2022北京東城區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京東城高一（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的．13分）已知全集U=，23，，A=，，則)A．，B．，C．，D．，4323分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知sin=?,cos=，那么角的終邊與單位圓坐標(biāo)為()553443B．(?,)553443A．(,?)C．(?,)D．(,?)55555533分）已知實(shí)數(shù)x，yx+y22=2，那么的最大值為(C．1)1412A．B．1D2()x?x43分）函數(shù)f(x)=2的圖象大致為()x,x0A．C．B．D．53分）設(shè)cos28=a，則cos62=(A．?aB．a(chǎn)63分）函數(shù)f(x)=?lnx的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()C．1?a2D．?1?aD．21)xA．B．2)C．(2,3)1?73分）設(shè)a=log34，b=3，clog3?，則(=1)3A．a(chǎn)bcB．bca+y=0”的(C．cabD．cba83分）“=0”是“x22)A．充分不必要條件C．充分必要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件93分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Ax+A0，0)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，列表如下：x+022x124124y20200則f(x)的解析式為()A．f(x)=2sin(x?)B．f(x)=2sin(3x+D．f(x)=2sin(3x?)1212C．f(x)=sin(2x?))124103分）已知函數(shù)f(x)=ln(ax?b)的定義域是+)，那么函數(shù)g(x)=(ax+b)(x?在區(qū)間(上()A．有最小值無最大值B．有最大值無最小值C．既有最小值也有最大值D．沒有最小值也沒有最大值二、填空題共5小題，每小題3分，共15分．3分）函數(shù)y=sin2x的最小值為．123分）已知冪函數(shù)f(x)x(是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)=(2,，那么f(?2)=．133分）已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f+2a)f（2a的取值范圍為．1x+,0x2143分）已知函數(shù)f(x)=，且關(guān)于x的方程f(x)=t有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍xlog2x,x為．153分）設(shè)函數(shù)f(x)=logax|a，則f(x)是f(xf(x)T（填奇函數(shù)”或偶函數(shù)”)；對(duì)于一定的正數(shù)T，定義1f(x)=，則當(dāng)T=時(shí)，函數(shù)fT(x)的值域?yàn)椋甌?f(xf(x)a三、解答題共6小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．168分）已知集合A={x|x，集合B={x|m?1，m}．（Ⅰ）當(dāng)m=4時(shí)，求A；（ⅡA時(shí)，求m的取值范圍．17分）已知函數(shù)f(x)=x2+ax+4(aR)．（Ⅰ）若f（）=0，求不等式f(x)的解集；（Ⅱf（1）2，求f(x)在區(qū)間[2，2]上的最大值和最小值，并分別寫出取得最大值和最小值時(shí)的值；=?x（Ⅲ）若對(duì)任意x+)，不等式f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18分）已知函數(shù)f(x)=2sin(x+?)的最小正周期為，再?gòu)南铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作22為已知條件：條件①：f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱；3條件②：f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．（Ⅰ）請(qǐng)寫出你選擇的條件，并求f(x)的解析式；（Ⅱ）在（）的條件下，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．219分）已知函數(shù)f(x)=．x+12（Ⅰ）判斷f(x)在區(qū)間[0，+)上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明；（Ⅱg(x)=f(x)?k(k為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)x，x，且xx，當(dāng)x?3時(shí)，求k的取值范圍．12121208分）人口問題是世界普遍關(guān)注的問題，通過對(duì)若干個(gè)大城市的統(tǒng)計(jì)分析，針對(duì)人口密度分布進(jìn)行模擬研究，發(fā)現(xiàn)人口密度與到城市中心的距離之間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)關(guān)系．指數(shù)模型dxd0e?bx=是經(jīng)典的城市人口密度空間分布的模型之一，該模型的計(jì)算是基于圈層距離法獲取距城市中心距離和人口密度數(shù)據(jù)的，具體而言就是以某市中心位置為圓心，以不同的距離為半徑劃分圈層，測(cè)量和分析不同圈層中的人口狀況．其中x是圈層序號(hào)，將圈層序號(hào)是x的區(qū)域稱為“x環(huán)”(x=1時(shí)，1環(huán)表示距離城市中心0~3公里的圈層；x=2時(shí)，2環(huán)表示距離城市中心3~6公里的圈d0是城市中心的人口密度（單位：萬人/x環(huán)的人口密度（單位：萬人/平方公b為常數(shù)；e=2.71828．下表為某市2006年和年人口分布的相關(guān)數(shù)據(jù)：年份d0b200620162.22.30.130.10（Ⅰ）求該市2006年2環(huán)處的人口密度（參考數(shù)據(jù)：e?0.260.772（Ⅱ2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的，求該環(huán)是這個(gè)城市的多少環(huán)．3（參考數(shù)據(jù)：ln20.7，ln3219分）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y)；②對(duì)任意x[0，，f(x)0．（Ⅰ）求f(0)；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；（Ⅲf（1）=0，直接寫出f(x)參考答案一、選擇題共小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1【解答】解：全集U=，2，，，A=，，A=，，U故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2435【解答】解：在直角坐標(biāo)系xOy中，已知sin=?,cos=，534那么角的終邊與單位圓故選：A．坐標(biāo)為(，?)．55【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．3【解答】解：因?yàn)閤則2=x+y2+y2=2，22，當(dāng)且僅當(dāng)|x|y|時(shí)取等號(hào)，即||，故最大值為1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4x0時(shí)，f(x)的值域；以及x時(shí)，f(x)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化趨勢(shì)，運(yùn)用排除法可得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x，f(x)的值域?yàn)?0,+)，排除選項(xiàng)C；1當(dāng)x時(shí)，f(x)=()x?1遞減，排除選項(xiàng)D；2當(dāng)x時(shí)，f(x)，且x→，f(x)→，排除選項(xiàng)A．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5【解答】解：因?yàn)閏os28=a，則cos62=?)=sin28=1?故選：C．228=1?a．2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16f(x)=?lnx在(0,+)為減函數(shù)，結(jié)合f（1）0，f（2）0，可得答案．x1【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+)，而y=在(0,+)為減函數(shù)，y=lnx在(0,+)為增函數(shù)，x1f(x)=?lnx在(0,+)為減函數(shù)，x1又f=1f(2)=?ln2=lne?ln40，2所以由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間2)有零點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．71和0求解即可．【解答】解：a=43=1，331?30，0b1，c=log3?1=?1，cba，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．8=0x=0或y=0，x+y=0x=y=0，以此可解決此題．22【解答】解：x=0或y=0，x2+y2=0x=y=0，“=0”是“x故選：B．2+y2=0”的必要不充分條件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分、必要條件的判定，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9的值，由最大值、最小值可確定A的值，再代入點(diǎn)(，2)，進(jìn)行運(yùn)算，即可得4解．【解答】解：由表知，最小正周期T=?=，43所以==3，T最大值為，最小值為1，所以?A=2，所以f(x)=2sin(3x+)，將點(diǎn)(，2)代入得，2=2sin(3+)，所以=2k?，kZ，444因?yàn)閨，所以=?，4所以f(x)=2sin(3x?)．4故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)解析式的求法，理解函數(shù)yAsin(x=+)中每個(gè)參數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10ax?b0的解集為+)，即可得到a0且a?b=0，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算g(x)在區(qū)間(上的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最值．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(ax?b)的定義域是+)，即不等式ax?b0的解集為+)，所以a0且a?b=0，即a=b0，所以g(x)=(+b)(x?=a(x?x+，函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為x=0，在(0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(0)=?a，沒有最大值，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．二、填空題共5小題，每小題3分，共15分．【解答】解：y=sin2x故答案為：1．，當(dāng)2x=2k?，kZ時(shí)，即x=k?，kZ時(shí)取等號(hào)．24【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f(x)x，=冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(2,，4=2a，解得a=2，f(2)=(2)=4．2故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，熟練掌握冪函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13【解答】解：函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f+2a)f（23+2a2，1解得a?，21故答案為：(?,?)．2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14【解答】解：作出y=f(x)的圖象，如下圖所示：關(guān)于x的方程f(x)=t有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，函數(shù)y=f(x)的圖象與y=t有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知1t2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是，2)．故答案為：，2)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想及作圖能力，難點(diǎn)在于作出函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．1115f(x)與f(x)討論，分別求出函數(shù)fT(x)的范圍，aa由此即可求解．【解答】解：因?yàn)閨x|1恒成立，所以f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(?x)=?x|=x|=f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；aa因?yàn)閨x|1，a1，所以f(x)=logax|，1111若T=，則由題意可得當(dāng)f(x)時(shí)，fT(x)=f(x)，故0，aaaa11當(dāng)f(x)時(shí)，fT(x)=?f(x)，aa1綜上，函數(shù)f(x)的值域?yàn)??,?]．Ta【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值域問題，涉及到分類討論思想的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共55分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16）求出B）利用集合的運(yùn)算，列出不等式即可求得m的取值范圍．）當(dāng)m=4時(shí)，集合B{x|m1=?m}={x|3，，又A={x|x所以A，，4]．（ⅡA，則m?14，解得m5，實(shí)數(shù)m的取值范圍+)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17Ⅰ）根據(jù)f（）=0，代入求出參數(shù)a的值，再解一元二次不等式即可；（Ⅱ）首先由f（1）2求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；=a44（Ⅲ）參變分離可得?ax+對(duì)任意x+)恒成立，再利用基本不等式求出x+的最小值，即可得解；xx）因?yàn)閒(x)=x2+ax+4且f（1）=0，所以a+5=0，解得a=?5，所以f(x)=x由f(x)，得f(x)=x即原不等式的解集為，4]；2?5x+4，2?5x+4，即(x?4)(x?，解得1，（Ⅱ）因?yàn)閒（）2，所以a=++5=2，所以a=?3，37所以f(x)=x2?3x+4=(x?)2，24因?yàn)閤[2，2]，33所以函數(shù)在[2，]上單調(diào)遞減，在(，2]上單調(diào)遞增，22337所以當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得最小值f(x)min=f()=；當(dāng)x=?2時(shí)函數(shù)取得最大值f(x)max=f(2)=14；224（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)任意x+)，不等式f(x)0恒成立，即對(duì)任意x+)，不等式x2+ax+40恒成立，4即?ax+對(duì)任意x+)恒成立，x444因?yàn)閤+=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時(shí)取等號(hào)；xxx所以?a4，即a?4，所以a(+)．4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法及二次函數(shù)的最值，難點(diǎn)在于第（Ⅲ）問中將問題轉(zhuǎn)化為求x+的最x值．18，可得=2，選擇條件①：+=k，kZ，結(jié)合?（Ⅰ）由2，即可得解；322選擇條件②：+2k，kZ，?（Ⅰ）由2+=，即可得解；12222（Ⅱ）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(x+?)的最小正周期為，22所以==2，選擇條件①：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱，3所以2+=k，kZ，所以=?+k，kZ，33因?yàn)?，所以=，223故f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+)．3選擇條件②：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，所以2+=+2k，kZ，所以=+2k，kZ，1223因?yàn)?，所以=，223故f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+)．3（Ⅱ2x+[2k?，2k+]，kZ，322所以x[k?，2k+]，kZ，12故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k?，2k+]，kZ．1212【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19Ⅰ）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷f(x)在區(qū)間[0，+)上單調(diào)遞減，再利用定義證明即可；（Ⅱ）函數(shù)g(x)=f(x)?k(k為常數(shù)）的零點(diǎn)即方程f(x)?k=0(k為常數(shù)）的解，從而解方程，根據(jù)方程的解確定k的取值范圍即可．）f(x)在區(qū)間[0，+)上單調(diào)遞減，證明如下，任取x，x[0，+)，且xx，12122+2則f(x)?f(x)=?1221x+122x12(x?x)(x+x)=2121，(12+2+2，x?x0，x+x0，x21+10，2+10，22121f(x)?f(x)0，即f(x)f(x)，1212故f(x)在區(qū)間[0，+)上單調(diào)遞減；（Ⅱ）函數(shù)g(x)=f(x)?k(k為常數(shù)）的零點(diǎn)即方程f(x)?k=0(k為常數(shù)）的解，2+12解方程?k=0得，x=?1(0k2)，x2k，1?3，212??1?3，故0k，k1故k的取值范圍為)．2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的判斷與證明及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．20(I)結(jié)合dx=?0xd0ebx公式，以及2006年d=2.2，b=0.13，可求得d=2.2e?0.13x，將x=2代入上式，即可求解．(II)根據(jù)已知條件，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．【解答】解：(I)==e?bx且2006年d02.2，b0.13，dx=2.2e?0.13x，當(dāng)x=2時(shí)，dx2.2e?0.262.20.