高等數(shù)學(xué)（獨立院校用）·上冊

普通高等學(xué)校十二五規(guī)劃教材

“”

高等數(shù)學(xué)

獨立院校用

()

上冊

主編李忠定王雅茹楊杰

編者李忠定王雅茹郭秀英左大偉

內(nèi)容簡介

本系列教材為獨立院校大學(xué)工科各專業(yè)公共課教材共冊高等數(shù)學(xué)上下冊線性代數(shù)

,4:()、

與幾何概率論與數(shù)理統(tǒng)計編者根據(jù)獨立院校的教育教學(xué)特點及多年的教學(xué)經(jīng)驗撰寫是河北省

、。,

年度高等教育教學(xué)改革立項項目的研究成果本書為高等數(shù)學(xué)上冊內(nèi)容包括一元函數(shù)微積

2011?！?

分無窮級數(shù)及它們的應(yīng)用

、。

本書適合作為獨立院校工科各專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程的教材也適合作為普通高等學(xué)校本科大

,、

專函大夜大及自學(xué)考試教材或參考書

、、。

圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

高等數(shù)學(xué)上冊李忠定等主編北京中國

./.—:

鐵道出版社

,2011.8

譜通高等學(xué)校十二五規(guī)劃教材獨立院校用

“”.

ISBN978-7-113-13214-9

高李高等數(shù)學(xué)高等學(xué)校

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①--

教材

Ⅳ.①013

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2011)155332

書名:高等數(shù)學(xué)獨立院校用上冊

()·

作者:李忠定王雅茹楊杰主編

策劃編輯:李小軍

責(zé)任編輯:李小軍讀者熱線:

編輯助理:董志喬400-668-0820

封面設(shè)計:付巍封面制作:白雪

責(zé)任印制:李佳

出版發(fā)行:中國鐵道出版社北京市宣武區(qū)右安門西街號郵政編碼

(8:100054)

印刷:三河市興達印務(wù)有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201181201181

開本:印張:字數(shù):千

787mm×1000mm1/1615.25301

印數(shù):冊

1~2500

書號:

ISBN978-7-113-13214-9

定價:

24.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材研究開發(fā)中心批銷部聯(lián)系調(diào)換

,,。

前言

進入世紀以來,我國的高等教育經(jīng)歷了擴大招生規(guī)模、院校合并等過程,

21

實現(xiàn)了從精英教育到大眾化教育的過渡。在這個過程中,原有的大學(xué)教育模式就

產(chǎn)生了一些問題,尤其是大學(xué)數(shù)學(xué)的教育問題。由于學(xué)科特點,數(shù)學(xué)教育呈現(xiàn)幾

十年甚至上百年的一貫制。但大眾化教育階段入學(xué)群體的多樣化使得數(shù)學(xué)教材也

要實行多樣化。按照教育部關(guān)于《工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》,根據(jù)

獨立院校學(xué)生的特點,經(jīng)過幾年的教學(xué)實踐,在研究、剖析、對比多種同類教材

和廣泛征求意見的基礎(chǔ)上,由教學(xué)經(jīng)驗豐富的教師集體編寫了本教材。本書以

“聯(lián)系實際,強化概念,加強計算,注重應(yīng)用”為特色,充分體現(xiàn)了三本院校數(shù)學(xué)

教育“理論夠用為度”的編寫原則。在內(nèi)容編寫上,首先從實際問題出發(fā),建立

數(shù)學(xué)模型,抽象出數(shù)學(xué)概念,然后尋求數(shù)學(xué)處理方法,進而用數(shù)學(xué)方法解決實際

問題。基本概念、基本定理體現(xiàn)出從特殊到一般,從具體到抽象,深入淺出,難

點分散,易于教、便于學(xué)的特點。歸納起來,本教材具有以下特色:

1.高等數(shù)學(xué)與線性代數(shù)相結(jié)合,相互滲透,建立新的課程體系

將空間解析幾何部分編入本系列教材《線性代數(shù)與幾何》,用向量、矩陣等代

數(shù)知識解決多元函數(shù)微積分學(xué)和常微分方程中的問題,使表述更簡潔易懂。

2.內(nèi)容上做了調(diào)整

為了其他后續(xù)課程的有序設(shè)置,使高等數(shù)學(xué)更好地服務(wù)于其他課程,將無窮

級數(shù)部分編入了上冊。

3.高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)緊密銜接

從以往的教學(xué)經(jīng)驗中得知,獨立院校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與一般大學(xué)本科生有一

定的差距,因此在編寫本教材時,對初等數(shù)學(xué)知識做了較多的介紹,例如,第

1

章函數(shù)對集合、區(qū)間、函數(shù)等概念進行了回顧總結(jié),并且把函數(shù)由單值函數(shù)推廣

到多值函數(shù),以便學(xué)生通過復(fù)習(xí)初等數(shù)學(xué)知識更順利地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,同

時也讓學(xué)生明白高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)內(nèi)容更深更廣。

4.基本概念、基本定理與實際相聯(lián)系

學(xué)生們往往認為數(shù)學(xué)“抽象”,尤其剛?cè)雽W(xué)的大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時一般需要

一段適應(yīng)過程。為了縮短這一過程,我們按照“實踐認識實踐”的認識過程

--

編寫,做到由特殊到一般,再由一般到特殊引進重要的數(shù)學(xué)概念和定理時,在

。

保證數(shù)學(xué)概念的準確性及基本理論的完善性、系統(tǒng)性的原則下,盡量用幾何圖形、

物理意義來解釋這些概念和定理,力求使抽象的數(shù)學(xué)概念形象化例如講解湊微

。

分法時,首先通過實際例子讓學(xué)生了解其基本思想和方法,然后再將被積函數(shù)換

成一般函數(shù),得出湊微分法。

本書分上下兩冊出版。上冊內(nèi)容為一元函數(shù)微積分,無窮級數(shù);下冊內(nèi)容為

多元函數(shù)微積分,常微分方程。各章節(jié)都配有習(xí)題,書末附有習(xí)題答案與提示。

本書主要適用于獨立院校工科各專業(yè)。

本書由李忠定教授主編。米建民老師認真審閱了原稿,并提出了不少改進意

見,對此向他表示衷心感謝。

由于編者水平有限,同時編寫時間倉促,教材中難免存在不妥之處,希望廣

大讀者提出批評和指正。

編者

年月

20114

目錄

第1章函數(shù)與極限………………

1

函數(shù)………………………

1.11

習(xí)題…………………

1.16

數(shù)列的極限………………

1.27

習(xí)題………………

1.211

函數(shù)的極限……………

1.311

習(xí)題………………

1.315

無窮小量與無窮大量…………………

1.416

習(xí)題………………

1.419

極限的基本性質(zhì)和運算法則…………

1.519

習(xí)題………………

1.523

極限存在準則及兩個重要極限無窮小的比較………

1.624

習(xí)題………………

1.630

連續(xù)函數(shù)………………

1.731

習(xí)題………………

1.738

復(fù)習(xí)題………………………

139

第2章導(dǎo)數(shù)與微分………………

42

導(dǎo)數(shù)概念………………

2.142

習(xí)題………………

2.148

求導(dǎo)法則及求導(dǎo)公式…………………

2.249

習(xí)題………………

2.259

微分及其應(yīng)用…………

2.361

習(xí)題………………

2.366

復(fù)習(xí)題………………………

267

第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用…………………

70

中值定理………………

3.170

習(xí)題………………

3.174

洛必達法則……………

3.275

習(xí)題………………

3.278

泰勒中值定理…………

3.378

ⅵ高等數(shù)學(xué)獨立院校用上冊

··()·

習(xí)題………………

3.382

函數(shù)的單調(diào)性與極值最值……………

3.4、82

習(xí)題………………

3.488

曲線的凹凸性與函數(shù)作圖……………

3.589

習(xí)題………………

3.594

曲率……………………

3.694

習(xí)題………………

3.697

復(fù)習(xí)題………………………

397

第4章不定積分…………………

99

不定積分的概念和性質(zhì)………………

4.199

習(xí)題………………

4.1103

不定積分的換元積分法………………

4.2103

習(xí)題………………

4.2112

分部積分法……………

4.3114

習(xí)題………………

4.3116

幾種特殊類型函數(shù)的積分……………

4.4117

習(xí)題………………

4.4122

復(fù)習(xí)題……………………

4122

第5章定積分及其應(yīng)用………………………

125

定積分的概念與性質(zhì)…………………

5.1125

習(xí)題………………

5.1131

微積分基本定理………………………

5.2132

習(xí)題………………

5.2135

積分方法………………

5.3136

習(xí)題………………

5.3141

定積分的應(yīng)用…………

5.4142

習(xí)題………………

5.4151

廣義積分………………

5.5152

習(xí)題………………

5.5156

復(fù)習(xí)題……………………

5157

第6章無窮級數(shù)………………

160

常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)……………

6.1160

習(xí)題………………

6.1165

常數(shù)項級數(shù)審斂法……………………

6.2165

習(xí)題………………

6.2172

目錄ⅶ

··

冪級數(shù)…………………

6.3174

習(xí)題………………

6.3180

函數(shù)展開成冪級數(shù)……………………

6.4181

習(xí)題………………

6.4185

傅里葉級數(shù)一……………

6.5(Fourier)()185

習(xí)題………………

6.5192

傅里葉級數(shù)二……………

6.6(Fourier)()193

習(xí)題………………

6.6199

復(fù)習(xí)題……………………

6199

附錄………………

202

附錄常用曲線…………

A202

附錄積分表……………

B205

習(xí)題答案…………………………

213

第1章

函數(shù)與極限

高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是研究變量的變化形態(tài).為了利用變量的變化趨勢變化速度

、

以及變化的積累效應(yīng)等要素刻畫變化過程的特征人們提出并發(fā)展了極限的理論和方

,

法.客觀世界處在永恒的運動發(fā)展和變化中.對各種變化過程和變化過程中的量與量

、

的依賴關(guān)系的研究產(chǎn)生了函數(shù)與函數(shù)極限的概念.函數(shù)概念就是對運動過程中量與量

,

的依賴關(guān)系的抽象描述是刻畫運動變化中變量之間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.并且函數(shù)

,,

概念本身也在不斷發(fā)展中.極限是刻畫變化過程中變量的變化趨勢的數(shù)學(xué)模型.在中學(xué)

數(shù)學(xué)里通常突出的是極限的描述性定義.高等數(shù)學(xué)則強調(diào)精確的定量的極限定義.

,、

本章將介紹函數(shù)與極限的基本概念性質(zhì)和運算并利用極限描述函數(shù)的連續(xù)性.

、,

連續(xù)函數(shù)是最常見的一類函數(shù)具有一系列很好的性質(zhì)和基本運算高等數(shù)學(xué)理論將以

,,

連續(xù)函數(shù)為主要研究對象.

1.1函數(shù)

1.1.1基本概念

1.集合

具有某種屬性的對象的全體稱為集合可用大寫字母ABC來表示.例如全體

,,,,…,

實數(shù)的集合R全體有理數(shù)的集合.

,Q

構(gòu)成集合的對象稱為元素用小寫字母abc來表示.

,,,,…

元素a是集合A中的元素記作aA讀作a屬于A如果a不是集合A的元素

,∈,;,

則記作aA讀作a不屬于A.

?,

2.區(qū)間

設(shè)abR且ab

,∈,<,

數(shù)集xaxb稱為以ab為端點的開區(qū)間記為ab

{|<<},,(,);

數(shù)集xaxb稱為以ab為端點的閉區(qū)間記為ab.

{|≤≤},,[,]

類似可定義ab與ab稱為半開半閉區(qū)間.

[,)(,]

以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.

無限區(qū)間集合{xxa}稱為無限區(qū)間記為a類似還有無限區(qū)間

|>,(,+∞),:

2高等數(shù)學(xué)獨立院校用上冊

··()·

axxabxxbxxR等.

[,+∞)={|≥};(-∞,)={|<};(-∞,+∞)={|∈}

3.鄰域

設(shè)a為任意實數(shù)δ是一個正實數(shù)稱開區(qū)間aδaδ為點a的δ鄰域記為

,,(-,+),

Uaδ即

(,),

Uaδxxaδaδaδ.

(,)={|-<}=(-,+)

點a的δ去心鄰域為U°aδxxaδaδaaaδ.

(,)={|0<-<}=(-,)∪(,+)

1.1.2函數(shù)

1.函數(shù)的概念

定義1.1設(shè)ABR是兩個非空數(shù)集若對于每個數(shù)xA按照某個確定的法則

,?,∈,

f有確定的數(shù)yB與之相對應(yīng)則稱fAB為A到B的函數(shù)記為

,∈,:→,

yfxxA.

=(),∈

其中x稱為自變量y稱為因變量或函數(shù).當x取數(shù)值xA時與x對應(yīng)的y的數(shù)值

,0∈,0

稱為函數(shù)yfx在點x處的函數(shù)值記作fx.當x取遍A的各個數(shù)值時對應(yīng)函

=()0,(0),

數(shù)值的全體所構(gòu)成的數(shù)集fAyyfxxA稱為函數(shù)的值域A稱為函數(shù)的

()={|=(),∈},

定義域.

定義域的約定在實際問題中函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實際意義確定的.有解

,

析式子表達的函數(shù)如不說明則定義域是使其表達式有意義的自變量的全體.

,

函數(shù)的兩個要素確定一個函數(shù)的兩個要素是定義域和對應(yīng)法則.如果兩個函數(shù)

:

的定義域相同對應(yīng)法則也相同在兩個對應(yīng)法則下相同的自變量對應(yīng)相同的因變

,(,

量那么這兩個函數(shù)就是相同的否則就是不同的兩個函數(shù).

),,

單值函數(shù)與多值函數(shù)根據(jù)函數(shù)的定義當自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時對

,,

應(yīng)的函數(shù)值總有一個這種函數(shù)叫做單值函數(shù)否則叫做多值函數(shù).以后凡是沒有特別

,,

說明時函數(shù)都是指單值函數(shù).用一個解析式子來表示函數(shù)是最重要的表示函數(shù)的方

,

法但不是唯一的方法.借助于圖形的直觀形象表示有助于掌握函數(shù)的變化規(guī)律.

,

例如汽車的計速器把車輪轉(zhuǎn)動的角速度轉(zhuǎn)換為

yy=f(x),

表盤上指針的相應(yīng)位置即指示汽車的速度.畫出車

,

速關(guān)于時間的圖形得到車輛起步后的速度圖圖-

,(1

從圖中可以清晰地看到車加速和減速的全過程

O1040x/min1),:

起步后迅速加速至后又緩緩減速直至

,10min,

時停下.

圖-40min

11如何得到這間汽車經(jīng)過的路程并把它

40min,

顯示在里程表上一般是通過機械裝置的運轉(zhuǎn)實現(xiàn)的這個裝置的運轉(zhuǎn)結(jié)果實際上是

?,

計算出了圖中陰影的面積學(xué)了積分后即可以知道這部分面積恰恰就是汽車經(jīng)過的里

,

程.由此可見直觀反映變量間依賴關(guān)系的幾何圖形對研究變量的關(guān)系起著十分重要的

作用將這種幾何圖形抽象到數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的圖像.

,

第1章函數(shù)與極限3

··

設(shè)函數(shù)yfx的定義域為D對任一xD對應(yīng)的

=(),∈,y

函數(shù)值為yfx這在xOy面上就確定了一點xy

=(),(,),

我們稱全體這種有序?qū)c的集合

y=f(x)

CxyyfxyxD

={(,)=(,),∈}

為函數(shù)yfx的圖像圖形見圖-.

=()()(12)

絕對值函數(shù)

()

1x

ìx當xO

?>0D

fxxí當x.

()=||=?0=0圖-

?x當x12

-<0

其定義域是值域是見圖-.

(-∞,+∞),[0,+∞)(13)

狄里克萊函數(shù)

(2)(Dirichlet)y

當x為有理數(shù)

Dx1.

()={當x為無理數(shù)

0

符號函數(shù)

(3)

ì當xOx

?1>0

fxxí當x.

()=sgn=?0=0圖-

?當x13

-1<0

其定義域是值域是三個點的集合見圖-.

(-∞,+∞),{-1,0,1}(14)

y

4

3

y

2

1

1

-4-3-2-1O1234x

-1

Ox-2

-1-3

-4

圖-圖-

1415

取整函數(shù)

(4)

fxx

()=[]

表示不超過x的最大整數(shù)如

,:[3.01]=3,[π]=3,[3.9999]=3,[-3.01]=[-π]=

.其定義域是值域是全體整數(shù)的集合見圖-.

[-3.9999]=-4(-∞,+∞),(15)

和中的函數(shù)在自變量的不同變化區(qū)間中函數(shù)的表達式也不同通常稱之為

(3)(4),,

分段函數(shù).在自然科學(xué)工程技術(shù)社會科學(xué)中經(jīng)常會遇到分段函數(shù)的情形.

、,

4高等數(shù)學(xué)獨立院校用上冊

··()·

2.函數(shù)的四種基本特性

函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)fx在I上有定義.如果存在M使得fxM

(1)()>0,()≤

xI則稱fx在I上有界正數(shù)M稱為fx在I上的界.否則就稱fx在I上

(?∈),(),()()

無界.特別地當I恰為函數(shù)x的定義域時則稱函數(shù)x為有界函數(shù).

,f(),f()

如x和x都是上的有界函

sincos(-∞,+∞)y

數(shù)符號函數(shù)和取整函數(shù)則是無界函數(shù).

;M

無界函數(shù)定量性質(zhì)的數(shù)學(xué)定義為My=f(x)

:,

?>0x

xD使得fxM則稱fx是在I上的O

?0∈,(0)≥,()

無界函數(shù).函數(shù)有界的幾何解釋-M

:

如圖-所示在坐標平面上yfx表示一

16,,=()圖-

條曲線yM與yM表示兩條水平直線.16

,=-=

M使得函數(shù)yfx的圖形位于直線yM與yM之間.即

?>0,=()=-=

fxMxIMfxM.

()≤(?∈)?-≤()≤

函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)fx的定義域為D區(qū)間ID.如果對于區(qū)間I上任

(2)(),?

意兩點x及x當xx時恒有fxfx則稱函數(shù)fx在區(qū)間I上單調(diào)增加

12,1<2,(1)≤(2),();

如果對于區(qū)間I上任意兩點x及x當xx時恒有fxfx則稱函數(shù)fx

12,1<2,