山東師范大學附中2024屆數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題含解析

山東師范大學附中2024屆數(shù)學高一下期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如果且，那么的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．2．對數(shù)列,“對于任意成立”是“其前n項和數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件3．已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則的方程為（）A． B．C． D．4．若，且，則的值為A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖像左移個單位，則所得到的圖象的解析式為A． B．C． D．6．三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，D是邊BC的中點，則＝A． B． C． D．8．以下給出了4個命題：（1）兩個長度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起點必相同；（3）若，且，則；（4）若向量的模小于的模，則．其中正確命題的個數(shù)共有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個9．已知、是平面上兩個不共線的向量，則下列關(guān)系式：①；②；③；④.正確的個數(shù)是()A．4 B．3 C．2 D．110．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標系中，點到直線的距離為______.12．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，則的前9項和_______.13．在中，角所對的邊分別為，，則____14．已知圓錐的高為，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是，則該圓臺的高為_______.15．數(shù)列的前項和為，已知，且對任意正整數(shù)，都有，若恒成立，則實數(shù)的最小值為________.16．已知二面角為60°，動點P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．數(shù)列中，，（為常數(shù)，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求證：①；②；（3）比較++…+與的大小，并加以證明.18．某校全體教師年齡的頻率分布表如表1所示，其中男教師年齡的頻率分布直方圖如圖2所示.已知該校年齡在歲以下的教師中，男女教師的人數(shù)相等.表1：(1)求圖2中的值；(2)若按性別分層抽樣，隨機抽取16人參加技能比賽活動，求男女教師抽取的人數(shù)；(3)若從年齡在的教師中隨機抽取2人，參加重陽節(jié)活動，求至少有1名女教師的概率.19．在一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出了它們的工資標準：A公司允諾第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資增加基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時錄取，試問：（1）若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作年，則他在第年的月工資收入分別是多少?（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（不計其它因素），該人應該選擇哪家公司，為什么?（3）在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元（精確到1元），并說明理由.20．為了了解居民的用電情況,某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量(單位:),并將樣本數(shù)據(jù)分組為,,,,,,,其頻率分布直方圖如圖所示.(1)若樣本中月均用電量在的居民有戶,求樣本容量;(2)求月均用電量的中位數(shù);(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機抽樣法抽取戶居民,則月均用電量在的居民應抽取多少戶?21．如圖在四棱錐中，底面是矩形，點、分別是棱和的中點.（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，證明平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

取，故選B.2、A【解題分析】

根據(jù)遞增數(shù)列的性質(zhì)和充分必要條件判斷即可【題目詳解】對于任意成立可以推出其前n項和數(shù)列為遞增數(shù)列，但反過來不成立如當時其，此時為遞增數(shù)列但所以“對于任意成立”是“其前n項和數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分非必要條件故選：A【題目點撥】要說明一個命題不成立，只需舉出一個反例即可.3、D【解題分析】

設(shè)直線的方程為，代入點（1,0）的坐標即得解.【題目詳解】設(shè)直線的方程為，由題得.所以直線的方程為.故選D【題目點撥】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

利用誘導公式求得sinα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【題目詳解】解：，且，，則，故選A．【題目點撥】本題主要考查利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式進行化簡三角函數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

由三角函數(shù)的圖象變換，將函數(shù)的圖像左移個單位，得到，即可得到函數(shù)的解析式.【題目詳解】由題意，將函數(shù)的圖像左移個單位，可得的圖象，所以得到的函數(shù)的解析式為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，其中熟記三角函數(shù)的圖象變換的規(guī)則是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

過的中心M作直線,則上任意點到的距離相等，過線段中點作平面，則面上的點到的距離相等，平面與的交點即為球心O，半徑，故選D.考點：求解三棱錐外接球問題.點評：此題的關(guān)鍵是找到球心的位置（球心到4個頂點距離相等）.7、C【解題分析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質(zhì)求解即可.詳解：因為是的中點，所以，所以，故選C.點睛：本題主要考查共線向量的性質(zhì)，平面向量的減法法則，屬于簡單題.8、D【解題分析】

利用向量的概念性質(zhì)和向量的數(shù)量積對每一個命題逐一分析判斷得解.【題目詳解】（1）兩個長度相等的向量不一定相等，因為它們可能方向不同，所以該命題是錯誤的；（2）相等的向量起點不一定相同，只要它們方向相同長度相等就是相等向量，所以該命題是錯誤的；（3）若，且，則是錯誤的，舉一個反例，如，不一定相等，所以該命題是錯誤的；（4）若向量的模小于的模，則，是錯誤的，因為向量不能比較大小，因為向量既有大小又有方向，故該命題不正確．故選：D【題目點撥】本題主要考查向量的概念和數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9、C【解題分析】

根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)對選項進行逐一判斷，即可得到答案．【題目詳解】①.，滿足交換律，正確.②.,滿足分配律，正確.③.,所以不正確.④.,

，可正可負可為0，所以④不正確.故選：C【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，屬于中檔題10、D【解題分析】

分離常數(shù)法化簡f（x），根據(jù)新定義即可求得函數(shù)y＝[f（x）]的值域．【題目詳解】，又>0，∴，∴∴當x∈（1，1）時，y＝[f（x）]＝1；當x∈[1，）時，y＝[f（x）]＝1．∴函數(shù)y＝[f（x）]的值域是{1，1}．故選D．【題目點撥】本題考查了新定義的理解和應用，考查了分離常數(shù)法求一次分式函數(shù)的值域，是中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】

利用點到直線的距離公式即可得到答案?！绢}目詳解】由點到直線的距離公式可知點到直線的距離故答案為2【題目點撥】本題主要考查點到直線的距離，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。12、117【解題分析】

由成等比數(shù)列求出公差，由前項公式求和．【題目詳解】設(shè)數(shù)列是公差為，則，由成等比數(shù)列得，解得，∴．故答案為：117.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是求出數(shù)列的公差．13、【解題分析】

利用正弦定理將邊角關(guān)系式中的邊都化成角，再結(jié)合兩角和差公式進行整理，從而得到.【題目詳解】由正弦定理可得：即：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查李用正弦定理進行邊角關(guān)系式的化簡問題，屬于常規(guī)題.14、【解題分析】設(shè)該圓臺的高為，由題意，得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐體積是，則，解得，即該圓臺的高為3.點睛：本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征；在處理圓錐的結(jié)構(gòu)特征時可記住常見結(jié)論，如本題中用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面的面積之比是兩個圓錐高的比值的平方，所得兩個圓錐的體積之比是兩個圓錐高的比值的立方．15、【解題分析】令，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，實數(shù)的最小值為，故答案為.16、【解題分析】

如圖

分別作于A,于C,于B,于D,

連CQ,BD則,,

又

當且僅當,即點A與點P重合時取最小值.

故答案選C.【題目點撥】三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)①見證明；②見證明；(3)++…+，證明見解析【解題分析】

（1）將代入，結(jié)合可求出的值；（2）可知，，即可證明結(jié)論；（3）由題意可得，從而可得到，求和可得，然后作差，通過討論可比較二者大小.【題目詳解】（1）由題意：，.而，得，即，解得或，因為，所以滿足題意.（2）因為，所以.則.，因為，，所以，所以.（3）由，可得，從而，所以.因為，所以，所以.，，，,當n=1時，,故；當n=2時，，；當n≥3時，，則，.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的求和，考查了不等式的證明，考查了學生的邏輯推理能力與計算能力，屬于難題.18、（1）；（2）見解析；（3）【解題分析】

由男教師年齡的頻率分布直方圖總面積為1求得答案；由男教師年齡在的頻率可計算出男教師人數(shù)，從而女教師人數(shù)也可求得，于是通過分層抽樣的比例關(guān)系即可得到答案;年齡在的教師中，男教師為(人)，則女教師為1人,從而可計算出基本事件的概率.【題目詳解】(1)由男教師年齡的頻率分布直方圖得解得(2)該校年齡在歲以下的男女教師人數(shù)相等，且共14人，年齡在歲以下的男教師共7人由(1)知，男教師年齡在的頻率為男教師共有(人)，女教師共有(人)按性別分層抽樣，隨機抽取16人參加技能比賽活動，則男教師抽取的人數(shù)為(人)，女教師抽取的人數(shù)為人(3)年齡在的教師中，男教師為(人)，則女教師為1人從年齡在的教師中隨機抽取2人，共有10種可能情形其中至少有1名女教師的有4種情形故所求概率為【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖，分層抽樣，古典概率的計算，意在考查學生的計算能力和分析能力，難度不大.19、（1）在A公司第年收入為；在B公司連續(xù)工作年收入為；（2）應選擇A公司，理由見詳解；（3）827；理由見詳解.【解題分析】

（1）先分別記該人在A公司第年收入為，在B公司連續(xù)工作年收入為，根據(jù)題中條件，即可直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，分別計算前的和，即可得出結(jié)果；（3）先令，將原問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）記該人在A公司第年收入為，在B公司連續(xù)工作年收入為，由題意可得：，，，；（2）由（1），當時，該人在A公司工資收入的總量為：（元）；該人在B公司工資收入的總量為：（元）顯然A公司工資總量高，所以應選擇A公司；（3）令，則原問題即等價于求的最大值；當時，，若，則，即，解得；又，所以，因此，當時，；當時，.所以是數(shù)列的最大項，（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多元.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的應用，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于常考題型.20、(1)200(2)224(3)4戶【解題分析】

(1)因為,所以月均用電量在的頻率為,即可求得答案;(2)因為,設(shè)中位數(shù)為,,即可求得答案;(3)月均用電量為,,,的頻率分別為,即可求得答案.【題目詳解】(1),得.月均用電量在的頻率為.設(shè)樣本容量為N,則,.(2),月均用電量的中位數(shù)在內(nèi).設(shè)中位數(shù)為,,解得,即中位數(shù)為.(3)月均用電量為,,,的頻率分別為應從月均用電量在的用戶中抽取(戶)【題目點撥】本題考查了用樣本估計總體的相關(guān)計算,解題關(guān)鍵是掌握分層抽樣的計算方法和樣本容量,中位數(shù)定義,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)見證明