清單13 導(dǎo)數(shù)的基本問題：切線、單調(diào)、極值與最值（5個考點(diǎn)梳理題型解讀提升訓(xùn)練）（解析版）

清單13導(dǎo)數(shù)的基本問題：切線、單調(diào)、極值與最值（5個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識清單】1、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．3、單調(diào)性基礎(chǔ)問題（1）函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．（2）已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．4、討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根做圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；5、含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；6、函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．7、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：切線的綜合問題例1．（2023·甘肅武威·高二校聯(lián)考期中）已知曲線在點(diǎn)處的切線為，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，所以，又曲線在點(diǎn)處的切線為，所以.故選：D.例2．（2023·高二單元測試）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【解析】由題可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則切線，即.所以，，，.故選：D．例3．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，切線的斜率為，因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以，解得．故選：D．例4．（2023·廣東陽江·高二校考期中）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由，得，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，取，可得．∴曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．故選：C．例5．（2023·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0或1 B．1或 C．0或 D．或【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，則且，所以曲線在處的切線方程為，取，可得；取，可得，因?yàn)樵谔幍那芯€與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為1，可得，解得或.故選：B.例6．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知過點(diǎn)作的曲線的切線有且僅有兩條，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由題意得，所以，整理得，此方程有兩個不等的實(shí)根．令函數(shù)，則．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減,且．，方程有兩個不等的實(shí)根,故．故選：D.例7．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由函數(shù)，可得，則所以在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，整理得，設(shè)，所以，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使得過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則滿足，解得，即的取值范圍是．故選：C．例8．（2023·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）過坐標(biāo)原點(diǎn)可以作曲線兩條切線，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率,切線方程為，∵切線過原點(diǎn)，∴，整理得：,∵切線有兩條，∴，解得或，∴的取值范圍是,故選：D例9．（2023·北京·高二?？计谥校┖瘮?shù)與函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線相同，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】函數(shù)，有，則，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線方程為，又函數(shù)，有，則，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線方程為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線相同，所以，即，故選：.例10．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┤糁本€是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則兩個切點(diǎn)都在直線上,設(shè)兩個切點(diǎn)分別為則兩個曲線的導(dǎo)數(shù)分別為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,則且切點(diǎn)在各自曲線上,所以則將代入可得可得由可得代入中可知所以，所以.故選：D.例11．（2023·黑龍江雙鴨山·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)直線為曲線的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）由，得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）設(shè)切點(diǎn)為，由（1）得，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，所以，．則，所以所求的切線方程為，切點(diǎn)為．例12．（2023·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知曲線．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若曲線在處的切線與曲線相切，求的取值．【解析】（1）因?yàn)椋?，，故曲線在處的切線方程：，即.（2）因?yàn)椋瑒t曲線在處的切線方程為：，又直線與曲線相切，聯(lián)立方程消得：，由題意有，即，解得：.考點(diǎn)2：含參數(shù)單調(diào)區(qū)間與不含參數(shù)單調(diào)區(qū)間例13．（2023·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【解析】易知的定義域?yàn)?，則，令，解得；即可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：例14．（2023·高二課時練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】的定義域?yàn)?，；①?dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.例15．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【解析】（1）由已知，則，當(dāng)時，，，則曲線在處的切線方程為，即（2）由（1）知，，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，由，得，（ⅰ）當(dāng)時，，當(dāng)時，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時，，當(dāng)時，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；綜上可得：①當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時，在單調(diào)遞增；④當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.例16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由已知得，則①當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；③當(dāng)時，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】依題意，的定義域?yàn)镽，

求導(dǎo)得，令，得或，若，，，遞增；，，遞減；，，遞增，若，則，在R上單調(diào)遞增，若，，，遞增；，，遞減；，，遞增，綜上，當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.例18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性．【解析】由題意知，定義域?yàn)椋?；令，則.①當(dāng)，即時，（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時，令，解得，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】；①當(dāng)時，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.例20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解析】由題意知：定義域?yàn)?，；①?dāng)時，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.例21．（2023·北京·高二匯文中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【解析】，令得：，.，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：例22．（2023·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】/【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，由得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．故答案為：考點(diǎn)3：已知單調(diào)性求參數(shù)例23．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意得對恒成立，即對恒成立．因?yàn)閥＝ax＋a＋1的圖象為直線，所以，解得．故選：B.例24．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【解析】由，所以，單調(diào)遞減區(qū)間是，的解集為，即的解集為，，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：D.例25．（2023·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，由題意可知：存在，使得，整理得，且在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.例26．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則在區(qū)間上恒成立，所以，故選：B．例27．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?，依題意在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D例28．（多選題）（2023·浙江·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由題意可知函數(shù)在上有三個單調(diào)區(qū)間，等價在有兩個不同的根.，令，則，即在有唯不為1的一根，則有有唯一不為1的根，令，則，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，且即，故選：BD考點(diǎn)4：極值問題例29．（2023·河南鄭州·高二校考階段練習(xí)）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】函數(shù)，定義域?yàn)?，若函?shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，則有兩個不同正根，即有兩個不同正根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：例30．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，①若時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，此時時，函數(shù)取得極小值，不符合題意；②若時，令，可得，此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，此時時，函數(shù)取得極小值，不符合題意；③若時，令，單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不符合題意；④若時，令，可得，此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，此時時，函數(shù)取得極大值，符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例31．（2023·安徽安慶·高二安慶市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則．【答案】3【解析】由函數(shù)則其導(dǎo)數(shù)由，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，是函數(shù)的零點(diǎn)，即，是方程的兩個解，故，，在等比數(shù)列中，，且，同號，故有，且故答案為：3.例32．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）若在內(nèi)存在極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】在內(nèi)存在極值，則在內(nèi)有變號零點(diǎn)，，，與同號，則有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：例33．（2023·重慶巫溪·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a的值；(2)求函數(shù)的極值．【解析】（1）．因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與x軸平行，所以，即，

所以．（2）．

令，則或．

①當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)無極值點(diǎn)；

②當(dāng)，即時．+00+↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值是，當(dāng)時，函數(shù)有極小值是；③當(dāng)，即時．+00+↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值是，當(dāng)時，函數(shù)有極小值是．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極值；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．例34．（2023·河南開封·高二校考期中）已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；【解析】（1），，又圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得；（2）由（1）得，或時，，時，，所以的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，極大值是，極小值是；例35．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)c的值；(2)求函數(shù)f（x）的極小值（用b表示）【解析】（1）由奇函數(shù)的定義知，所以．（2）定義域?yàn)?，?dāng)，在上恒成立，即為增函數(shù)，無極小值；當(dāng)，的解為，單調(diào)遞減；的解為或單調(diào)遞增；極小值為；綜上所述，當(dāng)無極小值；當(dāng)，極小值為．考點(diǎn)5：最值問題例36．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為.【答案】【解析】，當(dāng)時，，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，綜上所述，的最小值為，故答案為：.例37．（2023·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的最大值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?gòu)造函數(shù)，則，，即，且，顯然時，，即在單調(diào)遞增；因?yàn)?，又，所以，因?yàn)椋?，則，即求的最大值，因?yàn)椋?，所以，?gòu)造函數(shù)，，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以時，取得極大值即最大值，即，所以的最大值為.故答案為：例38．（2023·四川眉山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則a的取值范圍為．【答案】【解析】由已知，或時，，時，，∴在和上遞減，在上遞增，∴是的極小值點(diǎn)，且,函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則，解得．故答案為：．例39．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知，．(1)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求當(dāng)實(shí)數(shù)a等于多少時，可以使函數(shù)取得最小值為3？【解析】（1）函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，在上恒成立，即，在上恒成立，令，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，∴，∴a的取值范圍為．（2），．∴，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，解得（舍去）；②當(dāng)且時，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，解得，滿足條件；③當(dāng)，且時，即，在上單調(diào)遞減，，解得（舍去）；綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，有最小值3．例40．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值．【解析】由題意得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上的最大值為240，最小值為.例41．（2023·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為（其中，a，，是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）由得，依題可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，則，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，，，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【提升練習(xí)】1．（2023·山東青島·高二青島市即墨區(qū)第一中學(xué)統(tǒng)考期中）已知曲線和曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，則該切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由求導(dǎo)得：，由求導(dǎo)得，于是，整理得，而，解得，因此切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為，即，此時，令，，遞減，遞增，，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此兩曲線有唯一公共點(diǎn)，符合題意，所以切線方程為.故選：A2．（2023·四川綿陽·高二?？计谥校┤糁本€是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A．2 B．3 C．1 【答案】A【解析】若，則，且，若，則，且，又是、的公切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，則，，則，即.故選：A3．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；所以，故選：C4．（2023·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在恒成立.故，即在恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在處取得的最大值0，所以.故選：A5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．6．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.7．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由，由已知遞減區(qū)間，則得：，故，1是的兩根，，，故選：A8．（2023·四川眉山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】【解析】的定義域是，，令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：9．（2023·天津·高二統(tǒng)考期中）若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時，，此時在R上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)存在極小值點(diǎn)，依題意，，解得，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：10．（2023·江西九江·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)存在兩個極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個極值，所以即有兩不相等實(shí)數(shù)根，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：11．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)（其中為實(shí)數(shù)）若不是的極值點(diǎn)，則．【答案】【解析】，，令，，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時，令，解的，所以也即在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增.由于，且不是的極值點(diǎn)，所以.故答案為：12．（2023·甘肅白銀·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在處取得極值2，則．【答案】【解析】由，則，又函數(shù)在處取得極值2，則有，且，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足要求，所以．故答案為：．13．（2023·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，若函數(shù)恰有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)時，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即在處取得極大值，又，且當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個實(shí)根，即恰有一個實(shí)根，即函數(shù)與恰有一個交點(diǎn)，所以或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：14．（2023·江蘇南通·高二校考階段練習(xí)）已知曲線和，若直線與這兩條曲線都相交，交點(diǎn)分別為，則的最小值為.【答案】【解析】令，則，∵，∴，由，得，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．即的最小值為．故答案為：.15．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集中有且只有個整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】,設(shè),則,當(dāng),即當(dāng)時,函數(shù)為增函數(shù);當(dāng),即當(dāng)時,函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)時,;當(dāng)時,,則滿足題意的函數(shù)的圖像與直線圖像如圖:,所以,即,解得.故答案為:.16．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，使得，則因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，使得，令，所以存在唯一的正整數(shù)，使得，，所以，，所以單調(diào)遞減；，，所以單調(diào)遞增，所以，恒過定點(diǎn)，所以當(dāng)時，有無窮多個整數(shù)，使得，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，作出函數(shù)圖象：記上，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.17．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是.【答案】【解析】，令得，時，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有最小值，則其最小值必為，則必有且，即且，則且，解得，故答案為：.18．（2023·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)?的最小值為.【答案】【解析】的定義域?yàn)?，，?dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.故答案為：.19．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【解析】顯然函數(shù)的定義域?yàn)?，令，顯然，當(dāng)時，，當(dāng)時，該函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，該函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，故答案為：20．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【解析】（1）的定義域?yàn)?，．曲線在處的切線的斜率為．把代入中得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為．所以曲線在處的切線方程為．（2）令，得．①當(dāng)時，在區(qū)間上，，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)．②當(dāng)時，在區(qū)間上，，為單調(diào)減函數(shù)；在區(qū)間上，，為單調(diào)增函數(shù)．綜上，當(dāng)時，為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，在區(qū)間上，為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上，為單調(diào)增函數(shù)．21．（2023·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性【解析】的定義域?yàn)椋?，，?dāng)時，，時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，時，，當(dāng)時，，時，，在上單調(diào)遞增，