重慶市九龍坡區(qū)育才中學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題

重慶育才中學(xué)高2026屆高一（上）第三次月考數(shù)學(xué)試題2023.12（滿分150分，考試時間120分鐘）本試卷為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.注意事項：1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規(guī)定位置上.2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，答題卡、試卷、草稿紙一并收回.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象得到陰影表示的集合，進一步運算即可.【詳解】由題可知，圖中陰影部分表示的集合為,故選：C.2.函數(shù)零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調(diào)遞減，，，所以零點所在的區(qū)間是.故選：B3.若：，：則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】解出命題為真時的的范圍，進一步分析即可判定.【詳解】由，得，由，得，根據(jù)變量范圍可知，是的既不充分也不必要條件，故選：D.4.“喝酒不開車，開車不喝酒”，酒駕醉駕均是違法行為.根據(jù)國家相關(guān)規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量在20~79mg/100mL認定為酒后駕車，80mg/100mL及以上認定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員飲酒后血液中酒精含量迅速上升到1.2mgmL，停止飲酒后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，則該駕駛員至少經(jīng)過幾小時才能駕駛車輛（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，列出不等式，利用對數(shù)進行計算，即可解出.【詳解】設(shè)經(jīng)過小時，才能駕駛車輛，則：，兩邊取常用對數(shù)，得：所以至少經(jīng)過6小時，才能駕駛車輛.故選：D5.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“分段法”求得正確答案.【詳解】，，，所以.故選：A6.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于在上是增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D7.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、特殊點的函數(shù)值確定正確答案.【詳解】由解得，所以的定義域為，，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，由此排除BC選項.，由此排除D選項.故選：A8.已知函數(shù)，則函數(shù)零點個數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先求的零點，結(jié)合圖象判斷出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】由解得或，構(gòu)造函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一零點，所以對于，有唯一解.令，得或或，得或或，時，，畫出的大致圖象如下圖所示，由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)是.故選：C【點睛】求和函數(shù)的零點，可以考慮的方向有：直接法、零點存在性定理法、圖象法.直接法即由求得函數(shù)的零點.零點存在性定理法即利用來判斷零點所在區(qū)間.圖象法即利用圖象來判斷函數(shù)的零點.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.1弧度角與的角一樣大B.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角C.若是第三象限角，則是第二或第四象限角D.終邊在軸正半軸上的角的集合為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)弧度制定義可知A錯誤；當三角形的內(nèi)角為時，可知B錯誤；求得的角的集合，可判定C；根據(jù)角的終邊可直接得到角的集合，繼而判定D.【詳解】根據(jù)弧度制的定義知1弧度的角約等于，故A錯誤；當三角形的內(nèi)角為時，不是象限角，故B錯誤；若是第三象限角，則,則，當為偶數(shù)時，是第二象限角，當為奇數(shù)時，是第四象限角，故C正確；終邊在軸正半軸上的角的集合為,故D正確，故選：CD.10.下列命題是真命題的是（）A.若，則B.若非零實數(shù)，，滿足，，則C.若，則D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】舉反例可否定A；根據(jù)條件先判斷c的符號，然后可判斷B；根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和真數(shù)范圍，結(jié)合不等式性質(zhì)可判斷C；利用關(guān)系，由不等式性質(zhì)可判斷D.【詳解】A選項：當時，顯然，A錯誤；B選項：若非零實數(shù)，，滿足，，則有，所以，B正確；C選項：若，則，所以，C正確；D選項：設(shè)，則，解得，因為，所以，又，所以，即，D正確.故選：BCD11.因為函數(shù)的圖象極似漢字“囧”，被戲稱為“囧函數(shù)”，則下列描述中正確的是（）A.函數(shù)的定義域為B.函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱C.當時，D.方程有四個不同的實根【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件，直接求得定義域即可判定A；根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判定選項B；根據(jù)自變量的取值范圍，可求得函數(shù)的值域，繼而可以判定C；把方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化函數(shù)的交點個數(shù)，畫出函數(shù)圖象即可判定D.【詳解】令得，，故函數(shù)的定義域為，故A錯誤；函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故B正確；當時，，所以，所以當時，，故C正確；方程，可化為，設(shè)函數(shù)，其定義域為，且滿足，則其為偶函數(shù)；考慮到也偶函數(shù)，所以考查且情況即可，當且時，，，可畫出兩個函數(shù)的圖象由圖可知兩個函數(shù)有四個交點，即方程有四個不同的實根，故D正確，故選：BCD.12.已知定義在的函數(shù)滿足：當時，恒有，則（）A.B.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)D.【答案】ABD【解析】【分析】利用構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，當時，恒有，令，則，所以A選項正確.不妨設(shè)，設(shè)，，由于，所以，所以，，所以在為增函數(shù)，所以B選項正確.設(shè)的符號無法判斷，所以的單調(diào)性無法判斷，所以C選項錯誤.由上述分析可知，函數(shù)在為增函數(shù)，所以，所以，同理，所以，所以，所以D選項正確.故選：ABD【點睛】利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，首先要在函數(shù)定義域的給定區(qū)間內(nèi)，任取兩個數(shù)，且，然后通過計算的符號，如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，則在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.半徑、圓心角弧度數(shù)均為2的扇形的面積為______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)條件求得弧長，利用扇形面積計算公式計算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)弧長為，半徑為，圓心角為，由題意知，則扇形面積，故答案為:4.14.請寫出一個定義域為、值域為的函數(shù)：______.（寫出一個函數(shù)即可）【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，值域為，故答案為：（答案不唯一）.15.如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得（k為常數(shù)）成立，則稱為“對k的可拆分函數(shù)”.若為“對1的可拆分函數(shù)”，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中條件建立方程，化簡變形后可得，求得函數(shù)的值域即【詳解】根據(jù)題意可知，必有，函數(shù)的定義域為,則在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，使，即，即，所以，則，又，則，，即，故答案為：16.定義在上的函數(shù)滿足：，，則______.同時，又滿足：，且時，，則______.【答案】①.1②.##【解析】【分析】令可得，利用進行迭代可求得，然后結(jié)合已知可得.【詳解】令，由得，即.因為，所以，得，所以，，，，，又，所以，，，，因為時，，且，所以，故.故答案為：1；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.計算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運算求得正確答案.（2）根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知集合，，.（1）求及.（2）若，求m的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合、，根據(jù)交集和并集的定義求解；（2）先求出集合，根據(jù)子集的定義進行求解.【小問1詳解】解：因為即為，所以，又因為，所以，【小問2詳解】不等式的解集為，因為，，故，解得.19.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)；（2）.【解析】【分析】（1）先求定義域，然后判斷與的關(guān)系即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合奇偶性和定義域去掉函數(shù)符號即可求解.【小問1詳解】由解得，即的定義域為，又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，易知均為增函數(shù)，所以單調(diào)遞增，又的定義域為，所以，，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.20.已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求a的值；（2）解關(guān)于x的不等式.【答案】20.2；21.答案見解析.【解析】【分析】（1）利用圖象平移變化可得的對稱軸，然后由二次函數(shù)性質(zhì)可解；（2）根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)開口方向和兩根大小關(guān)系分類討論即可【小問1詳解】因為為偶函數(shù)，所以，由圖象平移變化可知的圖象關(guān)于對稱，所以，解得，此時，滿足題意，所以，a的值為2.【小問2詳解】.因為，所以方程的兩根為和1，當時，，不等式解集為；當時，，不等式解集為；當時，，不等式解集為；當時，不等式解集為.21.為研究一款額定功率是1.5kw、自帶水溫顯示的電動熱水壺的加熱效果，在壺中水溫從加熱之初的室溫升至完全沸騰的過程中，某數(shù)學(xué)興趣小組統(tǒng)計了多個關(guān)鍵數(shù)值量，包含壺中水量a（單位：升）、壺中水溫x（單位：）、加熱時間y（單位：秒）.我們選擇了其中幾個數(shù)據(jù)記錄在如下表格中.水量a（升）溫度x（）時間y（秒）31005032080560（1）根據(jù)記錄的多組數(shù)據(jù)，興趣小組斷定3升水量的加熱時間y是關(guān)于壺中水溫x的一次函數(shù).試結(jié)合表中數(shù)據(jù)，計算此函數(shù)關(guān)系式；并計算在同樣室溫條件下，將壺中3升水從室溫?zé)练序v（即）需要的總時間；（2）小組通過查閱資料，知道有如下科學(xué)論斷：①在同樣條件下，將水燒到沸騰所花的時間與壺水量近似滿足正比例關(guān)系；②如果把水放在溫度為的空氣中冷卻，若開始時水的溫度是則t分鐘后水溫可由公式求得，其中，是由盛水的容器所確定的常量，為自然對數(shù)的底數(shù).因為要趕時間，現(xiàn)計劃在10分鐘內(nèi)完成從水壺通電開始燒水，燒沸騰后立即放入容器，直到水溫降到這一系列過程.根據(jù)以上論斷，如在水壺中加入2升水，10分鐘能完成整個過程嗎？如時間夠用，請說明理由：如時間不夠用，請建議壺中應(yīng)加入的水量.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）；秒（2）不能，理由見詳解；建議壺中應(yīng)加入水量小于等于升.【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)，把點代入即可求解；（2）根據(jù)條件得到將升水燒到沸騰所以時間為分鐘的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)，建立方程解出后，進一步分析即可.【小問1詳解】根據(jù)題意知，加熱時間y是關(guān)于壺中水溫x的一次函數(shù)，可設(shè)，且點在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，經(jīng)驗證點也在函數(shù)的圖象上，當時，，即將壺中3升水從室溫?zé)练序v（即）需要的總時間秒.【小問2詳解】將水燒到沸騰所花的時間與壺水量近似滿足正比例關(guān)系,設(shè)壺水量為升，將水燒到沸騰所花的時間為分鐘，則，又題中條件知，當時，分鐘，所以，則，所以，則當時，，即把2升的水燒到沸騰所花的時間為8分鐘.又，根據(jù)題意可得：，化為，則分鐘，所以2升水從室溫?zé)练序v，再降至,所需時間為分鐘，時間不夠用.令，則，建議壺中應(yīng)加入水量小于等于升.22.已知奇函數(shù)滿足（1）求a，b的值并求的值域：（2）判斷的單調(diào)性（無需證明）；（3）若函數(shù)恰有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】22.，的值域為23.詳見解析24.【解析】【分析】（1）利用求得a，再利用求得b，再利用分類討論思想結(jié)合基本不等式求值域即可；（2）可利用單調(diào)性的定義進行證明；（3）已知復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題需要原復(fù)合函數(shù)看作多個函數(shù)，由外向內(nèi)進行分析，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用即可.【小問1詳解】由于是奇函數(shù)，當時，，解得，此時，，故舍去，所以，即0在定義域內(nèi)，所以，解得，所以，解得，所以，經(jīng)檢驗：，所以滿足題意；當時，，當時取最大值1，當時，，當時，，且有，當時取最小值，綜上：，