人教A版（新）選擇性必修二第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

5.4生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)(1)生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為

.(2)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是

.(3)解決優(yōu)化問題的基本思路：知識點(diǎn)生活中的優(yōu)化問題上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的

過程.優(yōu)化問題求函數(shù)最值數(shù)學(xué)建模1.生活中常見到的收益最高，用料最省等問題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問題.(

)2.解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.(

)[思考辨析判斷正誤]√√題型探究類型一幾何中的最值問題例1請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，解答B(yǎng)，C，D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn).設(shè)AE＝FB＝x(cm).某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵當(dāng)0<x<20時，V′(x)>0；當(dāng)20<x<30時，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20時取極大值也是唯一的極值，故為最大值.解答引申探究本例條件不變，若要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？∵EF＝60－2x，＝8x(30－x)＝－8x2＋240x＝－8(x－15)2＋8×152.∴當(dāng)x＝15時，S側(cè)最大為1800cm2.反思與感悟面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實(shí)際幾何問題，求解時先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞浚瑢⒋蠼庾钪档膯栴}表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知圓柱的表面積為定值S，當(dāng)圓柱的容積V最大時，圓柱的高h(yuǎn)的值為______.解析答案解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則S圓柱底＝2πr2，S圓柱側(cè)＝2πrh，∴圓柱的表面積S＝2πr2＋2πrh.令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，∵V′(r)只有一個極值點(diǎn)，∴當(dāng)h＝2r時圓柱的容積最大.解析答案(2)將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，當(dāng)正方形與圓形面積之和最小時，圓的周長為_______cm.解析設(shè)彎成圓的一段鐵絲長為x(0<x<100)，則另一段長為100－x.設(shè)正方形與圓形的面積之和為S，類型二實(shí)際生活中的最值問題解答(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解答所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)↗極大值↘由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).所以當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答

當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.反思與感悟解決此類有關(guān)利潤的實(shí)際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有(1)利潤＝收入－成本.(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).解答解

當(dāng)0<x≤10時，解答(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值.解

當(dāng)0<x≤10時，當(dāng)x∈(0,9)時，W′>0，當(dāng)x∈(9,10)時，W′<0，所以當(dāng)x＝9時，W取得最大值，綜上可得，當(dāng)x＝9時，W取得最大值38.6.故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38.6萬元.解答命題角度2用料、費(fèi)用最少問題例3某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋

)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；解

設(shè)需新建n個橋墩，解答(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？令f′(x)＝0，得

＝512，所以x＝64.當(dāng)0<x<64時，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)上為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù)，所以f(x)在x＝64處取得最小值.反思與感悟

(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個點(diǎn)取得最大(小)值.解答跟蹤訓(xùn)練3為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；解

設(shè)隔熱層厚度為xcm，而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.因此得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為解答(2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值.當(dāng)0<x<5時，f′(x)<0；當(dāng)5<x<10時，f′(x)>0，答

當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元.達(dá)標(biāo)檢測12345解析答案解析

原油溫度的瞬時變化率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當(dāng)x＝1時，原油溫度的瞬時變化率取得最小值－1.C.－1 D.－8√12345解析答案2.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為√12345解析

設(shè)圓錐的高為hcm,0<h<20，3.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品.若該商品零售價定為P元，銷售量為Q件，且銷量Q與零售價P有如下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元√12345解析答案12345解析

毛利潤為(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30).令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去).又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)極大值，故當(dāng)P＝30時，毛利潤最大，所以f(P)max＝f(30)＝23000(元).4.要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_____元.160∴當(dāng)x＝2時，ymin＝160(元).答案解析123455.某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；解

設(shè)商品降價x元，則多賣出的商品件數(shù)為kx2.若記商品一個星期的獲利為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).由已知條件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解答12345解答12345(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解

由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：12345x[0,2)2(2,12)12(12,21]f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘故當(dāng)x＝12時，f(x)取得極大值.因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664.所以定價為30－12＝18(元)，才能使一個星期的商品銷售利潤最大.1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系