以第階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列以及等比數(shù)列的前項和的實際應(yīng)用，難度較難.處理數(shù)列的實際背景問題，第一步要能從實際背景中分離出數(shù)列的模型，然后根據(jù)給定的條件處理對應(yīng)的數(shù)列計算問題，這對分析問題的能力要求很高.18、（1）證明見解析，；（2）．【解題分析】

（1）由等差數(shù)列的定義證明，利用等差數(shù)列通項公式可求得；（2）用裂項相消法求數(shù)列的和．【題目詳解】（1）證明：∵，∴，即，∴是等差數(shù)列，公差為，，∴，∴；（2）由（1），所以．【題目點撥】本題考查用定義證明等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的通項公式，考查用裂項相消法求數(shù)列的前項和．掌握等差數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．數(shù)列求和時除掌握等比數(shù)列的求和公式外還要掌握數(shù)列的幾種求和方法：裂項相消法，錯位相減法，分組（并項）求和法，倒序相加法等等．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件,可得關(guān)于的不等式,即可求得的取值范圍.（Ⅱ）將代入,可得圓的方程,化為標準方程.討論斜率是否存在兩種情況.當斜率不存在時,可直接求得直線方程;當斜率存在時,由點斜式設(shè)出直線方程,結(jié)合點到直線的距離即可求得斜率,即可得直線方程.【題目詳解】（Ⅰ）若方程表示圓則解得故實數(shù)的取值范圍為（Ⅱ）若,圓：①當過點的直線斜率不存在時,直線方程為圓心到直線的距離等于半徑,此時直線與相切②當過點的直線斜率存在時,不妨設(shè)斜率為則切線方程為,即由圓心到直線的距離等于半徑可知,解得,即切線方程為綜上所述,切線方程為或【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,圓的一般方程與標準方程的關(guān)系和轉(zhuǎn)化,屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的公差，進一步求出數(shù)列的通項公式．（2）利用（1）的通項公式，進