8-3圓的方程學練案-高三數學一輪復習

高三數學一輪復習學練案（第39期）編寫人：劉老師審查人：朱老師使用日期：2024.183圓的方程自主復習【查】【必備知識】一、圓的定義與方程定義平面上到的距離等于的點的集合(軌跡)標準方程圓心：半徑：一般方程圓心：半徑：【微提醒】（1）當時，此方程表示的圖形是圓；當時，此方程表示一個點，其坐標為；當時，它不表示任何圖形.(2)確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上．②圓心在任一弦的中垂線上．③兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心共線．（3）以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．二．點與圓的位置關系(1)若在圓外，則(2)若在圓上，則(3)若在圓內，則【課程標準】回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程．二、師生研學【研】[考點分類突破]考點一：求圓的方程【例11】已知動圓經過點和(1)當圓面積最小時，求圓的方程；(2)若圓的圓心在直線上，求圓的方程.【歸納總結】——解題通法1．(1)若已知圓的切線，則圓心在過切點且與切線垂直的直線上．(2)若已知圓上兩點，則圓心在兩點構成的弦的垂直平分線上．2．用代數法求圓方程，特別是已知圓上三個點時，可以設出圓的一般方程，用待定系數法求圓方程．【練習11】已知圓C的圓心坐標是(0，m)，若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(2,7)，則圓C的標準方程為__________．【練習12】已知圓C：關于直線x＋2y－4＝0對稱，且圓心在y軸上，求圓C的標準方程．考點二：與圓有關的軌跡問題【例21】已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點，求點的軌跡方程；【歸納總結】——求與圓有關的軌跡方程的方法【練習21】設定點，動點在圓上運動，以為兩邊做平行四邊形求點的軌跡方程.考點三：與圓有關的最值問題考向1：斜率型、截距型、距離型最值問題【例31】若實數，滿足，求下列各式的最大值和最小值．（1）；（2）；（3）.【歸納總結】——解題通法與圓有關的最值問題的3種幾何轉化法(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題．(2)形如m＝ax＋by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉化為兩點間距離的平方的最值問題．【練習31】已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．考向2：利用對稱性求最值【例32】已知圓，點分別在軸和圓上，(1)判斷兩圓的位置關系；(2)求的最小值.【歸納總結】——解題通法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離．(2)“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．【練習32】（2021·全國·高三專題練習）已知圓及點，點P、Q分別是直線和圓C上的動點，則的最小值為___________．考向3：建立函數關系求最值【例33】設點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)，則eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))的最大值為________．【練習33】設點P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0,2)，B(0，－2)，則|eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))|的最大值為________．三、訓練提升【練】【當堂檢測】1．已知圓和圓，分別是圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．已知圓M經過原點和點，且它的圓心M在直線上.(1)求圓M的方程；(2)若點D為圓M上的動點，定點，求線段CD的中點P的軌跡方程3.已知圓C經過點，圓C的圓心在圓的內部，且直線被圓C所截得的弦長為.（1）求圓C的方程；（2）若直線與圓C交于A1，A2兩點，求．【真題再現】1．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是A．若點在圓上，則直線與圓相切 B．若點在圓內，則直線與圓相離C．若點在圓外，則直線與圓相離 D．若點在直線上，則直線與圓相切2.（2022·北京卷T3）若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2A. B. C.1 D.3.（2020年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標Ⅰ））已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A．1B．2C．3 D．44．（2023?乙卷）已知實數x，y滿足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，則x﹣y的最大值是（）A．1+ B．4 C．1+3 D．75.(2020·全國Ⅱ卷)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)6．（2023?上海）已知圓的面積為，則．7．（2022?甲卷）設點在直線上，點和均在上，則的方程為．8．（2022?乙卷）過四點，，，中的三點的一個圓的方程為．9.（2022·全國甲（文）T14）